精品解析：山东省禹城市综合实验高中2025-2026学年上学期高一12月月考数学试题

山东省禹城市综合实验高中2025-2026学年高一12月月考数学试题 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数（且）的图象经过定点P，则P的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有且仅有一个零点，则正数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各组函数能表示同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与（且） C. 与 D. 与 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若是第一象限角，则 B. 终边经过点的角的集合是 C. 若，则恒成立 D. 若角，则角的最大负角为 11. 已知函数，并定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 在区间上单调递减 C. 若关于的方程有2个实数根，则 D. 若在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边上的一点，则的值为________． 13. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是_______ 14. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）化简求值：； （2）若角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，求的值. 16. （1）已知是第二象限角，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 17. 已知幂函数的图象经过点，函数． （1）证明：是偶函数． （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增． 18. 已知函数是定义域为上的偶函数． （1）求的值； （2）解不等式； （3）若在上的最小值为，求的值． 19. 已知函数. （1）若的定义域为，求实数的取值范围. （2）若的定义域为. （i）求在区间上的值域； （ii）若（），试比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省禹城市综合实验高中2025-2026学年高一12月月考数学试题 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 设集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据对数的定义域求出集合，最后结合交集的定义可得结果. 【详解】因为， 故， 故选：. 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的奇偶性，或求出单调性，或求出定义域，排除法得到答案. 【详解】选项A，设，则，故为偶函数， 故选项A错误； 选项B，设，，则为奇函数， 和在区间上都是单调递减， 在区间上是单调递减，故选项B正确； 选项C，设，则，故是奇函数， 和为上的增函数， 为上的增函数，故选项C错误； 选项D，，，解得，则定义域为，不满足， 故选项D错误. 故选：B. 3. 已知，且，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件结合指数函数性质可得，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可得，且，均为正数， 故， 即，当且仅当，时取等号. 所以的最小值为. 故选：D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可． 【详解】由题意知． 故选：B． 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的符号即可判断. 【详解】依题意，函数的定义域为，且， 所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，所以排除B，D选项； 又当时，，所以排除C选项. 故选：A. 6. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】依题意列出不等式再由对数运算法则计算，解不等式可得结果. 【详解】设至少过滤的次数为， 则依题意可得，即， 即，所以， 可得， 所以至少过滤3次才能满足要求. 故选：B 7. 已知函数（且）的图象经过定点P，则P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的性质求解定点坐标即可. 【详解】令，解得，则， 则经过定点，故C正确. 故选：C 8. 已知函数有且仅有一个零点，则正数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当或时求得，然后验证，，，利用排除法可得答案. 【详解】当，解得或，当，解得． 当时，有一个零点，符合题意，A错误； 当时，有两个零点和，不符合题意，C错误； 当时，有一个零点，符合题意，D错误， 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列各组函数能表示同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与（且） C. 与 D. 与 【答案】CD 【解析】 【详解】化简函数解析式，并求出其定义域，从函数相等的定义入手逐一分析即可. 【分析】对于选项A：，，对应关系不同， 故不能表示同一个函数，故A错误； 对于选项B：（且）的定义域为， （且）的定义域为， 即定义域不同，故不能表示同一个函数，故B错误； 对于选项C：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故C正确； 对于选项D：，，定义域均为， 即定义域和对应关系均相同，可以表示同一个函数，故D正确. 故选：CD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若是第一象限角，则 B. 终边经过点的角的集合是 C. 若，则恒成立 D. 若角，则角的最大负角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由所在象限得出的范围，进而可得的范围，即可判断A；根据角的终边经过点，可写出角的集合即可判断B；根据同角的三角函数关系结合角的范围，可判断C；将角度关系转化为，结合的取值进而可判断D． 【详解】对于A，若是第一象限角，则，所以， 当，时，，为第一象限角， 当，时，，为第三象限角， 所以是第一或第三象限角，故，故A正确； 对于B，终边经过点，的角的终边落在第一、三象限的角平分线上， 即角的集合是，故B错误； 对于C，当时，，则恒成立，故C正确； 对于D，因为， 所以当时，角的最大负角为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，并定义函数，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 在区间上单调递减 C. 若关于的方程有2个实数根，则 D. 若在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】数形结合法求解比较直观，首先作出函数图象，将转化到上，想到指数运算，进而求解A；根据图象上的一些特殊点可判断BC；根据函数值为的自变量的取值范围求得的最值. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数， 的图象，的图象为图中实线部分，如图： 对于A，因为，所以若，且， 不妨令，则. 令，则， 两式相乘得，即， 因为，所以， 所以，所以，故A正确. 对于B，因为，所以的图象在轴右侧交于点，由图知在区间上单调递增，故B错误. 对于C，因为，即， 所以的图象在轴左侧的交点的横坐标， 所以若关于的方程有2个实数根，由图知，故C错误. 对于D，若在区间上的值域为，由图知，若最大，则函数值为0的自变量的跨度最大，此时，即最大值为，若最小，则在附近寻找函数值为0，且离直线最近的自变量的取值，为，所以的最小值为. D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边上的一点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义计算出，再由同角三角函数之间的基本关系计算可得结果. 【详解】由点可得， 所以. 故答案为： 13. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】设，.由题可得在上单调递减，在上单调递减，且，据此可得答案. 【详解】设，. 因在R上单调递减，则在上单调递减，在上单调递减，， 即. 故答案为：. 14. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，结合二次函数求出最大值，即可求解半径. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大． 故答案为：2 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）化简求值：； （2）若角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质化简运算即可； （2）根据三角函数的定义先计算出的值，利用诱导公式直接化简原式，然后代入的值即可求解. 【详解】（1）由已知， ； （2）因为角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点， 则， 所以 . 16. （1）已知是第二象限角，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平方关系先计算出的值，再根据商数关系计算出的值； （2）先根据诱导公式化简原方程，再根据商数关系计算出的值，最后根据齐次式的运算求解出结果； （3）先将原方程平方可计算出的值，再根据的正负判断出的正负，最后采用先平方再开方的方法计算出结果. 【详解】（1）是第二象限角， ，． （2）， 由诱导公式得，即，， （3），等式两边同时平方，得， 又，， 又，，，则， ， . 17. 已知幂函数的图象经过点，函数． （1）证明：是偶函数． （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增． 【答案】（1）证明:因为为幂函数，设， 代入可得，解得，所以，所以， 证明：的定义域为关于原点对称， ，所以是偶函数. （2）证明:任取，则 ， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求得，再结合偶函数定义证明即可； （2）由单调性的定义求证即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 已知函数是定义域为上的偶函数． （1）求的值； （2）解不等式； （3）若在上的最小值为，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值. 【小问1详解】 因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， 所以，，； 【小问2详解】 由（1）可知， 任取，则，， 则， 所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数， 故由式可得， 所以，即， 解得或，故不等式的解集为； 【小问3详解】 ， 所以 ， 令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知． 19. 已知函数. （1）若的定义域为，求实数的取值范围. （2）若的定义域为. （i）求在区间上的值域； （ii）若（），试比较与的大小. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由对任意恒成立，讨论和两种情况即可； （2）（i）由定义域确定，再求得的范围即可求解；（ii）由指对数转换，确定，再结合的单调性即可求解. 【小问1详解】 若，则，其定义域不是,不合题意； 若，要使对任意恒成立， 需使, 解得. 所以的取值范围是. 【小问2详解】 的定义域为，即不等式的解集为， 则得，解得，经检验，符合题意. 所以. （i）因， 当时，，因函数在上为减函数， 则， 所以在区间上的值域为. （ii）由题意知，， 则，. 因为，则，因，则，所以. 因为，所以，又，所以，，所以. 又，所以， 又因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递减， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $