11.3　二次根式的加减 课件 2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

第11章二次根式 　11.3　二次根式的加减 初中数学苏科版（2024）八年级下册 第11章二次根式　11.3　二次根式的加减 第1课时　二次根式的加减运算 初中数学苏科版（2024）八年级下册 学习目标 1.了解同类二次根式的概念，能正确判断同类二次根式.(重点) 2.类比整式加减运算法则，掌握二次根式的加减运算.(难点) 情境引入 学校要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是2米，第二块草坪的长是20米，宽也是2米.你能告诉运动场的负责人要准备多少面积的草皮吗？ 20+40是什么运算？ 一、 同类二次根式 问题1　观察下列两组二次根式，并回答问题. 第一组：，3，-2，15，； 第二组：，-3，，. 两组二次根式有什么共同特征？ 提示　化简后被开方数相同，像同类项. 知识梳理 同类二次根式的定义： 经过化简后，被开方数 的二次根式，叫作同类二次根式. 相同 例1　下列各式中哪些是同类二次根式？ ，，，，，. 解　∵=5===2==， ∴是同类二次根式. 反思感悟 (1)首先将不是最简二次根式的根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是不是同类二次根式只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 跟踪训练1　若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 A.- B. C.1 D.-1 解析　由题意，得1+x=4-2x，解得x=1. √ 二、 二次根式的加减 问题2　如何计算-3++？ 提示　先将不是最简二次根式的根式化为最简二次根式，再判断是否是同类二次根式. 原式=-6+5+(二次根式的性质) =(逆用乘法分配律) =. 知识梳理 二次根式的加减法一般遵循下面的程序： 二次根式相加减，先 每个二次根式，然后 二次根式. 化简 合并同类 例2　计算： (1)3+4-2+； (2)+--； 解　(1)原式=3-2+4+=+5. (2)原式=2+3-2-4=2-3. 例2　计算： (3)-5+； (4)-. 解　(3)原式=2-5×+=. (4)原式=2×-×3-+4×=-2-+2=-. 反思感悟 二次根式加减运算的“三步法”：“一化、二找、三合并”. 一化：将二次根式化为最简二次根式； 二找：找出同类二次根式； 三合并：合并同类二次根式. 跟踪训练2　计算： (1)3--+2+； (2)--+； (3)4+5--(a≥0，b≥0). 解　(1)原式=3--+2+=++. (2)原式=3-3-2+5=8-5. (3)当a≥0，b≥0时， 原式=4+5--2=. 三、 应用 例3　(课本P168例2)如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R，r，面积分别为18，8.求圆环的宽度(两圆半径之差). 解　由圆的面积公式，得 R=，r=. R-r=-=-=-=. 故圆环的宽度为. 跟踪训练3　(1)两个正方形的面积分别为2 cm2，8 cm2，求这两个正方形边长的和； 解　根据题意，得 +=+2=3(cm).故这两个正方形边长的和为3 cm. (2)两个正方形的面积分别为s cm2，4s cm2(s>0)，求这两个正方形边长的和. 解　根据题意，得 +=+2=3(cm). 故这两个正方形边长的和为3 cm. 课堂小结 1.下列各式中，与是同类二次根式的是 A. B. C. D. 课堂练习 √ 解析　A项，不是同类二次根式； B项，不是同类二次根式； C项，=3是同类二次根式； D项，=不是同类二次根式. 2.下列计算中正确的是 A.+= B.=-3 C.÷=2 D.-= √ 解析　A项，原式无法计算，故此选项不符合题意； B项，=|-3|=3，故此选项不符合题意； D项，-=，故此选项不符合题意. 课堂练习 3.二次根式：①；②；③；④中，能与合并的是 A.①和② B.②和③ C.①和④ D.③和④ √ 解析　①=2；②=3；③=；④=3.所以，能与合并的是①和④. 课堂练习 4.计算：-3=　　　　　.  解析　原式=-3×=5-=4. 4 课堂练习 5.最简二次根式和可以合并，则x的值为　　　.  解析　∵最简二次根式可以合并， ∴3x-8=17-2x，解得x=5. 5 课堂练习 6.对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a⊗b=-，如3⊗4=-=.请你计算5⊗9=　　　　.  2 解析　根据题意可得， 5⊗9=- =3- =2. 课堂练习 7.计算：(1)2-6+3； 解　2-6+3 =2-+3 =2-+3 =4-2+12=(4-2+12)=14. 课堂练习 7.计算：(2)(+)+(-). 解　(+)+(-) =++- =++- =2+2+- =2++2- =(2+1)+(2-1) =3+. 课堂练习 8.已知：x=1-，y=1+，求x2+y2-xy-2x+2y的值. 解　∵x=1-，y=1+， ∴x-y=(1-)-(1+)=-2， xy=(1-)(1+)=-1， ∴x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-2)2-2×(-2)+(-1)=7+4. 课堂练习 第11章 二次根式　11.3　二次根式的加减 第2课时　二次根式的混合运算 初中数学苏科版（2024）八年级下册 学习目标 1.能正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算.(重点) 2.理解整式运算的法则、公式和运算律在二次根式的混合运算中仍然适用.(难点) 情境引入 回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式、平方差公式、完全平方公式.完成下列整式运算： 计算： (1)(x+y)·z=　　　　　　；  (2)(x2-3xy)÷x=　　　　　　；  (3)(x+y)(x-y)=　　　　　　；  (4)(x+1)2=　　　　　　.  如果把上面的x，y，z改写成二次根式呢？ 以上的运算规律是否仍成立呢？ 一、 二次根式混合运算的顺序 问题　尝试计算下列各式，说出你每一步运算的依据. (1)(+)×； 提示　原式=×+×(乘法分配律) =3+.(二次根式的性质) (2)(+3)(-5). 提示　原式=×-5×+3×-5×3(多项式乘多项式法则) =2-5+3-15(二次根式的性质) =-2-13.(合并同类二次根式) 知识梳理 二次根式混合运算的顺序 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同. 例1　计算： (1)×； (2)(3+)(-)； 解　(1)原式=×+2×=+2=+6. (2)原式=3-3+×-× =3-3+2-5=-2-. 例1　计算： (3)(4-2)÷2； (4)(5+)(5-2). 解　(3)原式=4×-2× =2-. (4)原式=25-10+5-2 =25-10+10-6 =19. 反思感悟 进行二次根式的混合运算时，一般需要综合运用二次根式的乘除法性质、分母有理化方法和整式运算的法则、公式和运算律. 跟踪训练1　计算： (1)(+2)×； (2)×(-)； 解　(1)原式=×+2× =+2 =3+4. (2)原式=×-× =-5 =5-5. 跟踪训练1　计算： (3)(-+1)×2； (4)(5-)×(+). 解　(3)原式=×2-×2+2 =2-2×3+2 =6-6+2. (4)原式=5+5-×-× =5+5-3-2 =3+2. 二、 灵活使用法则、公式和运算律 例2　(课本P170例4)计算： (1)(+)(-)； (2). 解　(1)(+-)=- =3-2 =1. (2)(3+2)2=32+2×3×2+ =9+12+20 =29+12. 反思感悟 二次根式混合运算： (1)确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左向右的顺序进行，有括号的先算括号内的. (2)进行二次根式的混合运算时，整式运算的法则、公式和运算律仍然适用. 跟踪训练2　计算： (1)(+1)×(-1)； (2)(+)(-)(a≥0，b≥0)； 解　(1)原式=-12 =5-1 =4. (2)原式=- =a-b. 跟踪训练2　计算： (3)； (4)(a≥0，b≥0). 解　(3)原式=-2××+ =3-2+2 =5-2. (4)原式=+2·+ =a+2+b =a+b+2. 课堂小结 1.估计(2+3)×的值应在 A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 课堂练习 √ 解析　(2+3)× =2×+3×=2+， ∵4<6<9， ∴2<<3， ∴4<2+<5. 课堂练习 2.-=　　　.  5 解析　-=3+2+2-2=5. 课堂练习 3.计算×的结果为　　　.  解析　×=+=4+1=5. 5 课堂练习 4.计算：(1)(+)×； 解　(+)× =×+× =+ =+ =4+3. 课堂练习 4.计算：(2)(4-3)÷2； 解　(4-3)÷2 =4÷2-3÷2 =- =2-. 课堂练习 4.计算：(3)(+)(-). 解　(+-) =- =5-3 =2. 课堂练习 5.已知：x是3+的整数部分，y是其小数部分，求x+y(3+)的值. 解　∵3<<4， ∴6<3+<7， 由题意得x=6，y=3+-6=-3， ∴x+y(3+)=6+(-3)(3+)=6+(15-9)=12. 课堂练习 6.计算：-÷(2+). 解：原式=-÷2-÷=2--1=-1. 上面的解题过程正确吗？为什么？如果不正确，请你给出正确的解题过程. 解　不正确.除法没有分配律.正确的解题过程如下： 原式=-=2-=2-(2-3)=3. 课堂练习 谢谢观看 $