专题02 向量的线性运算十一种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题02 向量的线性运算十一种常考题型 题型一：向量的加法运算 题型二：向量的减法运算 题型三：向量的模及三角不等式 题型四：向量数乘的有关计算 题型五：平面向量的混合运算 题型六：用已知向量表示其他向量 题型七：利用平面向量的线性运算求参数 题型八：利用平面向量共线定理判断或证明点共线问题 题型九：平面向量共线定理的推论及应用 题型十：与向量线性运算有关的三角形的重心、内心问题 题型十一：向量的线性运算在几何中的应用 题型一：向量的加法运算 1．（  ） A． B． C． D． 2.如图，在平行四边形中，（  ） A． B． C． D． 3.如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（  ）    A． B． C． D． 4.如图，在正六边形中，（  ） A． B． C． D． 5.是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（  ） A． B． C． D． 6.在中，点满足，则（  ） A．点在延长线上 B．不在直线上 C．点在延长线上 D．点在线段上 题型二：向量的减法运算 7．（  ） A． B． C． D． 8.如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 9.（多选）下列结论恒为零向量的是（  ） A． B． C． D． 10.（多选）下列各式可以化简为的是（  ） A． B． C． D． 11.化简下列各式： (1)； (2)． 题型三：向量的模及三角不等式 12．下列各式中，一定正确的是（  ） A． B． C． D． 13.已知向量满足，，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 14.（多选）对于任意三个向量，下列命题中错误的是（  ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 15.（多选）已知为非零向量，则下列说法正确的是（  ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 16.若，，则的取值范围是____________ 17.若为非零向量，则不等式中等号成立的条件是 ；不等式中等号成立的条件是 ． 18.已知四边形是边长为的正方形，求： (1)； (2) 题型四：向量数乘的有关计算 19．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（  ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 20.“实数”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 21.已知，与的方向相反，且，则（  ） A． B． C． D． 22.（多选）已知m、n是实数，、是向量，下列命题正确的是（  ） A.      B. C.若，则      D.若，则 题型五：平面向量的混合运算 23．下列计算正确的个数是（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 24.设向量，，满足，则（  ） A． B． C． D． 25.（　　） A． B． C． D． 26.在平行四边形中，为与的交点，则（  ） A． B． C． D． 27.化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 题型六：用已知向量表示其他向量 28．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 29.在中，记，，若，则（  ） A． B． C． D． 30.如图，向量，，，则向量可以表示为（  ） A． B． C． D． 31.如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（  ） A． B． C． D． 32.（多选）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 33.（多选）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（  ） A． B． C． D． 题型七：利用平面向量的线性运算求参数 34．在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 35.已知与为非零向量，，若三点共线，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 36.在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 37.在中，若点满足，，则 . 38.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 39.在所在平面中有一点P满足，且，则_________ 题型八：利用平面向量共线定理判断或证明点共线问题 40．已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（  ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 41.设，为非零向量，则“”是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42.已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（  ） A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43.如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 题型九：平面向量共线定理的推论及应用 44．如图，设，，线段与交于点F，且，则（  ）    A．4 B．3 C． D．5 45.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 46.如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（  ）    A．8 B．12 C．32 D．16 47.已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（  ） A． B． C．2 D． 48.在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是_______ 题型十：与向量线性运算有关的三角形的重心、内心问题 49．已知点G为的重心，若，则（  ） A．0 B．1 C． D．3 50.在中，若，，则点的轨迹必经过的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 51.（多选）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 52.（多选）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ） A．若，则点M是BC的中点 B．若，则点M是的重心 C．若，则点M，B，C三点共线 D．若，则 53.已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（  ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 题型十一：向量的线性运算在几何中的应用 54．在中，，则是（  ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 55.点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（  ） A． B． C． D． 56.八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论： ①；    ②； ③；    ④. 其中正确的结论为（  ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 57.已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为 ． 58.在菱形中，若，则 ． 59.若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 向量的线性运算十一种常考题型 题型一：向量的加法运算 题型二：向量的减法运算 题型三：向量的模及三角不等式 题型四：向量数乘的有关计算 题型五：平面向量的混合运算 题型六：用已知向量表示其他向量 题型七：利用平面向量的线性运算求参数 题型八：利用平面向量共线定理判断或证明点共线问题 题型九：平面向量共线定理的推论及应用 题型十：与向量线性运算有关的三角形的重心、内心问题 题型十一：向量的线性运算在几何中的应用 题型一：向量的加法运算 1．（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法运算法则分析求解. 【解析】由题意可得：. 故选：D. 2.如图，在平行四边形中，（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解. 【解析】因为为平行四边形，所以. 故选：B. 3.如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【解析】因为四边形是菱形， 所以根据向量加法的平行四边形法则知，， ，故C对D错； 因为向量方向不同，所以，，故AB错误. 故选：C 4.如图，在正六边形中，（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【解析】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 5.是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则为、的中点，利用平面向量的线性运算可得出，即可得解. 【解析】设，则为、的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以，， 因此，. 故选：C. 6.在中，点满足，则（  ） A．点在延长线上 B．不在直线上 C．点在延长线上 D．点在线段上 【答案】A 【分析】由题意可得到，根据加法的平行四边形法则即可求解 【解析】由，知， 可知，，三点共线且是中点，所以在延长线上． 故选：A 题型二：向量的减法运算 7．（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法减法运算即可求解. 【解析】原式． 故选：A. 8.如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【解析】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 9.（多选）下列结论恒为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可. 【解析】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10.（多选）下列各式可以化简为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可. 【解析】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确. 故选：AD． 11.化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】根据向量的加法减法运算求解即可. 【解析】（1）. （2） 题型三：向量的模及三角不等式 12．下列各式中，一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法的几何意义进行判断即可。 【解析】解：当与的方向相同时，有，故A不正确； 当与的方向既不相同也不相反时，有，所以，故C正确；D不正确； 当与的方向相反时，有，若，则能成立，故B不正确. 故选：C. 13.已知向量满足，，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：，结合向量减法运算分析求解. 【解析】因为， 可知，当且仅当反向时，等号成立； ，当且仅当同向时，等号成立； 所以的取值范围为. 故选：D. 14.（多选）对于任意三个向量，下列命题中错误的是（  ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量线性运算性质判断AB，根据向量不能比较大小判断C，根据向量共线性质判断D. 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因为向量不能比较大小可得C错误， 对于D，取，则对与任意的向量都有，故不一定成立，D错误. 故选：ACD. 15.（多选）已知为非零向量，则下列说法正确的是（  ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】ABD 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【解析】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：ABD． 16.若，，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围. 【解析】因为，所以，，即. 故答案为： 17.若为非零向量，则不等式中等号成立的条件是 ；不等式中等号成立的条件是 ． 【答案】 向量方向相反 向量方向相同． 【分析】利用平面向量的三角不等式以及等号成立的条件可知，当同向时，有；当反向时，有. 【解析】如果不共线，正好能构成三角形， 分别为此三角形的三条边长， 又三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边， 所以可得； 若共线，则当它们同向时，有； 若共线，则当它们反向时，有； 综上所述，不等式中等号成立的条件是向量方向相反；不等式中等号成立的条件是向量方向相同． 故答案为：向量方向相反，向量方向相同 18.已知四边形是边长为的正方形，求： (1)； (2) 【答案】(1)；(2)2 【分析】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题. 【解析】（1）四边形是边长为的正方形， （2） 题型四：向量数乘的有关计算 19．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（  ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 【答案】D 【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【解析】因为两个非零向量，满足， 所以为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC错误，D正确. 故选：D 20.“实数”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据“”与“”的互相推出情况判断出结果. 【解析】当时，显然成立， 当时，此时不一定成立，例如时可取任意实数， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 21.已知，与的方向相反，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定方向和大小关系即可得答案. 【解析】由，得， 又与的方向相反，所以. 故选：C. 22.（多选）已知m、n是实数，、是向量，下列命题正确的是（  ） A.      B. C.若，则      D.若，则 【答案】B 【分析】A和B属于数乘对向量与实数的分配律，C中若，结论不成立，D中若，结论不成立. 【解析】A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确； C中若，与没有确定关系，结论不成立，错误； D中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误. 故AB两个命题正确． 故选：AB 题型五：平面向量的混合运算 23．下列计算正确的个数是（　　） ①；②；③. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【解析】对于①；故①正确， 对于②；故②正确， 对于③，故③错误， 故选：C 24.设向量，，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【解析】因为，所以. 故选：D. 25.（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【解析】 . 故选：C 26.在平行四边形中，为与的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法法则和减法法则进行判断即可. 【解析】对于A: 根据向量加法的平行四边形法则，得，A错误C正确； 根据向量减法的法则得，B错误D错误； 故选：C. 27.化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【解析】（1）； （2）； （3）. 题型六：用已知向量表示其他向量 28．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解析】因为是的边上的中线， 所以，所以 . 故选：C 29.在中，记，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【解析】由已知有. 故. 故选：A. 30.如图，向量，，，则向量可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解. 【解析】由题图可知，. 故选：C. 31.如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果. 【解析】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点， 如图，， 故选：A. 32.（多选）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项. 【解析】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 33.（多选）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对A，B，由向量的加法法则即可判断；对C，D，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断. 【解析】解：如图所示： 对A，， 又， 即，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，设为与的交点， 由题意可得：是的重心， 故， ，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：AC. 题型七：利用平面向量的线性运算求参数 34．在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【解析】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 35.已知与为非零向量，，若三点共线，则（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【解析】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 36.在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【解析】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 37.在中，若点满足，，则 . 【答案】2 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可. 【解析】易知， 又因为，所以. 故答案为：2. 38.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【答案】 【分析】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【解析】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为：. 39.在所在平面中有一点P满足，且，则_________ 【答案】 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【解析】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故答案为：. 题型八：利用平面向量共线定理判断或证明点共线问题 40．已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（  ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【解析】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 41.设，为非零向量，则“”是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断. 【解析】表示方向上的单位向量. 若，则与同向，所以，即； 若，当与同向时，；当与反向时，， 即. 故选：A. 42.已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（  ） A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解. 【解析】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 43.如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)，，(2)证明见解析 【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果； （2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论. 【解析】（1）由题图，， . （2）由， 又，所以，故三点共线. 题型九：平面向量共线定理的推论及应用 44．如图，设，，线段与交于点F，且，则（  ）    A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【解析】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D. 45.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，得到，根据计算得到答案. 【解析】，故，则， 又是上一点，所以，解得. 故选：A. 46.如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（  ）    A．8 B．12 C．32 D．16 【答案】C 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【解析】因为，所以，因为，所以， 因为三点共线，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32. 故选：C 47.已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（  ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由三角形重心的性质，结合向量的线性运算得到，再由三点共线，即可求解. 【解析】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以， 所以，即， 因为三点共线，可得，所以. 故选：A．    48.在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是_______ 【答案】25 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【解析】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故答案为：25 题型十：与向量线性运算有关的三角形的重心、内心问题 49．已知点G为的重心，若，则（  ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【解析】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 50.在中，若，，则点的轨迹必经过的（  ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【解析】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 51.（多选）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（  ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【解析】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．   ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上． 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 52.（多选）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（  ） A．若，则点M是BC的中点 B．若，则点M是的重心 C．若，则点M，B，C三点共线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解． 【解析】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得， 若，可得M为BC的中点，所以A正确；    对于B中，若M为的重心，则满足， 即，所以B不正确； 对于C中，由，可得，即， 所以M，B，C三点共线，所以C正确； 对于D中，如图所示，由，    可得，所以D正确． 故选：ACD 53.已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（  ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【解析】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 题型十一：向量的线性运算在几何中的应用 54．在中，，则是（  ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得即可判断. 【解析】， ，所以是等边三角形. 故选：A. 55.点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【解析】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B. 56.八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论： ①；    ②； ③；    ④. 其中正确的结论为（  ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【解析】对于①，，①错误； 对于②，由正八边形性质知：，，设， ，为中点，， ，，， 又，，②正确； 对于③，， 由正八边形性质知：且，即， ，又， ，③正确； 对于④，，④正确. 故选：C. 57.已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解. 【解析】由，得， 如图，分别是的中点，    则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得. 故答案为： 58.在菱形中，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量减法的运算法则，结合菱形的几何性质可求得正确答案. 【解析】因为四边形为菱形，所以， 又因为，所以是等边三角形，即. 所以. 故答案为：1 59.若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【分析】利用向量的线性运算和向量的中线公式得到，从而得到，进而得到角间的关系，再利用三角形内角和为即可求出结果. 【解析】如图，取中点，因为，所以，即，所以，，所以，又三角形内角和为，所以，所以为直角三角形， 故答案为：直角三角形. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $