专题21.5 矩形的判定（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题21.5 矩形的判定 教学目标 1. 掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。 教学重难点 1. 重点 （1） 矩形的判定。 2. 难点 （1）熟练的选择合适的判定方法判定矩形； （2）能够结合矩形的判定与性质，熟练的解决相应的题目。 知识点01 矩形的判定 1. 矩形的判定方法： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四个角（三个角）都是 直角 的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC= 90° ∴四边形ABCD是矩形 平行四边形加特殊性 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形 ∵在▱ABCD中，∠ABC=90° ∴四边形ABCD是矩形 对角线 相等 的平行四边形是矩形 ∵在▱ABCD中，AD=BC ∴四边形ABCD是矩形 【即学即练1】 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得▱ABCD是矩形（　　） A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO 【答案】B 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝CB， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，在▱ABCD中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（　　） A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠B＝∠C D．BC＝CD 【答案】D 【解答】解：根据矩形的判定方法逐一判断如下： A、∵AB⊥BC， ∴▱ABCD是矩形，不符合题意； B、∵AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴▱ABCD是矩形，不符合题意； D、BC＝CD， ∴▱ABCD是菱形，符合题意； 故选：D． 【即学即练3】 3．如图，已知▱ABCD，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F．求证：四边形DECF是矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：已知▱ABCD中，AD∥BC， ∵CF∥DE交AD的延长线于点F， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵DE⊥BC交CB的延长线于点E， ∴∠DEC＝90°， ∴四边形DECF是矩形． 【即学即练4】 4．如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，延长AD，CD，分别至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC．求证：四边形ACEF是矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：由题意可知，DE＝AD，DF＝CD， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∴AD+DE＝CD+DF， ∵AE＝AD+DE，CF＝CD+DF， ∴AE＝CF， ∴平行四边形ACEF是矩形． 【即学即练5】 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若BC＝6，∠BAC＝30°，求DE的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC， ∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO， 在△OAD与△OCB中， ， ∴△OAD≌△OCB（AAS）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6， ∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°， ∴AC＝2BC＝12， ∴OA＝6， ∵OE⊥AC， ∴∠AOE＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴AE＝2OE ∵AO2+OE2＝AE2 ∴， ∴， ∴． 题型01 熟悉矩形的判定条件 【典例1】要检测一个四边形是不是矩形，下列方案可行的是（　　） A．任选三个角并测量角度 B．测量对角线长度 C．测量四条边的长度 D．测量两条对角线是否垂直 【答案】A 【解答】解：A、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，正确，符合题意； B、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，错误，不符合题意； C、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，错误，不符合题意； D、测量两条对角线是否垂直，不能检测一个四边形是不是矩形，错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】在下列条件中，能够判定▱ABCD是矩形的是（　　） A．AC＝BD B．AD＝BC C．AC⊥BD D．AB∥CD 【答案】A 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故正确； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故错误； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故错误； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，不能判定▱ABCD是矩形，故错误； 故选：A． 【变式2】如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝3，BC＝4，AC＝5， ∴AB2+BC232+42＝AC2＝52， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； 故A选项不符合题意； B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等， ∴四边形ABCD是矩形； 故B选项不符合题意； C、观察图形可知，∠C＝∠D＝∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； 故C选项不符合题意； D、观察图形可知，AD∥BC，故不能判定四边形ABCD是矩形， 故D选项符合题意． 故选：D． 题型02 添加矩形的判定条件 【典例1】要使如图所示的▱ABCD成为矩形，需增加的一个条件可以是（　　） A．AC＝BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC 【答案】A 【解答】解：A、由AC＝BD，能判定▱ABCD是矩形，故符合题意； B、由AB＝CD，不能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意； C、由AB∥CD，不能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意； D、由∠ABC＝∠ADC，不能判定▱ABCD是矩形，故不符合题意； 故选：A． 【变式1】四边形ABCD对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故选：D． 【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD， ∵DE＝AD， ∴BC＝DE， ∵BC∥AD， ∴BC∥DE， ∴四边形DBCE是平行四边形 A、∵AB＝BE时，AB＝CD， ∴BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； B、∵CE⊥DE， ∴∠CED＝90°时， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意； D、∵BE⊥AB，AB∥CD， ∴BE⊥CD， ∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 题型03 矩形的判定证明 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE＝CF，DE＝AF．求证：平行四边形ABCD是矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵BE＝CF，CF+BC＝BF，BE+BC＝CE， ∴BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）， ∴∠ABF＝∠DCE． ∵∠ABF+∠DCE＝180°， ∴∠ABF＝∠DCE＝90°， ∴▱ABCD是矩形． 【变式1】已知：如图，在▱ABCD中，M是AD边的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝BM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SSS）， ∴∠A＝∠D， ∵∠A+∠D＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 【变式2】如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．求证：四边形BECD是矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC， ∴BE∥CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵AD＝BC，AD＝DE， ∴BC＝DE， ∴四边形BECD是矩形． 【变式3】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OC，点E、F分别为线段OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、FA，求证：四边形AECF是矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA，OD＝OB， ∵点E、F分别为线段OB、OD的中点， ∴OB＝2OE，OD＝2OF， 又∵OB＝2OC， ∴OA＝OC＝OE＝OF， ∴OA+OC＝OE+OF， 即AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． 题型04 矩形的判定与性质 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝BE． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若BF平分∠ABC，且BE＝3，AB＝7，求线段BF的长． 【答案】（1）见解析； （2）BF的长是． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形； （2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB， ∴AB＝AF＝7， ∵AD＝BC，AF＝CE， ∴DF＝BE＝3， ∴AD＝BC＝AF+DF＝10， ∴． 在Rt△BFC中，，即BF的长是． 【变式1】如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，请直接写出图中和∠EBA相等的角． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠BAE、∠DCA、∠FEC、∠EBF、∠CBF． 【解答】（1）证明：点E是▱ABCD对角线AC上的点，BE＝AD， ∴AD＝BC＝BE， ∴∠ECB＝∠CEB， ∵∠FEC＝∠FCE， ∴∠FEC+∠CEB＝∠FCE+∠BCE， ∴∠BEF＝∠BCF， ∵EF⊥BE交CD于点F， ∴∠FEB＝∠BCD＝90°， ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵▱ABCD是矩形，点E为AC的中点， ∴BE＝AE＝CEAC， ∴∠EBA＝∠BAE＝∠DCA＝∠FEC，， ∴BE＝CE＝BC， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠EBA＝30°， ∵EF＝CF，BE＝BC，BF＝BF， ∴△EBF△≌CBF（SSS）， ∴∠EBF＝∠CBF∠EBA， 即和∠EBA相等的角有∠BAE、∠DCA、∠FEC、∠EBF、∠CBF． 【变式2】如图，在▱ABCD中，点O为边AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若，求OC的长． 【答案】（1）见解析； （2）OC的长为． 【解答】（1）证明：∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形； （2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝2，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴DF＝EFDE＝1， ∴OF为△BDE的中位线， ∴OFBD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝2， ∴CF＝CD+DF＝3， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC， 即OC的长为． 【变式3】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为OB延长线上一点，且BE＝OB，F为OD延长线上一点，且DF＝OD，连接AE，EC，CF，FA． （1）当OA＝2BO时，求证：四边形AECF是矩形； （2）当AO⊥OE，，EO＝6时，求四边形AECF的周长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）26． 【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OB＝BE，DO＝DF，且OB＝OD， ∴OB+BE＝OD+DF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵OA＝2OB，OE＝2OB， ∴OA＝OE， ∴OA+OC＝OE+OF， ∴AC＝EF， ∴平行四边形AECF是矩形； （2）∵四边形AECF是平行四边形，且OA⊥OE， ∴平行四边形AECF是菱形， ∴AE＝EC＝CF＝FA， 在RT△AOE中，OA，EO＝6， 由勾股定理得：AE， ∴四边形AECF周长为：AE+EC+CF+FA＝4AE＝26． 故答案为：26． 1．要用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两对角线长就可以判断，其推理依据（　　） A．矩形的对角线相等 B．矩形的四个角都是直角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意． 故选：D． 2．在▱ABCD中，添加下列一个条件，不能判定该四边形为矩形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．BC⊥CD D．AC＝BD 【答案】B 【解答】解：A、在平行四边形中，∠A+∠B＝180°，若∠A＝∠B，则∠A＝90°，故四边形为矩形，不符合题意； B、在平行四边形中，∠A＝∠C，无论是否为矩形均成立，因此无法判定为矩形，符合题意； C、若BC⊥CD，则∠C＝90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定为矩形，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故AC＝BD可直接判定为矩形，不符合题意； 故选：B． 3．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解答】解：∵三个角是直角的四边形是矩形， ∴选项A正确， 故选：A． 4．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意； B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝5， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．在下列条件中，能够判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝AC B．AB＝AD C．OA＝OB D．AC⊥BD 【答案】C 【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故C选项符合题意， 由AB＝AC无法判断平行四边形ABCD是矩形，故A选项不符合题意， 由AB＝AD，可以判断平行四边形ABCD是菱形，故B选项不符合题意， 由AC⊥BD，可以判断平行四边形ABCD是菱形，故D选项不符合题意， 故选：C． 6．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD 【答案】D 【解答】解：如图： A、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； B、∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； C、∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； D、∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 根据OA＝OC，OB＝OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确； 故选：D． 7．如图，在四边形AOCB中，OA⊥OC，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，OC＝12，则四边形AOCB的面积是（　　） A． B． C． D．100 【答案】A 【解答】解：过B作BH⊥OC于H， ∵∠A＝90°，OA⊥OC， ∴OH＝AB＝3， 又OC＝12， ∴CH＝9， ∵∠C＝30°，BH⊥OC， ∴BC＝2BH， ∵BH2+HC2＝BC2， ∴BH2+92＝（2BH）2， ∴（负值舍去）， ∴四边形AOCB的面积是， 故选：A． 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD＝10，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，DE，则线段DE的长是（　　） A． B． C． D．8 【答案】A 【解答】解：如图，连接DF， ∵BC＝2AD＝10，点F是BC的中点， ∴AD＝BF＝CF＝5， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵DC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∴四边形ADCF是矩形， ∴∠AFC＝∠AFB＝90°， ∵E是AB的中点， ∴EF＝BE＝AE， ∵∠B＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴EF＝BF＝BE＝5，∠BEF＝60°， ∴AB＝10， ∵AD∥BF，AD＝BF， ∴四边形ADFB是平行四边形， ∴DF＝AB＝10， ∵AD∥BC，∠B＝60°， ∴∠DAE＝120°， ∵AE＝BE＝BF＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝30°， ∴∠DEF＝90°， ∴， 故选：A． 9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（　　） A． B．33 C．5 D．22 【答案】D 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接OA，OC，AC， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6， 由勾股定理得：， ∵EF＝CD，O为EF的中点，∠BCD＝90°， ∴EF＝CD＝4，， ∴， ∵OQ⊥AD，OP⊥AB， ∴四边形APOQ是矩形， ∴OA＝PQ， ∴当点O在AC上时，最小，即最小， 故选：D． 10．已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：如图，连接OP， ∵b4， ∴a﹣3≥0，3﹣a≥0， ∴a＝3， ∴b＝4， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∵∠AOB＝90°， ∴AB5， ∵PE⊥x轴，PF⊥y轴， ∴∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴四边形OEPF是矩形， ∴EF＝OP， 当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小， 此时，OP， ∴EF的最小值为， 故选：A． 11．如图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形ABCD就成为矩形，这个条件可以是　∠ABC＝90°（答案不唯一）　 ． 【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 添加∠ABC＝90°，平行四边形ABCD就成为矩形； 故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，且，连接CE，则四边形ADCE的面积是　　 ． 【答案】 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC， ∴，AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ∵，AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形， ∴矩形ADCE的面积． 故答案为：． 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为 　1.2　 ． 【答案】1.2． 【解答】解：连接AP，如图所示： ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP． ∵M是EF的中点， ∴PMAP， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短， ∴当AP⊥BC时，AP2.4， ∴AP最短时，AP＝2.4， ∴当PM最短时，PMAP＝1.2． 故答案为：1.2． 14．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　4　 s后，四边形ABPQ成为矩形． 【答案】4 【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得 3x＝20﹣2x． 解得x＝4， 故答案为：4． 15．如图，△ABC中是△ABC的中位线，点P为射线ED上的一个动点（不与点E重合），作PF∥AC交BC边于点F，连结AP，EF．若在ED延长线上（可以与点D重合）存在一点P，使得四边形AEFP为矩形，则∠ACB度数的取值范围为　45°≤∠ACB≤67.5°　 ． 【答案】45°≤∠ACB≤67.5°． 【解答】解：如图1所示， 当点F在B处时， ∵四边形AEFP是矩形， ∴BE⊥AC， ∵AE＝CE， ∴AB＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC， 如图2所示， 当点P在点D处时， 连接AF， ∵四边形AEFP是矩形， ∴PE＝AF＝2OP＝2OE＝2OA＝2OF， ∵DE是△ABC的中位线， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴BF＝2OD，CF＝2OE， ∴AF＝BF＝CF， ∴∠BAF＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠FAC， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ACB＝∠FAC＝45°， ∴45°≤∠ACB≤67.5°， 故答案为：45°≤∠ACB≤67.5°． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． 求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵点E为AD中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF与△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝BD， ∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴∠ADC＝90°，AF＝CD， ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）若EF＝AD，求证：四边形EGFH是矩形． 【答案】（1）见解析过程； （2）见解析过程． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵点G，H分别是AB，CD的中点， ∴AG＝CH＝DH， ∵AE＝CF， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， （2）如图，连接EF， ∵△AGE≌△CHF， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF， 又∵GE＝HF， ∴四边形EGFH是平行四边形， ∵AG＝DH，AB∥CD， ∴四边形AGHD是平行四边形， ∴AD＝GH， ∵EF＝AD， ∴EF＝GH， ∴四边形EGFH是矩形． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，BC的中点．延长ED至点F，使得DF＝ED，连接AE，AF，BF． （1）求证：四边形AEBF是矩形． （2）若AB平分∠FAC，AF＝1，求四边形ACEF的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵DF＝ED， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵AB＝AC，点E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴平行四边形AEBF是矩形； （2）解：∵点D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DEAC， 由（1）可知，四边形AEBF是矩形， ∴AF∥BE， ∴四边形ACEF是平行四边形，∠BAF＝∠ABC， ∴CE＝AF＝1， ∴BC＝2CE＝2， ∵AB平分∠FAC， ∴∠BAF＝∠BAC， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴AC＝BC＝2， 由（1）可知，AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴AE， ∴平行四边形ACEF的面积＝CE•AE＝1． 19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB， ∴平行四边形OEFG为矩形． （2）解：由条件可知：AE， ∵∠EFA＝90°，EF＝4， ∴在Rt△AEF中，AF3． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD＝10， ∴OEAB＝5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG＝OE＝5， ∴BG＝10﹣3﹣5＝2． 故答案为：OE＝5，BG＝2． 20．活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形ABCD的纸片（BD＞AC），要求利用尺规作图，在BC、AD上各找一点E、F，使四边形AECF为矩形． （1）某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 过点A作AE⊥BC于点E，在AD上作AF＝CE．则四边形AECF即为所求． 连接AC、BD交于点O，以点O为圆心，以OA为半径画弧，分别交BC、AD边于点E、F．则四边形AECF为所求． 作图痕迹 我选择思路 　一　 ，理由如下： （2）数学小组将作出的矩形AECF纸片，剪下来，提出了一个新问题： 如图3，点O是矩形AECF对角线AC、EF的交点，过点O作GH⊥EF分别交AF、EC于点G、H，连接GE、FH，若AE＝6，AF＝8，求四边形GEHF的周长． 【答案】（1）思路一： 由作图可知，AD⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形； （2）四边形GEHF的周长为25． 【解答】解：（1）思路一： 由作图可知，AD⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形； （2）∵四边形AECF是矩形， ∴∠EAF＝90°，OA＝OC，OE＝OF，AF∥CE， ∴∠OAG＝∠OCH， ∵∠AOG＝∠COH， ∴△AOG≌△COH（ASA）， ∴OG＝OH， ∴四边形GEHF是平行四边形， ∵GH⊥EF， ∴四边形GEHF是菱形， ∴EG＝GF＝FH＝EH， 设EG＝GF＝FH＝EH＝x，则AG＝8﹣x， ∵AE2+AG2＝EG2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， ∴四边形GEHF的周长为25． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.5 矩形的判定 教学目标 1. 掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。 教学重难点 1. 重点 （1） 矩形的判定。 2. 难点 （1）熟练的选择合适的判定方法判定矩形； （2）能够结合矩形的判定与性质，熟练的解决相应的题目。 知识点01 矩形的判定 1. 矩形的判定方法： 判定方法 文字语言 数学语言 图形 直接判定 四个角（三个角）都是 的四边形是矩形 ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC= ∴四边形ABCD是矩形 平行四边形加特殊性 有一个角是 的平行四边形是矩形 ∵在▱ABCD中，∠ABC=90° ∴四边形ABCD是矩形 对角线 的平行四边形是矩形 ∵在▱ABCD中，AD=BC ∴四边形ABCD是矩形 【即学即练1】 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得▱ABCD是矩形（　　） A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO 【即学即练2】 2．如图，在▱ABCD中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（　　） A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠B＝∠C D．BC＝CD 【即学即练3】 3．如图，已知▱ABCD，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F．求证：四边形DECF是矩形． 【即学即练4】 4．如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，延长AD，CD，分别至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC．求证：四边形ACEF是矩形． 【即学即练5】 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若BC＝6，∠BAC＝30°，求DE的长． 题型01 熟悉矩形的判定条件 【典例1】要检测一个四边形是不是矩形，下列方案可行的是（　　） A．任选三个角并测量角度 B．测量对角线长度 C．测量四条边的长度 D．测量两条对角线是否垂直 【变式1】在下列条件中，能够判定▱ABCD是矩形的是（　　） A．AC＝BD B．AD＝BC C．AC⊥BD D．AB∥CD 【变式2】如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 题型02 添加矩形的判定条件 【典例1】要使如图所示的▱ABCD成为矩形，需增加的一个条件可以是（　　） A．AC＝BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC 【变式1】四边形ABCD对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件（　　） A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 题型03 矩形的判定证明 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE＝CF，DE＝AF．求证：平行四边形ABCD是矩形． 【变式1】已知：如图，在▱ABCD中，M是AD边的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形． 【变式2】如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．求证：四边形BECD是矩形． 【变式3】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OC，点E、F分别为线段OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、FA，求证：四边形AECF是矩形． 题型04 矩形的判定与性质 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝BE． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若BF平分∠ABC，且BE＝3，AB＝7，求线段BF的长． 【变式1】如图，点E是▱ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若点E为AC的中点，请直接写出图中和∠EBA相等的角． 【变式2】如图，在▱ABCD中，点O为边AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC．若，求OC的长． 【变式3】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为OB延长线上一点，且BE＝OB，F为OD延长线上一点，且DF＝OD，连接AE，EC，CF，FA． （1）当OA＝2BO时，求证：四边形AECF是矩形； （2）当AO⊥OE，，EO＝6时，求四边形AECF的周长． 1．要用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两对角线长就可以判断，其推理依据（　　） A．矩形的对角线相等 B．矩形的四个角都是直角 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．在▱ABCD中，添加下列一个条件，不能判定该四边形为矩形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．BC⊥CD D．AC＝BD 3．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 4．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．在下列条件中，能够判定四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝AC B．AB＝AD C．OA＝OB D．AC⊥BD 6．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B．OA＝OB＝OC＝OD C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD 7．如图，在四边形AOCB中，OA⊥OC，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，OC＝12，则四边形AOCB的面积是（　　） A． B． C． D．100 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD＝10，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，DE，则线段DE的长是（　　） A． B． C． D．8 9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（　　） A． B．33 C．5 D．22 10．已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 11．如图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形ABCD就成为矩形，这个条件可以是　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，且，连接CE，则四边形ADCE的面积是　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为 　 　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　 s后，四边形ABPQ成为矩形． 15．如图，△ABC中是△ABC的中位线，点P为射线ED上的一个动点（不与点E重合），作PF∥AC交BC边于点F，连结AP，EF．若在ED延长线上（可以与点D重合）存在一点P，使得四边形AEFP为矩形，则∠ACB度数的取值范围为　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． 求证：四边形ADCF为矩形． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）若EF＝AD，求证：四边形EGFH是矩形． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，BC的中点．延长ED至点F，使得DF＝ED，连接AE，AF，BF． （1）求证：四边形AEBF是矩形． （2）若AB平分∠FAC，AF＝1，求四边形ACEF的面积． 19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 20．活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形ABCD的纸片（BD＞AC），要求利用尺规作图，在BC、AD上各找一点E、F，使四边形AECF为矩形． （1）某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性． 思路一 思路二 作图步骤 过点A作AE⊥BC于点E，在AD上作AF＝CE．则四边形AECF即为所求． 连接AC、BD交于点O，以点O为圆心，以OA为半径画弧，分别交BC、AD边于点E、F．则四边形AECF为所求． 作图痕迹 我选择思路 　 　 ，理由如下： （2）数学小组将作出的矩形AECF纸片，剪下来，提出了一个新问题： 如图3，点O是矩形AECF对角线AC、EF的交点，过点O作GH⊥EF分别交AF、EC于点G、H，连接GE、FH，若AE＝6，AF＝8，求四边形GEHF的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $