9.2　提公因式法（课件）-2025--2026学年苏科版八年级数学下册

第9章　因式分解 9.2　提公因式法 初中数学苏科版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解公因式的概念，能准确提取多项式的公因式.(重点) 2.认识提公因式法，会用提公因式法进行因式分解.(难点) 3.进一步理解因式分解的意义，培养直觉思维，感受整体代换的思想方法. 课堂引入 前面学习了因式分解的概念，如何把多项式ab＋ac＋ad分解因式？ 公因式 一、 问题1　观察下面拼图过程，写出相应的关系式：   从左到右：　　　　；  从右到左：　　　　.  提示　从左到右：a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad. 从右到左：ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d). 问题2　运用所学的知识填空. (1)m(a＋b＋c)＝　　 　 　　　；  (2)x2(x＋1)＝　　　 　　　；  (3)ab(x－y)＝　　　　 　　；  (4)ma＋mb＋mc＝(　　　 　)(a＋b＋c)；  (5)x3＋x2＝(　　 　　)(x＋1)；  (6)abx－aby＝(　　 　　)(x－y).  提示　(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc. (2)x2(x＋1)＝x3＋x2. (3)ab(x－y)＝abx－aby. (4)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). (5)x3＋x2＝x2(x＋1). (6)abx－aby＝ab(x－y). 知识梳理 公因式： 多项式ab＋ac＋ad各项都含有因式“a”，像这样的因式称为多项式各项的_______. 公因式 例1　指出下列多项式各项的公因式： (1)3a2y－3ay＋6y； (2)4xy3－8x3y2； (3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3； (4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b. 解　(1)各项的公因式为3y. (2)各项的公因式为4xy2. (3)各项的公因式为(x－y)2. (4)各项的公因式为－9a2b. 反思感悟 确定多项式中各项的公因式可概括为三“定”： ①定系数，确定各项系数的最大公约数； ②定字母，确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)； ③定指数，确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂. 跟踪训练1　多项式3x2y2－12x2y4－6x3y3的公因式是 A.3x2y2z B.x2y2 C.3x2y2 D.3x3y2z √ 提公因式法 二、 知识梳理 如果多项式的各项含有_______，那么就可以采用添括号的方法把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的___的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 公因式 积 例2　(1)将下列各式分解因式： ①6x3y2－8xy3z； ②－4a3b2＋12a2b－4ab； 解　①6x3y2－8xy3z ＝2xy2·3x2－2xy2·4yz ＝2xy2(3x2－4yz). ②－4a3b2＋12a2b－4ab ＝－(4a3b2－12a2b＋4ab) ＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1) ＝－4ab(a2b－3a＋1). 例2　(1)将下列各式分解因式： ③3a(a－2b)＋6b(2b－a)； ④5m(y－x)2－10(x－y)3. 解　③3a(a－2b)＋6b(2b－a) ＝3a(a－2b)－6b(a－2b) ＝3(a－2b)(a－2b) ＝3(a－2b)2. ④5m(y－x)2－10(x－y)3 ＝5m(x－y)2－10(x－y)3 ＝5(x－y)2 ＝5(x－y)2(m－2x＋2y). (2)已知2x－y＝，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值. 解　2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y). 把2x－y＝，xy＝2代入，得 原式＝23×. 反思感悟 提公因式法的技巧： 1.当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“－”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号. 2.4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此时容易漏掉“1”这一项而导致错误. 3.各项含有相同(或相反)的多项式，把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，相反的变成相同的再提. 跟踪训练2　把下列各式因式分解： (1)6ab2－9a2bc； (2)－12x2y＋6xy－18xy2； (3)5(x－y)3－10(y－x)2. 解　(1)6ab2－9a2bc＝3ab(2b－3ac). (2)－12x2y＋6xy－18xy2＝－6xy(2x－1＋3y). (3)5(x－y)3－10(y－x)2＝5(x－y)2·(x－y)－5(x－y)2×2＝5(y－x)2(x－y－2). 探究——分组分解法 三、 问题3　如何把多项式ab＋a＋b＋1分解因式？ 提示　1.分组： 将多项式ab＋a＋b＋1分组，可得(ab＋a)＋(b＋1). 2.提取公因式： 对于ab＋a，提取公因式a，得到a(b＋1). 此时原式变为a(b＋1)＋(b＋1). 3.再次提取公因式： 观察a(b＋1)＋(b＋1)，发现两项中都含有公因式(b＋1)，提取公因式(b＋1)，得到(b＋1)(a＋1). 因此，ab＋a＋b＋1分解因式的结果为(b＋1)(a＋1). 知识梳理 分组分解法 把一个多项式按“先部分，后整体”的思路，先分组，分别变形，再进行因式分解，这种分解因式的方法称为分组分解法. 分组分解法适用于三项以上的多项式的因式分解. 例3　分解因式：ad＋bd－ax－ay－bx－by. 解　ad＋bd－ax－ay－bx－by ＝(ad－ax－ay)＋(bd－bx－by) ＝a(d－x－y)＋b(d－x－y) ＝(a＋b)(d－x－y). 跟踪训练3　因式分解：(1)a＋b－ab－1；(2)m2－mn＋mx－nx；(3)x2y2－2x2y－4y＋8. 解　(1)a＋b－ab－1 ＝(a－ab)＋(b－1) ＝a(1－b)－(1－b) ＝(a－1)(1－b). (2)m2－mn＋mx－nx ＝m(m－n)＋x(m－n)＝(m＋x)(m－n). (3)x2y2－2x2y－4y＋8＝x2y(y－2)－4(y－2)＝(x2y－4)(y－2). 课堂小结 1.公因式的含义. 2.确定多项式中各项的公因式. 3.提公因式法. 1.多项式5mx3＋25mx2－10mxy各项的公因式是 A.5mx2 B.5mxy C.mx D.5mx 课堂练习 √ 2.多项式4x3y－M可分解因式为4xy(x2－y2＋ab)，那么M等于 A.－4xy3＋4abxy B.－4xy3－4abxy C.4xy3＋4abxy D.4xy3－4abxy √ 解析　由题意得 4x3y－M＝4xy(x2－y2＋ab) ＝4x3y－4xy3＋4abxy ＝4x3y－(4xy3－4abxy)， ∴M为4xy3－4abxy. 课堂练习 3.ax，ay，－ax的公因式是　　　　；6mn，－2m2n3，4mn的公因式是　　　　 .  a 2mn 课堂练习 4.写出一个含有公因式3x的多项式　　 　　.  3x2＋3xy(答案不唯一) 解析　3x(x＋y)＝3x2＋3xy(答案不唯一). 课堂练习 5.把下列各式因式分解： (1)4xy2＋6x2y－2xy； 解　4xy2＋6x2y－2xy ＝2xy(2y＋3x－1). (2)－2a2b3＋12a3b2； 解　－2a2b3＋12a3b2 ＝－2a2b2(b－6a). 课堂练习 5.把下列各式因式分解： (3)－5y2＋5xy－5y； 解　－5y2＋5xy－5y ＝－5y(y－x＋1). (4)x(m＋n)－y(n＋m)＋(m＋n). 解　x(m＋n)－y(n＋m)＋(m＋n) ＝x(m＋n)－y(m＋n)＋(m＋n) ＝(m＋n)(x－y＋1). 课堂练习 6.已知a－b＝2，x－y＝3，求2a(x－y)＋2b(y－x)的值. 解　∵a－b＝2，x－y＝3， ∴2a(x－y)＋2b(y－x) ＝2a(x－y)－2b(x－y) ＝2(x－y)(a－b)＝2×3×2 ＝12. 课堂练习 7.先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题. 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3. (1)上述分解因式的方法是　　　　　　，共应用了　　　　　　次；  解　上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次. 课堂练习 7.先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题. 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3. (2)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋x(x＋1)3＋x(x＋1)4； 解　1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋x(x＋1)3＋x(x＋1)4 ＝(1＋x)＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋x(x＋1)3＋x(x＋1)4 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋x(x＋1)3] ＝(1＋x)2 ＝(1＋x)3[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)4(1＋x) ＝(1＋x)5. 课堂练习 7.先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题. 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3. (3)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n，则需应用上述方法　　次，结果是　　.(n为正整数) 解　1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n ＝(1＋x)＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n-1] ＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n-2] ＝… ＝(1＋x)n(1＋x) ＝(1＋x)n+1， 故需应用上述方法n次，结果是(1＋x)n+1. 课堂练习 谢谢观看 $