精品解析：安徽合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三上学期第一次数学教学质量监测数学试卷

合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三第一次教学质量监测 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出，利用补集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：A 2. 已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设复数，根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出方程组求解的值，从而得到复数，最后确定其在复平面内的位置. 【详解】设复数，则共轭复数， 因为， 列出方程组为： 求解该方程组得：. 所以复数. 在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标， 所以该点在第一象限. 故选：A. 3. 已知向量且，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算坐标表示计算，，再有向量垂直数量积为0列式计算可得，即可求得. 【详解】因为，所以，， 由得，， 则有，解得或， 因为，所以，即. 故选：C 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 3 B. 6 C. 60 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数. 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）.  要求的系数，则的次数，此时.  同样根据二项式定理，展开式的通项为（）.  要得到，则令，解得.  当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简得到，再弦化切得到，最后用两角差的正切公式化简得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 则. 故选：A. 6. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据侧面与底面夹角求出底面边长，即可求出底面积，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】 如图取的中点，连接、，因为为正六棱锥， 所以，， 所以为侧面与底面的夹角，所以， 又底面，底面，所以， 所以，又底面为正六边形，所以为等边三角形， 所以，则， 所以， 所以， 所以六棱锥的体积为. 故选：C 7. 已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解. 【详解】如图，，解得， 所以， 因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6， 即，化简得，其中， ，则， ， 所以，即，则直线的斜率为， 所以直线，即， 联立，解得，即， 因的中点坐标为，且， 则以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 将两圆的方程相减得， 故直线的方程为. 故选：B. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可判断，，得解. 【详解】， ， ，则， 又，， . 故选：C. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知，函数，则下列结论一定正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由可得A正确；根据函数的周期举反例可判断B的正误，举反例可得D错误；由辅助角公式可得C正确. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，, 此时,函数的最小正周期是，故B错误； 对于C，，由正弦函数的值域可得最大值为，故C正确； 对于D，当时，， 所以， 当时，，当时，，由于不确定的大小，所以最小值为不正确，故D错误； 故选：AC 10. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及复合函数的导数求法、奇偶性定义判断A；由题设有，得，令求参数得判断B；利用奇偶性、对称性判断C、D. 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以， 则，即，故A正确； 因为是奇函数，所以，即， 所以，则，令，所以， 所以，即的图象关于直线对称， 则，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则数列也是等差数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若，则时取到最小值 D. 若为等比数列，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式推导的表达式，即可判断；根据等比数列的定义即可判断；通过等差数列前项和的二次函数的形式即可判断；根据等比数列前项和的形式与已知条件给出的形式，即可解得. 【详解】因为为等差数列，所以前项和， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，故正确； 因为，若，则所有项都为， 所以数列不是等比数列，故错误； 因为，所以， 所以为等差数列，首项为，公差为， 所以，此二次函数开口向上，对称轴为， 因为，所以当时，取到最小值，故正确； 因为为等比数列，且，故公比不为1， 所以， 所以，所以，故错误. 故选：. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法． 【答案】1280 【解析】 【分析】根据分步计数乘法原理，结合题意计算即可得结果. 【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法. 所以，总共有种不同的安排方法. 故答案为：1280. 13. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的法线方程，以及曲线在点处的法线方程，根据这两法线重合可得出关于、的方程，解出这两个未知数的值，即可得出“公法线”方程. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 故函数的定义域为， 由求得，，则法线斜率为， 则在点处的法线方程为， 即， 由求导得，则法线斜率为， 则在处的法线方程为， 即， 由“公法线”得，， 这两个等式相加得，即， 令，则， 故函数在上为增函数， 又因为，所以函数有且只有唯一的零点， 解方程组，可得或，， 又因为，故，故要舍去，即，， 所以“公法线”方程为， 故答案为：. 14. 已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为________． 【答案】24 【解析】 【分析】按的个数及出现的位置分类，利用列举法分别求出操作次数即可. 【详解】当时，按的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况： 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 初始数列，； 所以所求操作次数的和为. 故答案为：24 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）分布列： 1 2 3 4 （2）提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【小问1详解】 样本中不感冒的男性有人，女性有 人，比例为， 按照性别采用分层抽样的方法抽取人，则抽取男性人，女性 人， 所以随机变量的所有取值为. 则 ， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. 【小问2详解】 略 16. 在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． （1）求； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出所求线段，根据勾股定理以及余弦定理，表示出四棱锥的高，结合四棱锥的体积公式，可得答案. （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 取的中点分别为，连接， 过点作，垂足为， 设，则， 为等边三角形，， 在中，， 在中，， ， 又梯形的面积， 所以四棱锥的体积为， 解得（舍去），即； 【小问2详解】 由（1）可得． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以．． 设平面的法向量为，则 取，得． 设平面的法向量为，则 取，得． 所以，， 所以平面与平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 【答案】（1）时，，， 时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可； （2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 时，，在上单调递增，无极值； 时，时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以的极大值为， 令，则， 所以在区间上单调递增，由已知， 所以，解得， 综上，. 18. 抛物线：，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. （1）若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； （2）若||＝，求面积的最大值； （3）证明：||·||=. 【答案】（1） 设，， 由得，则直线的方程为， 即，即， 同理，直线的方程为 又直线与直线都过， 则，， 从而均在直线上， 故直线的方程为，又， 故直线的方程为， 故直线过定点； （2） （3） 由题意知直线斜率存在，且. 设直线方程为， 由，得， ，. 对求导，， 所以， ， 直线的方程为， 又，直线的方程为， 同理可得直线的方程为. 由，得，所以， 当时，||=||=2，，所以||·||=； 当时，，， 又，， 所以.所以||·||=， 综上：||·||=. 【解析】 【分析】（1）利用导数分别求出直线和直线的方程，由直线和直线都过即可求出直线的方程，再根据点的纵坐标为，即可得到直线恒过定点； （2）将直线的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出的高，即可求出面积的最大值. （3）设直线方程为，与抛物线方程联立，可得，直线的方程为，进而可得直线的方程为，求得，进而可得，可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 联立，得， ，则， 则， 于是，， 又点N到直线AB的距离， 所以 (当时取等号). 则面积的最大值为； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上. （1）求的方程; （2）过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中. ① 求 ； ② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: . 【答案】（1） （2）① ②证明：因为，所以， 由得：，且， ， ， . 【解析】 【分析】（1）根据已知列出关于的方程组即可求解； （2）①设的方程为，根据韦达定理以及中点坐标公式求得的坐标，同理可得的坐标，进一步可得点的坐标即可得解；②依次得出，，进而得到，从而通过放缩和裂项即可求解. 【小问1详解】 由题意，设椭圆方程为， 则有，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设的方程为． ， 由，得， ， 同理可得：， 三点共线，当轴时，则， 当与轴不垂直时，由得： ， ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市普通高中六校联盟2025-2026学年高三第一次教学质量监测 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量且，求（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 3 B. 6 C. 60 D. 30 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥的高为h，其侧面与底面夹角为，则六棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知，函数，则下列结论一定正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为 D. 在上的最小值为 10. 已知是定义在上的奇函数，，是奇函数，且，则下列说法中正确的有（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 11. 已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若为等差数列，则数列也是等差数列 B. 若，则数列为等比数列 C. 若，则时取到最小值 D. 若为等比数列，且，则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法． 13. 过函数图象上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数的“公法线”方程为______． 14. 已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为________． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论还一样吗？请解释原因． 附录：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为． （1）求； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若存在极大值，且极大值大于0，求的取值范围. 18. 抛物线：，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. （1）若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； （2）若||＝，求面积的最大值； （3）证明：||·||=. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上. （1）求的方程; （2）过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中. ① 求 ； ② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $