精品解析：福建省福州第四中学桔园洲中学2025-2026学年上学期八年级期末考数学试卷

2025—2026学年八年级第一学期期末考试 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写道：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔的孢子直径约为，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，根据科学记数法的定义，将原数表示为的形式，其中，为负整数，其绝对值等于原数第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法计算后利用排除法求解即可． 【详解】解．A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，正确． 故选：D． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D. ，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，，，是的平分线，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先根据直角三角形两锐角互余求出，再根据是角平分线求出，最后再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ． 故选：B． 6. 如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理．做题时要从已知条件结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 根据边边边定理证明，继而证明，进而可得. 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，D是的中点， ∴． 在和中，， ∴． 在和中，， ∴． 综上所述：，，，共3对． 故选A． 7. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 8. 两人从同一地点同时出发，一人以30米/分的速度向北直行，另一人以40米/分的速度向东直行．1分钟后，他们相距（ ）米． A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断直角三角形是解答此题的关键． 两人分别向北和东行进，形成直角三角形的两条直角边，利用勾股定理计算斜边（即两人距离）． 【详解】解：向北行走的人速度为30米/分，1分钟路程为：米， 向东行走的人速度为40米/分，1分钟路程为：米， ∵两人位置构成直角三角形的两条直角边， ∴1分钟后，他们相距（米）． 故选：B． 9. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的求值，平方根的定义． 先根据得到，进而求出，求的平方根即可． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 10. 数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把加法算式中的两部分转化成线段是解题的关键． 如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ．易得当A、E、C三点共线，则的值最小为，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ． ∴， ∴当A、E、C三点共线，则的值最小为， 如图：在中，，， ∴． 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若 有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件． 根据算术平方根有意义的条件，被开方数必须大于或等于零作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴被开方数， 解得． 故答案为：． 12. 分解因式x3﹣xy2的结果是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 解：． 故答案为：x(x+y)(x-y) 13. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 当x=时，代数式的值是__________． 【答案】4 【解析】 【详解】= 16. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点C作于点J，交于点K．设正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】对于①，连接，先证明，即知，再根据，即知结论成立； 对于②，连接，先证明四边形是矩形，可证明，结合①的结论，即可证明结论； 对于③，根据勾股定理可得，即得，结合，可得，即可推得结论正确； 对于④，由③知，，即知结论成立． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 即， 由①知，， ， 故②正确； ， ， 四边形，四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 由②知，， ， ， 故③正确； 由③知，， ， 故④正确； 正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的性质、负指数次幂、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质、绝对值、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先用多项式乘多项式、完全平方公式计算，然后再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CD． 【答案】 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CEA＝∠BDA＝90°， ∵∠A＝∠A，AB=AC， ∴△ACE≌△ABD（AAS）， ∴AD＝AE， ∴AB－AE＝AC－AD，即BE＝CD． 【解析】 【分析】根据垂直得到∠CEA＝∠BDA＝90°，然后利用AAS证明△ACE≌△ABD，由全等三角形的性质得到AE＝AD，然后可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACE≌△ABD，再根据全等三角形的对应相等进行证明是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中a3． 【答案】； 【解析】 【分析】首先把括号内的分式进行通分相减，然后把除法转化为乘法，再进行约分化为最简形式，最后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当a3时， 原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算；结果化为最简形式．熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20. 某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器？ 【答案】现在平均每天生产台机器． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器，根据题意得，然后解方程并检验即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际， 答：现在平均每天生产台机器． 21. 如图，点是射线上一点． （1）在射线的右侧，过点作射线，使射线（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若射线平分，，求的度数． 【答案】（1） 如图所示： 射线即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据要求，利用尺规作图-作两个角相等即可得到答案； （2）利用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵射线平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查尺规作图﹣作两个角相等、平行线的性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学几何知识解决问题． 22. 已知，； （1）计算______；______；______； （2）求的值． 【答案】（1），3， （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则、代数式求值等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）先对x、y分母有理化可得、，再求、、，再利用二次根式的运算法则计算即可； （2）化成，再将（1）的相关结论代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ． 故答案为：，3，． 【小问2详解】 解： ． 23. 阅读材料，回答问题： 中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． （1）已知一个三角形的三边长分别为3，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______； （2）如图，已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试根据勾股定理推导出秦九韶三角形面积公式；（提示：用含a，b，c的代数式表示） （3）若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 推导：如图，作交于D， 设，，则， ∴，， ∴ ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理的应用，完全平方公式的应用． （1）任选一个公式将已知数据代入计算即可； （2）作交于D，设，，则，根据勾股定理得到，，则，即，进而得到，根据三角形面积公式得到，进而推导即可； （3）设另一边为，则第三边为，根据海伦公式得到，进而得到，根据即可求出此三角形的面积的最大值． 【小问1详解】 解：秦九韶公式：∵一个三角形的三边长分别为3，5，6， ∴ ； 海伦公式：∵一个三角形的三边长分别3，5，6， ∴， ∴ ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设另一边为，则第三边为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 即此三角形的面积的最大值为． 24. 综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】 （1）③④都真命题． ③证明：∵， ． ∵， ． ④证明：∵， ． ． ． （2）； （3）18． 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段、比例的性质、三角形的周长等知识点，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可解答； （2）由四个数a，b，c，d成比例，得到，求得，然后代入相关数值计算即可； （3）由，根据比例的性质得到．求得，再结合题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）四个数a，b，c，d成比例， ∴． ∴， ∵，，且， ． ． （3）∵， ∴． ∴． ∵的周长与的周长的差为6， ， ． ．即的周长为18． 25. 如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． （1）求证：是直角三角形； （2）如图1，若D为的中点，求证：； （3）如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2） 证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3） ，理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，二次根式和绝对值的非负性，等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级第一学期期末考试 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写道：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔的孢子直径约为，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，是的平分线，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（ ） A. B. C. D. 7. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 8. 两人从同一地点同时出发，一人以30米/分的速度向北直行，另一人以40米/分的速度向东直行．1分钟后，他们相距（ ）米． A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 9. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若 有意义，则x的取值范围是___________． 12. 分解因式x3﹣xy2的结果是___． 13. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为____________． 14. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 15. 当x=时，代数式的值是__________． 16. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，正方形，正方形，连接，，过点C作于点J，交于点K．设正方形的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为，长方形的面积为，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CD． 19. 先化简，再求值：，其中a3． 20. 某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器？ 21. 如图，点是射线上一点． （1）在射线的右侧，过点作射线，使射线（只保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若射线平分，，求的度数． 22. 已知，； （1）计算______；______；______； （2）求的值． 23. 阅读材料，回答问题： 中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）． 古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积（海伦公式）． （1）已知一个三角形的三边长分别为3，5，6．请任选一个公式算出这个三角形的面积为______； （2）如图，已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，试根据勾股定理推导出秦九韶三角形面积公式；（提示：用含a，b，c的代数式表示） （3）若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值． 24. 综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段AB，CD的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下四个命题（a，b，c，d都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 （1）该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，通过查阅资料知③，④也是真命题，但在证明上他遇到了困难．请你帮助甲同学从③和④中选择一个证明它是真命题； 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求b的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 25. 如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． （1）求证：是直角三角形； （2）如图1，若D为的中点，求证：； （3）如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $