精品解析：山东济宁市（五四学制）2025-2026学年度第一学期期末质量检测初三数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量检测初三数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内） 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 3. 在平面直角坐标系中，点A（﹣3，5）向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的点的坐标是（　　） A. （﹣3，3） B. （﹣3，7） C. （1，3） D. （﹣7，3） 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 6. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ 　） A. 90° B. 120° C. 150° D. 180° 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11. 因式分解：________ 12. 如图，在平行四边形中，，则______． 13. 如图，在中，，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是________． 14. 如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，连接，若，则的长为________． 15. 如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形 的面积为________． 三、解答题（本大题满分55分．解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． （2）以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，请画出． 18. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 19. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 20. 如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置． （1）求证：为直角三角形． （2）若，，，求的长． 21. 某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 22. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 23. 【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片中，过点B作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 请解决下列问题： （1）如图3，填空：________；（写出解答过程） （2）如图4，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测初三数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内） 1. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，波动越大判断即可. 【详解】解：最高气温数据：12，6，10， 9， 8 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：，， ， ， ， ∴方差： ∵最低气温数据：1，，， 0，2 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：， ， ， ， ， ∴方差：， ∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确； 故选：A 3. 在平面直角坐标系中，点A（﹣3，5）向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的点的坐标是（　　） A. （﹣3，3） B. （﹣3，7） C. （1，3） D. （﹣7，3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可求出平移后点的坐标． 【详解】解：将点A（﹣3，5）向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的点的坐标是（1，3）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化－平移，解题的关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 5. 若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 6. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 7. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ 　） A. 90° B. 120° C. 150° D. 180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解． 【详解】解：旋转角是． 故选：C． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，解题的关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 8. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：A选项： ∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴DO=BO， ∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意； B选项： 在与， ，， 这是SSA模型，不能判定， 因此，也不能用来判定四边形ABCD是平行四边形； 下图给出一个反例，图中， 则满足条件：，，但四边形ABCD不是平行四边形， 故B符合题意； C选项： ∵ADBC， ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC， ∵， ∴△OAD≌△OCB， ∴， ∵，， ∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意； D选项： ∵∠ABD=∠BDC， ∴ABCD． 又∵， ∴ADCB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．假如有个选项不确定，可以先判断其他选项． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上） 11. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的对角相等的性质得到，然后由邻补角的定义解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则， 所以， 故答案为：． 13. 如图，在中，，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得点为的中点，进而可得为中位线，则． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴点为的中点， ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：． 14. 如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的方向和距离得出线段的长度是解题的关键． 由平移的性质可得，由可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形 的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，关键是知识点的灵活应用；利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 三、解答题（本大题满分55分．解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先将化为，并计算括号里的加法，再计算乘法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． （2）以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，请画出． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）将点A，B，C分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得，，，顺次连接即得所求； （2）根据网格图特点，图中，,,,于是,线段绕点C逆时针方向旋转，点A至格点；同理，线段绕点C逆时针方向旋转，点B至格点，即得所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查图形平移，旋转，理解平移、旋转的定义及性质是解题的关键． 18. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1），，； （2） 八年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 【解析】 【分析】（）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解； 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． 【小问1详解】 根据七年级学生竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为， 八年级竞赛成绩中组：（人）， 组：（人）， 组：人，所占百分比为 组：（人）所占百分比为，则， ∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数， 即组第个同学竞赛成绩的平均数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 19. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置． （1）求证：为直角三角形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：由平移的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质可以知，然后根据三角形内角和定理，在中求得； （2）因为在四边形中，、分别平移到和的位置，所以有，，，就可求得的值，根据勾股定理可得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:由平移的性质得：，，， ∴， ∵，，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，掌握平移的性质是解题的关键． 21. 某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价． 【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可． 【详解】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴则甲款书签价格为（元） 答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元． 22. 在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 23. 【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片中，过点B作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 请解决下列问题： （1）如图3，填空：________；（写出解答过程） （2）如图4，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由题可知，，即 ，， 平行四边形纸片， ， ，则， ，即是等腰直角三角形， ， ，， ， ，即是等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和垂直的定义，等量代换即可求解； （2）根据平行四边形的性质和垂直的定义，易证和是等腰直角三角形，可得，，再利用“”即可证明． 【小问1详解】 解：由题可知，， ， ， ， 平行四边形纸片， ， ， ， ； 故答案为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，正确掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $