第28章锐角三角函数寒假作业-2025-2026学年人教版数学九年级下册

（寒假作业）第28章锐角三角函数-2025-2026学年数学九年级下册人教版 一、单选题 1．的值为（   ） A． B． C． D． 2．的值等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，则的长为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的正弦值为，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正切值为（　　） A． B． C．2 D． 8．图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知为锐角，，则的度数是 ． 10．一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度为，坝高，则坡面的长度是 m． 11．若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是 ． 12．如图，在中，，，过点作，点在的右上方，且满足，连接，当线段的长度最大时，则的长度为 ． 13．如图，矩形中，，，若点为线段上动点，以为斜边向矩形内部作等腰直角，，连接，当有最小值时，点到直线的距离为 ． 14．如图，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是 ． 15．如图，在中，，，，是边上异于点，的一个动点，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，则四边形面积的最大值是 ． 16．以矩形的一条对角线的两个端点和另一条对角线所在直线上的两点为顶点的平行四边形，被称为矩形的“随影平行四边形”．如图（1）、图（2），，均是矩形的“随影平行四边形”．如图（3），在中，，，．若是某个矩形的“随影平行四边形”，则该矩形的面积为 ． 三、解答题 17．计算： 18．如图，在中，，O为上一点，与相切于点E，连接，经过点A、E的分别交、于点D、F． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 19．2025年6月17日，“魅力重庆”无人机灯光秀以11787架无人机，获得吉尼斯世界纪录“最多无人机组成的空中图案”的称号．为保证表演的顺利进行，有关部门分别在弹子石的点、朝天门的点、江北嘴的点和北滨路的点使用反制无人机压制干扰信号．经测量，在的北偏东方向，在的东南方向1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，） (1)求，两点的距离；（结果保留根号） (2)表演过程中，有甲、乙两架无人机在人群上空巡航，它们同时从点出发，前往点．甲无人机的巡航路线：，速度为30米／分；乙无人机的巡航路线：，速度为40米／分．请通过计算说明甲乙两架无人机哪一架先到达点．（结果保留整数） 20．如图，在矩形中，，E是边的中点，连接，过点作交于点，连接．    (1)求证：． (2)求的正弦值． 21．【证明体验】（1）如图1，在正方形中，E，F分别是对角线和边上的点， ①连接，求证：；②________． 【思考探究】（2）如图2，在矩形中，，，E，F分别是对角线和边上的点，已知，，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在菱形中，，，交延长线于点H，点E在对角线上，点F为的中点，，求的长． 22．如图，，，，． (1)特例发现： ①________ ②如图1，当点，分别在，上时，可以得出结论：________，直线与直线的位置关系是________； (2)探究证明：如图2，将图1中的绕点顺时针旋转，使点恰好落在线段上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展运用：如图3，将图1中的绕点顺时针旋转，连接、，它们的延长线交于点，当时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第28章锐角三角函数-2025-2026学年数学九年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D C C C C D 1．C 【分析】本题主要考查了求特殊角的三角函数值，根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算，直接代入特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选C 3．D 【分析】本题考查了勾股定理，求角的正弦值，由勾股定理得，然后通过，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4．C 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．由的值设，，利用勾股定理求，再根据的定义计算 【详解】解：∵在中，，若 ， ∴设，， 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解直角三角形可得，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．C 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用．在中，通过已知边和已知角的正弦值，即可计算出未知边的长度． 【详解】解：在中，， ∵， ； 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查相似三角形、网格中的三角函数，准确作出辅助线是解题的关键． 首先连接格点，根据得到，即可在中求得即为的正切值． 【详解】如图，连接格点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，过点作，垂足为，延长交于点，得四边形是矩形，所以，，求出，则，所以此人要能被摄像头识别，其身高不能超过，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴此人要能被摄像头识别，其身高不能超过， 故选：． 9． 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】∵为锐角，，， ∴ 故答案为． 10．12 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题关键． 利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵迎水坡的坡度为， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：12． 11．直角三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是根据绝对值和平方的非负性质，得到和的值，进而求出α和β的度数，从而确定三角形的形状．本题据此求解即可． 【详解】解：∵若，是一个三角形的两个锐角，且满足， ∴， ∴， ∴三角形中另外一个角为， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 12．/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理作，交于点，取中点，连接，，证明，求得，推出点在以为直径的上，当三点共线时，最大，据此计算即可求解． 【详解】解：如解图，作，交于点，取中点，连接， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵点在以为直径的上， ∴， 在中，， ∵， 当三点共线时，最大(如解图)， 此时， ，是等边三角形， ∴，， ， 当长度最大时，的长度是， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据轴对称图形的特征转化为最短线段.题为求的最小值，即可转化为求的最小值，当共线时，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长使，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当共线且时，有最小值，最小值为， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点到直线的距离为,即中边上的高， ， 解得:． 故点到直线的距离为． 14．10 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形，根据切线的性质，切线长定理，得到，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】解：∵是的切线，A，C为切点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 15． 【分析】本题考查解直角三角形，折叠问题，垂线段最短． 作，作，解直角三角形，解直角三角形，求出，的长，进而求出的面积，等积法求出的长，根据折叠推出为等腰直角三角形，，进而得到最小时，的面积最小，得到当点与点重合时，最小，求出此时的面积，进而求出四边形面积的最大值即可． 【详解】解：作，作， 在中，， ∴，； 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∵， ∴当的面积最小时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由垂线段最小，得到当，即点与点重合时，最小，此时， ∴的面积最小， ∴四边形面积的最大值为； 故答案为：． 16．或 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质，锐角三角函数的应用，熟练的画出图形是解本题的关键．如图，记的交点为，是矩形的“随影平行四边形”，求解，，再进一步分两种情况求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为，是矩形的“随影平行四边形”， ∵在中，，，， ∴，，， ∵矩形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴矩形的面积为， 如图，记的交点为，是矩形的“随影平行四边形”， 同理可得：是等边三角形，，，， ∴， ∴矩形的面积为． 故答案为：或 17． 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，负指数幂，乘方运算，三角函数，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． ． 18．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定及性质，正弦函数等；能熟练利用正弦函数进行求解是解题关键． （1）连接，由直径所对的圆周角是直角得，结合平行线的判定及性质、等腰三角形的性质得，即可得证； （2）连接，由正弦函数得，，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 设，则， ， 解得， ， ， 解得． 19．(1)米 (2)乙无人机先到达点 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）过点作于点，则，由题意得，，米，再分别解和，求出的长，即可解答； （2）分别计算甲、乙无人机巡航所需时间，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 则， 由题意得，，，米， 在中，（米），（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：，两点的距离为米； （2）解：由（1）得，米， ∴（米）， ∴甲无人机巡航所需时间为（分）； 如图，过点作交延长线于点， 则， 由题意得，，， ∴， 在中，（米），（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴乙无人机巡航所需时间为（分）； ∵， ∴乙无人机先到达点． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，勾股定理，三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在矩形中，，因为，所以，故，则可证明； （2）由得，而是边的中点，所以，可求，进而可求，由勾股定理得，则的正弦值可求． 【详解】（1）解：在矩形中， ， ； （2）解：， 而是边的中点， ， ∴， ， ∴ 由勾股定理得， ∴． 21．（1）①见解析；②；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了正弦的定义、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）①由正方形的性质可得，再结合可得即可证明结论；②由正方形的性质和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质列比例式即可解答； （2）如图：连接，由矩形的性质以及勾股定理可得，则，再结合可得，即，易证，再根据相似三角形的性质列比例式即可解答； （3）如图：连接交于点O，由菱形的性质以及勾股定理可得，则、，再结合可得，易证，再运用等面积法以及相似三角形的性质列比例式即可解答． 【详解】解：（1）①证明：四边形为正方形， ， ， ， ． ②∵正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图：连接， 四边形为矩形， ， ， ， ，即，解得：． （3）如图：连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，解得：， ， ，解得：． 22．(1)①，②，垂直 (2)结论成立 (3) 【分析】（1）①根据特殊角锐角函数值解答即可；②解直角三角形求出，，可得结论； （2）结论不变，证明，推出，，可得结论； （3）证明，推出，，进而得到，可证明四边形是平行四边形，从而得到，再由勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：①； 故答案为： ②在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， ∴，此时， 故答案为：，垂直； （2）解：结论成立．理由： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $