第26章反比例函数寒假作业-2025-2026学年人教版数学九年级下册

（寒假作业）第26章反比例函数-2025-2026学年数学九年级下册人教版 一、单选题 1．下列函数不是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A．． B． C． D． 3．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示，当时，气体的密度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是反比例函数的图象上一点，若图中阴影部分的矩形面积是3，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 6．关于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第二、四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 7．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点D，交边于点E，且，若四边形的面积为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 二、填空题 9．在函数中，当时，的取值范围是 ． 10．若是反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，则a的值为 ． 11．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 12．如图，矩形顶点，在y轴上，顶点在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为．若反比例函数的图象经过点，则k的值为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为 ． 14．如图，已知菱形，顶点C在x轴上，反比例函数的图像经过顶点，OB与反比例函数的图像交于点D．点D的坐标是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为 ． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上．若直线的表达式为，点，求点B的坐标． 17．如图，直线与双曲线交于，两点，且与x轴交于点C． (1)求m，k，b的值； (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积． 18．当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的部分数据如表： 镜片焦距（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ (3)若配镜师需配制一副度数小于度的近视眼镜，请求出焦距的取值范围． 19．参照学习函数的过程与方法，探究函数 的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … ■ 4 2 1 … … m ■ 4 2 1 … (1)m = _________． (2)请画出函数的图象； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，y 随 x 的增大而___________；（填“增大 ”或“减小 ”）②图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 20．有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质． 小明根据学习函数的经验，对函数与，当时的图象性质进行了探究． 下面是小明的探究过程： (1)如图所示，设函数与图象的交点为，已知点的坐标为，则点的坐标为___________； (2)在（1）的条件下，若点为第一象限内双曲线上不同于点的任意一点． ①设直线交轴于点，直线交轴于点．求证：． ②当点坐标为时，判断的形状，并用表示出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第26章反比例函数-2025-2026学年数学九年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A A B D A B 1．A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键； 反比例函数的形式为，或，其中为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】A、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； B、，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查反比例函数的性质，需先判断函数图象所在象限，再根据增减性比较横坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小； ∵，即， ∴， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；反比例函数图象的分布取决于系数的符号，当系数小于0时，图象在第二、四象限. 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴ ， 故选：A. 4．A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从图象获取信息求得反比例函数的解析式是解题的关键． 根据图象可知点在该反比例函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后代入时，求得对应的函数值即可． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 由图象可知，点在该反比例函数图象上， 则，即， ∴该反比例函数的解析式为， ∴当时，． 故选：Ａ． 5．B 【分析】本题主要考查了反比例函数中的比例系数k的意义，熟练掌握在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数是解决此题的关键． 设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【详解】解：设点P的坐标为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点P在第二象限， ∴． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，可得，图象在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，逐项分析判断． 【详解】解：当时， ，即点 在反比例函数图象上，A正确； ，故反比例函数图象在第二、四象限，B正确； 当时， 随的增大而增大，C正确； 当时， ，即 ，D不正确； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值． 【详解】解：连接， 如图所示： ∵四边形是矩形， ，． ∵D、E在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ． 故选A． 8．B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象交点及不等式解集的结合，利用函数图象的位置关系确定不等式的解集，即一次函数图象在反比例函数图象上方(包括交点)时对应的的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方(包括交点)时的取值范围． 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足； 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：B． 9． 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质，结合自变量 x 的取值范围，分析函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵函数 是反比例函数，比例系数 ， ∴函数图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵当 时，， ∴当 时，，且 y 为正数， 因此，y 的取值范围是 ， 故答案为：． 10．1 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质；根据反比例函数的定义，指数部分需为，且系数大于0以保证函数值随自变量增大而减小． 【详解】解：∵是反比例函数 ∴，解得     ∵在每一个象限内，随的增大而减小 ∴ ∴ 故答案为：1． 11． 【分析】本题考查反比例函数图象与性质． 根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：函数的图象经过点和， ， 解得， 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键． 由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案． 【详解】解：设点， ∵轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6， ， ， 故答案为3． 13． 【分析】本题考查反比例函数的意义，分式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题的关键；将分别代入反比例函数和一次函数解析式，得，，再代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵点经过， ∴， ∵经过， ∴， ∵， 故答案为． 14． 【分析】本题考查了一次函数图像与反比例函数图像的交点问题，菱形的性质，勾股定理，求函数解析式等知识点． 先利用待定系数法求出反比例函数解析式，由得，又因为四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】解：把代入，得， ∴反比例函数解析式为， ， ， 四边形是菱形， ，， ， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的解析式为， 点是反比例函数与正比例函数的交点， 联立解析式， 解得或， ， ， 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 16．点B的坐标为． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，把代入进而求出点A的坐标，把代入中，即可求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数的解析式并求解即可求出点B的坐标． 【详解】解：把代入， 得：， ∴， 把代入中， 则， ∴反比例函数的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为． 17．(1)， (2)或 (3)16 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，熟知待定系数法是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式可求出m的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式可求出a的值，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式可求出k、b的值； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可； （3）求出点C的坐标，根据列式求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴双曲线解析式为 又在双曲线上， ， 解得， ∴ 把点A，B的坐标分别代入，得， 解得． （2）解：由函数图象可知，关于x的不等式的解集为或． （3）由（1）可知直线的解析式为， 在中，当时，， 解得， 点C的坐标为， ． 18．(1)； (2)上升了度； (3)米． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （）根据每组与的乘积都相等，猜想函数模型是反比例函数，再利用待定系数法求解即可； （）分别求出当时和当时，的值，由此即可得； （）由，即，，所以，然后求出的范围即可． 【详解】（1）解：由表格可得，，，，， 猜想与成反比例函数关系，设，则， ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∴上升了（度）， 答：嘉琪同学的眼镜度数上升了，上升了度； （3）解：由，即，， 所以， ， 答：焦距的取值范围为米． 19．(1) (2)见解析 (3)①减小；② 【分析】本题考查了类似于反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线画图及数形结合得到函数性质． （1）把代入中即可求解； （2）描点、连线，用光滑的曲线连接起来即可； （3）观察图象并结合表格即可完成． 【详解】（1）解：当时，， 即； 故答案为：； （2）解：图象如下： （3）解：①观察图象并结合表格知，当时，y 随 x 的增大而减小； 故答案为：减小； ②图象关于点成中心对称． 故答案为：． 20．(1) (2)①见解析；②是直角三角形；当时，； 当时，． 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了正(反)比例函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据正、反比例函数图象结合点的坐标求出点的坐标；（2）①利用等腰三角形的三线合一证出；②学会勾股定理逆定理的应用． （1）根据题意，得两点关于原点对称，结合点的坐标为，则点的坐标为点A坐标的相反数解答即可． （2）①不妨设，设直线的解析式为，求得故直线的解析式为，得到，同理可证，，过点P作于点H，则，证明直线是线段的垂直平分线，解答即可． ②根据勾股定理的逆定理，两点间距离公式，直角三角形的面积，二次根式的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得两点关于原点对称， 又点的坐标为， 故点的坐标为点A坐标的相反数即， 故答案为：． （2）①解：点为第一象限内双曲线上不同于点的任意一点，由反比例函数的解析式为，不妨设，设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故直线的解析式为， 令，解得， 故， 同理可得，， 过点P作于点H，则， 又， 故线段的中点坐标为， 故直线是线段的垂直平分线， 故． ②解：由点坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故，， ， ， 故， 故是直角三角形； 故， 当时，； 当时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $