专题25.2 正比例函数（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本讲义聚焦正比例函数核心知识点，系统梳理从成正比例的概念辨析、函数定义（y=kx,k≠0），到图像画法（两点法过原点和(1,k)），再到k的符号对图像象限与增减性影响的完整脉络，搭建递进式学习支架。 资料以“即学即练”结合正方形周长等实例，培养抽象能力与数学眼光，通过分层题型（如辨析、求表达式、实际应用）训练推理意识，助力教师课堂教学，课后学生可借实例巩固知识，查漏补缺，发展模型意识与应用能力。

专题25.2 正比例函数 教学目标 1.  掌握正比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0），能准确识别正比例函数并指出比例系数k。 2.会用描点法画正比例函数图像，知道其是过原点的直线，能快速画出过(0,0)和(1,k)的直线。 3.掌握k的符号对图像象限与增减性的影响；会用待定系数法求解析式并解决简单实际问题。 教学重难点 1.重点 理解正比例函数的概念、图像及其性质； 2.难点 理解比例系数k对图像位置与增减性的影响，以及掌握并利用数形结合的思想解决问题. 知识点01 正比例函数的概念 1.成正比例 如果变量y与变量x的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例，用数学式子表示为=k或y=kx,其中k是一个不等于0的常数. 【即学即练】 例1 下列表述中的变量y与变量x是否成正比例? (1)正方形的周长随着边长的变化而变化，正方形的周长y(cm)与该正方形的边长x(cm); (2)圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积y(单位：m²)与该圆的半径x(单位：m); (3)在路程一定的情况下，汽车行驶的时间随着速度的变化而变化，汽车的用时y（h）与汽车的速度x(km/h). 解：（1）因为y=4x,所以=4，所以正方形的周长与边长成正比例； （2） 因为y=,所以=，这里y与的比值是个常数，但y与x的比值不是常数，所以圆的面积y与半径不成正比例; （3） 设路程为s，则s=xy，这里y与x的乘积是个常数，不是比例是个常数，所以在路程一定的情况下，汽车的用时y（h）与汽车的速度x(km/h)不成正比例. 2.正比例函数的概念 形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫作正比例函数，其中非零常数k称为比例系数，自变量x的取值范围是一切实数. 正比例函数的本质是指y与x的比值是个不为0的常数. 【即学即练】 例2 下列函数哪些是正比例函数? (1) =-2;(2)m=-n;(3)y=x+3;(4)y=x². 解析：要判定一个函数是不是正比例函数，关键是看它的表达式是否符合y=kx(k是常数，k≠0)的形式. 解：(1) =-2是正比例函数，因为y=-2x，符合y=kx(k=-2≠0)的形式. (2)m=n是正比例函数.因为它符合y=kx(k=1≠0)的形式. (3)y=x+3不是正比例函数.因为它不符合y=kx(k≠0)的形式. (4)y=x²不是正比例函数.因为它不符合y=kx(k≠0)的形式. 3.正比例函数表达式的确定——待定系数法 确定了比例系数k,就可以给出正比例函数的表达式：y=kx(k≠0). 求正比例函数表达式的方法是待定系数法.表达式中k是待定系数，利用已知条件列出关于k的方程再求解，可确定k的值. 说明： ①正比例函数的表达式是由比例系数“k”决定的，意思是“k”相同表达式就相同，反之“k”不同表达式就不同。 ②正比例函数的表达式与自变量与函数选用什么字母没有关系. 譬如“y=3x”与“m=3n”是体现同一种函数关系的表达式；“y=4x”与“y=3x”虽然字母相同，但比例系数不同就是不同的函数关系的表达式. 【即学即练】 例3 已知正比例函数y=-x,指出此函数的比例系数，并求当自变量x分别取-5、0、3时的函数值. 解：函数y=-x的比例系数是-. 当x=-5时，y=(-)×(-5)=; 当x=0时，y=(-)×0=; 当x=3时，y=(-)×3=; 例4 已知y是x的正比例函数，当x=3时函数值为24. (1)求该函数的表达式； (2)当函数值分别为-5、0、3时，求自变量x的值. 解：因为y是x的正比例函数，可设其表达式为y=kx(k≠0). 根据题意，3k=24,解得k=8. 所以该函数的表达式为y=8x. 由y=8x, 知当y=-5时，-5=8x,解得x=-5; 当y=0时，0=8x,解得x=0; 当y=3时，3=8x,解得z=8. 知识点02 正比例函数的图像 1.正比例函数y=kx(k≠0)的图像 正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y=kx. 说明： ①正比例函数图像上任意一点的坐标都满足函数的表达式； ②同时，对于任意满足这个函数表达式的x、y,以(x,y)为坐标的点都在所画的直线上. 2.正比例函数图像的画法——“两点法” 因为两点确定一条直线，所以可用“两点法”画正比例函数y=kx(k≠0)的图像，即经过原点(0,0)和其他任意一点(x,kx),即可画出正比例函数y=kx(k≠0)的图像. 说明： ①因为两点确定一条直线，且正比例函数的图像都经过原点，所以画图时可以取(0,0)和(1,k)两点. ②为了描点更方便、更准确，取横、纵坐标时，都尽量是整数. 【即学即练】 例5 已知正比例函数y=4x的图像经过点A（m，m+3），则m=_______. 解：因为已知正比例函数y=4x的图像经过点A（m，m+3） 所以，m+3=4m 解之得，m=1. 例6 在同一直角坐标系中画出函数y=4x和y=-4x的图像. 解：列表： x 0 1 y=4x 0 4 x 0 1 y=4x 0 4 描点、连线 如图所示，直线y=4x,y=-4x分别为所求作的正比例函数的图像. 知识点03 正比例函数的性质 正比例函数的性质如下： y=kx（k≠0） 图像 经过的象限 增减性 K>0 经过第一、三象限 经过（0，0）、（1，k）从左往右， 图像是上升的； y随x增大而增大 K<0 经过第二、四象限 经过（0，0）、（1，k）从左往右， 图像是下降的； y随x增大而减小 说明：正比例函数的性质是由比例系数“k”决定的，性质的逆命题也成立，即若正比例函数图像经过第一、三象限，则K>0且y随x增大而增大；若正比例函数图像经过第二、四象限，则K<0且y随x增大而减小； 【即学即练】 例5已知正比例函数y=x的图像经过点A（-1，a）、B（-3,b），且mn<0，比较a,b的大小. 解：因为mn<0，所以<0， 所以已知正比例函数y=x经过第二、四象限且y随x增大而减小， 又因为-1>-3 所以a<b. 题型01 成正比例的辨析 【典例1】长方形的宽b一定，它的长a与周长C是否成正比例？ 【答案】不成正比例 【分析】本题考查成正比例的意义，如果变量y与变量x的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例，解题的关键是计算准确理解正比例的含义． 【详解】解：因为c=2(a+b)，所以c=2a+2b，所以c与a的比值不是个常数，所以长方形的宽b一定，它的长a与周长C不成正比例. 【变式1】圆的半径r与它的面积S是否成正比例？ 【答案】不成正比例 【分析】本题考查成正比例的意义，如果变量y与变量x的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例，解题的关键是计算准确理解正比例的含义． 【详解】解：因为S=，所以S与r的比值不是个常数，所以圆的半径r与它的面积S不成正比例. 【变式2】匀速运动中，路程s与时间t是否成正比例？ 【答案】成正比例 【分析】本题考查成正比例的意义，如果变量y与变量x的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例，解题的关键是计算准确理解正比例的含义． 【详解】解：因为s=，又因为是匀速行驶，所以v是个常数，所以S与t的比值是个常数，所以匀速运动中，路程s与时间t成正比例. 【变式3】三角形的面积一定，它的一边a与这边上的高h是否成正比例？ 【答案】不成正比例 【分析】本题考查成正比例的意义，如果变量y与变量x的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例，解题的关键是计算准确理解正比例的含义． 【详解】解：因为s=，所以ah=2s，又因为面积，所以2s是个常数，所以a与h的比值不是个常数，所以三角形的面积一定，它的一边a与这边上的高h不成正比例. 【变式4】两数的商不变，被除数与除数(除数不为零)是否成正比例？ 【答案】成正比例 【分析】本题考查成正比例的意义，如果变量y与变量x的比值是一个不等于0的常数，那么就说变量y与变量x成正比例，解题的关键是计算准确理解正比例的含义． 【详解】解：因为商不变，所以被除数与除数的比值是个常数，所以两数的商不变，被除数与除数(除数不为零)成正比例. 题型02 正比例函数的概念辨析 【典例1】．下列函数中，是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的形式为（k为常数，），根据定义直接判断各选项是否符合． 【详解】∵正比例函数的标准形式为， 选项A：，含有常数项+1，不符合形式； 选项B：，是反比例函数，不符合形式； 选项C：，符合形式，且； 选项D：，是二次函数，不符合形式． 故选：C． 【变式1】已知函数是关于的正比例函数，则关于字母、的取值正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得，b-1=0，解出即可． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴，b-1=0， 解得：，． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 【变式2】下列问题中的两个变量之间具有函数关系：①面积一定的长方形的长与宽；②圆的周长与半径；③正方形的面积与边长；④速度一定时，行驶的路程与行驶时间．其中两变量之间成正比例函数关系有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据长方形面积公式解题； ②根据圆的周长公式解题； ③根据正方形面积公式解题； ④根据速度=路程时间解题． 【详解】①设长方形的面积为S，根据题意得，当面积S一定时，长与宽成反比例函数，故①不符合题意； ②圆的周长，是常数，周长与半径成正比例函数，故②符合题意； ③正方形的面积，两个变量成二次函数，故③不符合题意； ④路程，当速度v一定时，行驶的路程S与行驶时间成正比例函数，故④符合题意，符合题意的有②④， 故选：B． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，其中涉及用关系式表示变量之间的关系等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式3】当 时，函数是正比例函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．根据正比例函数的定义，函数需满足指数为1且系数不为零． 【详解】解：由正比例函数的定义得：且， 由得， 解得：或， 当时，，不符合系数不为零的条件； 当时，，符合条件； 故． 故答案为：． 【变式4】已知． 当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 【答案】， 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如的是正比例函数． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 解得：． 题型03 求正比例函数的表达式 【典例1】已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次方程等知识点． （1）根据正比例函数的定义设出函数表达式，再把，代入求出的值即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 把，代入，得： ， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，与的函数表达式为， 把点代入，得： ， 解得：． 【变式1】已知y是x的正比例函数，并且当x=-2时，y=6． （1）求y关于x的函数解析式： （2）当y=3时，求x的值． 【答案】（1）y=-3x；（2）-1 【分析】（1）根据y与x成正比例关系设出函数的解析式，再把当x=-2时，y=6代入函数解析式即可求出k的值，进而求出y与x之间的函数解析式． （2）根据（1）中所求函数解析式，将y=3代入其中，求得x值． 【详解】解：（1）设y=kx（k≠0）． 将x=-2，y=6代入得：6=-2k， 所以，k=-3， 所以，y关于x的函数解析式为y=-3x； （2）由（1）知，y=-3x， ∴当y=3时，3=-3x， 即x=-1． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、函数值．利用待定系数法求一次函数的解析式，通常先设出一次函数的关系式y=kx+b（k≠0），将已知两点的坐标代入求出k、b的值，再根据一次函数的性质求解． 【变式2】已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A(﹣3，6)． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x=﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y=． 【答案】（1）y=﹣2x；（2）y=12；（3）x=﹣． 【分析】（1）设正比例函数解析式为y=kx，把点的坐标代入计算即可得解； （2）把x=-6代入解析式解答即可； （3）把y=代入解析式解答即可． 【详解】（1）设正比例函数解析式为y=kx， ∵图象经过点(﹣3，6)， ∴﹣3k=6， 解得k=﹣2， 所以，此函数的关系式是y=﹣2x； （2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12； （3）把y=代入解析式可得：x=﹣． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，根据正比例函数的定义设出解析式，代入点的坐标进行计算是待定系数法的一般步骤． 【变式3】已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例的定义、利用待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握理解正比例的定义是解题关键． ①设，将时，代入求出k的值即可得； ②根据①的结论，将代入求值即可得． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， 解得， 则这个函数的解析式是； （2）解：由（1）可知，， ∴当时，． 【变式4】已知y+4和x成正比例，且x=3时，y=1；求x=﹣5时，求y的值． 【答案】当x=﹣5时，y=﹣． 【分析】根据正比例函数的定义设出y+4与x的解析式，然后代入x=3，y=1求出y与x的解析式，再把x=-5代入解析式进行计算即可． 【详解】解：∵y+4和x成正比例， ∴y+4=kx（k≠0）， ∵x=3时，y=1， ∴1+4=3k，k=， ∴y=x﹣4． 当x=﹣5时， ∴y=×(﹣5)﹣4=﹣． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，熟记正比例函数的一般式是解决此题的关键． 题型04 正比例函数的图像 【典例1】在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=2x，y=-2x. 【答案】图像见解析 【详解】试题分析：根据一次函数的图象是直线，而易得y=2x的图象过原点，且过点（1，2），y=-2x的图象过原点，且过点（1，-2），据此作图可得． 试题解析：根据一次函数的特点，y=2x的图象过原点，且过点（1，2）， 同理，y=-2x 的图象过原点，且过点（1，-2）. 又由其图象为直线，作出图象如图所示. 【变式1】已知直线y=-6x，则下列各点中一定在该直线上的是(     ) A．（3，18） B．(-18，-3） C．（18，3） D．（3，-18） 【答案】D 【详解】A选项：当x=3时,y=-18≠18,故该选项的点不在直线上； B选项：当x=-18时,y=108≠-3, 故该选项的点不在直线上； C选项：当x=18时,y=－108≠3, 故该选项的点不在直线上； D选项：当x=3时,y=－18, 故该选项的点在直线上. 故选D. 【变式2】设点是正比例函数x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：把点代入正比例函数，可得，所以，选项正确．故选D. 【变式3】已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1)，图像见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与正比例函数的性质应用，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）先根据正比例函数表达式的定义，列出关于的方程，且，确定函数表达式为，然后画出图像； （2）依据正比例函数的增减性“系数为负时，随的增大而减小”，在的条件下，找到的最大值为，代入函数求出的最小值为． 【详解】（1）解：，且是关于的正比例函数， ，， ， ， 函数的图像如下图： ． （2）中，随的增大而减小，且， 当时，函数有最小值，最小值为． 答：函数的最小值． 【变式4】已知正比例函数，． (1)在同一平面直角坐标系中画出上述两个正比例函数的图象，并用量角器度量一下这两条直线的夹角，可以发现这两条直线的位置关系是________________． (2)根据（1）中两函数的图象及其位置关系，猜想直线与直线的位置关系是________________． (3)若直线（a为常数）与直线互相垂直，求a的值． 【答案】(1)见解析   垂直 (2)垂直 (3) 【分析】本题考查了正比例函数图像和两条直线垂直的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据题干给出的解析式直接画图即可； （2）观察题干给的两个函数解析式与本小题给出的解析式有什么联系与区别即可得出位置关系； （3）根据前两问得到的规律进行计算即可．   【详解】（1）解：正比例函数，的图象如图所示． 垂直 （2）解：垂直 观察（1）中两函数k值的乘积为： 对于直线和的k值乘积为：； ∴猜想为垂直关系． （3）解：∵直线（a为常数）与直线互相垂直， ∴， ∴． 题型05 正比例函数的性质 【典例1】．已知函数y＝(1－2k)x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么k的取值范围是(　　) A．k＜ B．k＞ C．k＞0 D．k＜1 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】∵正比例函数y=（1-2k）x，y随x的增大而减小， ∴1-2k<0． 解得k> . 故选B． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 【变式1】．关于函数y=2x，下列结论中正确的是（　　） A．函数图象经过点（2，1） B．函数图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0 【答案】C 【详解】A：当x=2时，y=4≠1，∴函数图像不经过（2，1），故错误； B：k=2＞0，∴函数图像经过一、三象限，故错误； C：k＞0，y随着x的增大而增大，故正确； D：当x＜0时，y＜0，故错误. 故选C. 点睛：掌握正比例函数图像的性质. 【变式2】．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是正比例函数y=kx（k＜0）图像上两点，若x1＞x2，则下列结论正确的是(     ) A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．-y1＜-y2 【答案】A 【详解】∵正比例函数y=kx（k＜0）， ∴y随x的增大而减小， 又∵x1＞x2, ∴y1<y2. 故选A. 【变式3】已知函数． (1)在同一平面直角坐标系中画出上面各函数的图象． (2)探索发现：随着的增大，直线的倾斜程度有何变化？ (3)灵活运用：已知正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如右图所示，则与的大小关系为______． 【答案】(1)见解析， (2)随着的增大，直线的倾斜程度越来越大， (3)， 【分析】本题考查了正比例函数的图象及性质，根据题目要求画出函数图象，解题的关键是熟悉图象的倾斜程度与斜率的关系， 【详解】（1）如图所示． （2）观察这些函数的图象可以发现，随着的增大，直线的倾斜程度越来越大． （3）由题可知，均小于0，且直线的倾斜程度越来越大，的增大，故. 【变式4】已知一次函数的图像经过点． (1)求k的值； (2)在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)若，则的取值范围是______（直接写结果）． 【答案】(1)； (2)见详解； (3) 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，画出函数图象，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）求出时的x的值，利用图象法确定取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得：； （2）解：由（1）得，取 画图象如下： （3）由（1）知：， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：， ∴当时， 故答案为：． 题型06 正比例函数的应用 【典例1】2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数是解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为．． （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 【变式1】汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度有一定的函数关系，相关统计数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 (1)请求出y关于x的函数关系式． (2)若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？ 【答案】(1) (2)车速应该限制在以内 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，解题时要能读懂题目，理解题意，正确进行计算是关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知y与x满足正比例函数关系，设y关于x的函数关系式为． 将，代入，得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：由题意，得，解得：， ∴车速应该限制在以内． 【变式2】如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【答案】(1) (2)小张购买这张消费卡实际花费元 【分析】本题主要考查正比例函数的应用， （1）依据题意，设解析式为，把代入，计算即可得解； （2）依据题意，结合（）令时，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设解析式为，把代入得： ． ． 所求函数关系式为． （2）由题意，结合（1）， 令时，． 小张购买这张消费卡实际花费元． 【变式3】A、B两地相距300km，一辆汽车从A地到B地匀速行驶，行驶的路程s（km）是时间t（h）的正比例函数.下表是行驶路程s与时间t的部分对应值表. T(h) 2 2.5 n S(km) 120 m 180 (1)根据表中的信息，求这个函数的表达式及自变量x的取值范围. (2)求表格中的m,n的值. 【答案】(1)y=60x(0x5) (2)m=150km,n=3h. 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，解题时要能读懂题目，理解题意，正确进行计算是关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知y与x满足正比例函数关系，设s关于t的函数关系式为s=vt． 将t=2，s=120代入，得120=2v，解得：v=60km/h， ∴s关于t的函数关系式为s=60t(0x5) (2)当t=2.5h时，s=2.5km, 当s=180时，180=60t 解之得，t=3 ∴m=150km,n=3h. 【变式4】甲、乙两辆汽车沿同一公路同时从A地出发前往相距90 km的B地，行驶过程中所行路程分别用y₁、y₂(单位：km)表示，它们与行驶时间x(单位：min)的函数关系如图所示. (1)分别求出y₁、y₂关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)分别求行驶了50 min及80min时，两车之间相距的路程. 【答案】（1）, 【分析】本题考查成正比例函数的应用，解题的关键是计算准确理解正比例的含义． 【详解】 (1)由由题意，可知、与x满足正比例函数关系，设关于x的函数关系式为①，设关于x的函数关系式为②. 将x=60，y=90代入①，得，60m=90解得：m=1.5， ∴y关于x的函数关系式为; 将x=100，y=90代入②，得，100n=90解得：n=0.9， ∴y关于x的函数关系式为. (2)当x=50（min）时，=75km,=45km -=30km; 当x=80（min）时，甲车已经到达终点，所以此时=90km, 当x=80（min）时=81km 所以-=9km; 当x=50（min）时两车相距30km，当x=80（min）时两车相距9km. 一、单选题 1．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（　　） A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系 B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3 C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系 D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系 【答案】D 【分析】分别列出每个选项的解析式，根据正比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A选项，S=πr2，故该选项不符合题意； B选项，y=15+5x，故该选项不符合题意； C选项，∵ah=S， ∴a=，故该选项不符合题意； D选项，y=60x，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，掌握形如y=kx（k≠0）的函数是正比例函数是解题的关键． 2．下列问题中的两个变量是正比例函数关系的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的路程一定，它所行驶的速度与时间 【答案】B 【分析】形如y=kx（为常数，）的函数称为正比例函数．看两个变量是否具有正比例关系，主要看它们的比值是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可． 【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项不符合题意； B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项符合题意； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意； D．汽车所行的路程一定，它所行驶的速度与时间是反比例关系，故此选项不符合题意． 故选：B． 3.下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； B．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； C．，符合正比例函数的定义，是正比例函数； D．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； 故选：C． 4．已知正比例函数，若该正比例函数经过点，则的值为（      ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案． 【详解】解：由题意，得 6m-1=3m， 解得m=， 故选A 【点睛】本题考查了一次函数图上点的坐标特征，利用函数图象上的点满足函数解析式是解题关键． 5．正比例函数y=3x的大致图像是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵3>0, ∴图像经过一、三象限. 故选B. 点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx，当k＞0时， y=kx的图象经过一、三象限；当k＜0时， y=kx的图象经过二、四象限. 6．经过以下一组点可以画出函数y＝2x图象的是() A．(0，0)和(2，1) B．(0，0)和(1，2) C．(1，2)和(2，1) D．(－1，2)和(1，2) 【答案】B 【详解】分别把各点坐标代入函数y=2x进行检验即可． 解答： A. ∵当x=2时,y=4≠1,∴点(2,1)不符合，故本选项错误； B. ∵当x=1时，y=2；当x=0时，y=0，∴两组数据均符合，故本选项正确； C. ∵当x=2时,y=4≠1,∴点(2,1)不符合，故本选项错误； D. ∵当x=−1时，y=−2≠2；∴点(－1，2)不符合，故本选项错误. 故选B. 7．结合正比例函数y=4x的图象回答：当x＞1时，y的取值范围是（　　） A．y=1                                    B．1≤y＜4                                C．y=4                                     D．y＞4 【答案】D 【详解】解：如图所示： 当x＞1时，y＞4，故选D． 点睛：此题主要考查了画正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）图象经过（0，0）和（1，k）． 8．以下各点中，在正比例函数y=2x图象上的是（     ） A．（2，1） B．（1，2） C．（—1，2） D．（1，—2） 【答案】B 【详解】A.∵当x=2时,y=2×1=2≠1，∴此点不在正比例函数y=2x图象上，故本选项错误； B.∵当x=1时,y=2×1=2≠2，∴此点在正比例函数y=2x图象上，故本选项正确； C.∵当x=-1时,y=2× (−1) =−2≠2，∴此点不在正比例函数y=2x图象上，故本选项错误； D.∵当x=1时,y=2×1=2≠−2，∴此点不在正比例函数y=2x图象上，故本选项错误. 故选B. 9．对于正比例函数 y 3x ，下列说法正确的是(    ) A．y 随 x 的增大而减小 B．y 随 x 的增大而增大 C．y 随 x 的减小而增大 D．y 有最小值 【答案】B 【分析】正比例函数中，k＞0:y随x的增大而增大;k＜0:y随x的增大而减小. 【详解】∵正比例函数y 3x中，k=3＞0， ∴y随x的增大而增大， 故选B. 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，确定k值，判断出其增减性是解题的关键. 10．下列说法正确的是（    ） A．过原点的直线都是正比例函数 B．正比例函数图象经过原点 C．y=kx是正比例函数 D．y=3+x是正比例函数 【答案】B 【详解】A.y轴是过原点的直线，但不是正比例函数，所以A错误； B.正确； C.当k=0时，不是正比例函数； D.是一次函数. 故选B. 点睛：本题主要考查了正比例函数和一次函数的性质，正比例函数的图象是一条过原点的直线，但不包括y轴，正比例函数的一般式y=kx中，要注意k≠0，一次函数的一般式是y=kx+b(k≠0). 二、填空题 11．函数，当 时，y与x成正比例，且y随x的增大而增大． 【答案】6 【分析】本题主要考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数需为 形式，因此指数部分必须为1，且系数不为零；同时根据增减性，系数必须大于零． 【详解】解：根据题意得，，即 ， 解得，或， 又∵，且随的增大而增大， ∴， 解得，， ∴， 当时，，满足， 故答案为：6． 12．若函数是正比例函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据形如是正比例函数，可得答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， 解得：， 故答案为：3． 13．若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据正比例的概念设出解析式，利用待定系数法计算． 【详解】解：设y＝kx，当x＝5时，y＝6， 可得：5k＝6， 解得：k＝ ， 则y与x的函数解析式为y＝x， 故答案为：y＝x． 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键． 14．函数，则是的 函数，比例系数为 . 【答案】 正比例 【分析】形如y=kx,(k≠0)的函数是正比例函数．k是比例系数. 【详解】函数，则是的正比例函数，比例系数为. 故答案为正比例， 【点睛】考核知识点：正比例函数.理解定义是关键. 15．已知直线y=（2-3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 ． 【答案】m＞ 【详解】∵直线y=(2-3m)x经过点A()、B( ),当时,有, ∴此函数是减函数, ∴2-3m<0,解得m>. 故答案为: m>. 点睛：本题考查的是正比例函数的性质,先根据题意判断出2-3m的取值范围是解答此题的关键. 16．若正比例函数的图象在第一、三象限内，则m= ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，解得：m=．故答案为． 三、解答题 17．下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）（2） 【分析】根据正比例函数的定义，即一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．可得答案． 【详解】解：（1）；（2）是正比例函数， 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查了正比例函数，熟知一般地，形如y＝kx（k是不等于零的常数）的函数，叫做正比例函数是解题关键． 18．若函数是关于x的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解答关键． 根据正比例函数的定义得出关于的方程和不等式，求出的值即可． 【详解】解：函数是关于的正比例函数， ，且， ． 19．列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． （1）正方形的边长为，周长为； （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元； （3）一个长方体的长为，宽为，高为，体积为． 【答案】（1），是正比例函数；（2），是正比例函数；（3），是正比例函数． 【分析】（1）根据正方形的周长等于边长的4倍，即可求解； （2）根据总收入等于月平均收入乘以时间，即可求解； （3）根据长方体的体积等于长乘以宽乘以高，即可求解． 【详解】解：（1）y与x的函数关系式为，是正比例函数； （2）y与x的函数关系式为，是正比例函数； （3）y与x的函数关系式为，是正比例函数． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正比例函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 20．复兴号动车匀速行驶时，路程和时间关系如下表： 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 …… 路程/千米 0 4 8 12 16 20 24 …… (1)把动车行驶的时间和路程对应的点在图中描出来，并连线． (2)复兴号动车行驶的路程和时间成_____比例关系，写出判断依据． (3)动车行驶20分钟可行驶多少千米？（列式解答） 【答案】(1)见解析 (2)正，理由见解析 (3)动车行驶20分钟可行驶80千米 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据表格中的数据，描点连线即可； （2）由（1）中的图可知，路程随时间的增大而增大，即可解答； （3）根据路程=速度×时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：∵ 路程随时间的增大而增大， ∴复兴号动车行驶的路程和时间成正比例关系． 故答案为：正． （3）解：（千米） 答：动车行驶20分钟可行驶80千米． 21．已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系？ 并在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (3)当x＝2.5时，y的值为 ． 【答案】(1)  y＝3x－9；(2)  y是x的一次函数，该函数的图像见解析；(3) －1.5 【详解】试题分析：（1）根据y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式，再把当x=4时，y=3代入求出k的值即可； （2）根据一次函数的定义可得y与x之间的函数关系，再根据描点法画出函数即可求解； （3）根据代入法即可求解． 试题解析： （1）∵y与x-3成正比例，设出一次函数的关系式为：y=k（x-3）（k≠0）， 把当x=4时，y=-3代入得：3=（4-3）k，解得k=3， ∴y与x之间的函数关系式为：y=3（x-3）=3x-9． （2）y是x的一次函数，该函数的图象如图所示； （3）当x=2.5时，y=3×2.5-9=-1.5． 22．在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，函数（其中）的图象经过点． (1)给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)若图象上有两点，，且，直接写出与的大小关系． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，画出图象是解题的关键． （1）描出两点，连线即可求解； （2）根据正比例函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：∵函数解析式为， ∴与之间成正比例关系， ∴该函数的图象经过和原点， 该函数的图象如图所示． （2）解：根据（1）中图象可得随的增大而减小， ， ． 23．周至县是全球猕猴桃的原产地，被誉为“中国猕猴桃之乡”，以果肉细嫩、酸甜适口著称．下面是某水果超市徐香猕猴桃销售数量与总价关系： 数量/千克 总价元 (1)根据上表求出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，是 (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质； （1）根据表格中的数据先得出与的比值恒为，即可求解； （2）将代入（1）中的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由表格数据，当时，；时，；时，；时，；时，． ，，，，， 与的比值恒为，即． 又当时，，满足正比例函数定义， 是的正比例函数． （2）当时， 24．阅读下列材料，解答相应的问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下． ①根据函数表达式列表： ②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象． (1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数|图象的一个结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查函数图像上点的问题及作函数图象， （1）将，，，代入求解，描点连线即可求解； （2）本题考查函数的性质及作函数图象，根据（1）中的图象直接找到函数规律，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故表中依次填入：6，4，2， … 0 1 2 3 … … 6 4 2 0 2 4 6 … 描点，连线如图所示， （2）解：由（1）得， ①的图象是以原点为公共端点的两条射线； ②的图象经过坐标系的第一、二象限； ③的图象关于轴对称； ④的图象的最低点是； 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2 正比例函数 教学目标 1.  掌握正比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0），能准确识别正比例函数并指出比例系数k。 2.会用描点法画正比例函数图像，知道其是过原点的直线，能快速画出过(0,0)和(1,k)的直线。 3.掌握k的符号对图像象限与增减性的影响；会用待定系数法求解析式并解决简单实际问题。 教学重难点 1.重点 理解正比例函数的概念、图像及其性质； 2.难点 理解比例系数k对图像位置与增减性的影响，以及掌握并利用数形结合的思想解决问题. 知识点01 正比例函数的概念 1.成正比例 如果变量y与变量x的比值是一个_______________，那么就说变量y与变量x成正比例，用数学式子表示为________或________,其中k是一个________. 【即学即练】 例1 下列表述中的变量y与变量x是否成正比例? (1)正方形的周长随着边长的变化而变化，正方形的周长y(cm)与该正方形的边长x(cm); (2)圆的面积随着半径的变化而变化，圆的面积y(单位：m²)与该圆的半径x(单位：m); (3)在路程一定的情况下，汽车行驶的时间随着速度的变化而变化，汽车的用时y（h）与汽车的速度x(km/h). 解：（1）因为y=4x,所以=4，所以正方形的周长与边长________； （2） 因为y=,所以=，这里y与的比值是个常数，但y与x的比值不是常数，所以圆的面积y与半径________; （3） 设路程为s，则s=xy，这里y与x的乘积是个常数，不是比例是个常数，所以在路程一定的情况下，汽车的用时y（h）与汽车的速度x(km/h)________. 2.正比例函数的概念 形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫作_______________，其中非零常数k称为_______________，自变量x的取值范围是_______________. 正比例函数的本质是指y与x的_______是个不为0的常数. 【即学即练】 例2 下列函数哪些是正比例函数? (1) =-2;(2)m=-n;(3)y=x+3;(4)y=x². 解析：要判定一个函数是不是正比例函数，关键是看它的表达式是否符合y=kx(k是常数，k≠0)的形式. 解：(1) =-2是正比例函数，因为y=-2x，符合y=kx(k=-2≠0)的形式. (2)m=n_____正比例函数.因为它符合y=kx(k=1≠0)的形式. (3)y=x+3_____正比例函数.因为它不符合y=kx(k≠0)的形式. (4)y=x²_____正比例函数.因为它不符合y=kx(k≠0)的形式. 3.正比例函数表达式的确定——待定系数法 确定了比例系数k,就可以给出正比例函数的表达式：y=kx(k≠0). 求正比例函数表达式的方法叫作__________.表达式中k是__________，利用已知条件列出关于k的方程再求解，可确定k的值. 说明： ①正比例函数的表达式是由比例系数“k”决定的，意思是“k”相同表达式就相同，反之“k”不同表达式就不同。 ②正比例函数的表达式与自变量与函数选用什么字母没有关系. 譬如“y=3x”与“m=3n”是体现同一种函数关系的表达式；“y=4x”与“y=3x”虽然字母相同，但比例系数不同就是不同的函数关系的表达式. 【即学即练】 例3 已知正比例函数y=-x,指出此函数的比例系数，并求当自变量x分别取-5、0、3时的函数值. 解：函数y=-x的比例系数是_____. 当x=-5时，y=_____; 当x=0时，y=_____; 当x=3时，y=_____; 例4 已知y是x的正比例函数，当x=3时函数值为24. (1)求该函数的表达式； (2)当函数值分别为-5、0、3时，求自变量x的值. 解：因为y是x的正比例函数，可设其表达式为y=kx(k≠0). 根据题意，3k=24,解得k=_____. 所以该函数的表达式为__________. 知当y=-5时，x=_____; 当y=0时x=_____; 当y=3时x=_____. 知识点02 正比例函数的图像 1.正比例函数y=kx(k≠0)的图像 正比例函数y=kx(k≠0)的图像是一条经过_____的_____，这条直线称为直线_____. 说明： ①正比例函数图像上任意一点的坐标都满足函数的表达式； ②同时，对于任意满足这个函数表达式的一对有序实数（x、y）,以(x,y)为坐标的点都在所画的直线上. 2.正比例函数图像的画法——“两点法” 因为____________________，所以可用“两点法”画正比例函数y=kx(k≠0)的图像，即经过原点(0,0)和其他任意一点(x,kx),即可画出正比例函数y=kx(k≠0)的图像. 说明： ①因为两点确定一条直线，且正比例函数的图像都经过_____，所以画图时可以取_____和(1,_____)两点. ②为了描点更方便、更准确，取横、纵坐标时，都尽量是整数. 【即学即练】 例5 已知正比例函数y=4x的图像经过点A（m，m+3），则m=_______. 解：因为已知正比例函数y=4x的图像经过点A（m，m+3） 所以，可列方程_______________ 解之得，m=_____. 例6 在同一直角坐标系中画出函数y=4x和y=-4x的图像. 解：列表： x 0 1 y=4x x 0 1 y=4x 描点、连线 如图所示，直线y=4x,y=-4x分别为所求作的正比例函数的图像. 知识点03 正比例函数的性质 正比例函数的性质是由比例系数“k”决定的，正比例函数的性质如下表所示； 性质的逆命题也成立，即若正比例函数图像经过第一、三象限，则K>0且y随x增大而增大；若正比例函数图像经过第二、四象限，则K<0且y随x增大而减小； y=kx（k≠0） 图像 经过的象限 增减性 K>0 经过第_____、____ 象限 经过（0，____）、（1，____） 从左往右图像是____的； y随x增大而____ K<0 经过第_____、____ 象限 经过（0，____）、（1，____） 从左往右图像是____的； y随x增大而____ 【即学即练】 例5已知正比例函数y=x的图像经过点A（-1，a）、B（-3,b），且mn<0，比较a,b的大小. 解：因为mn<0，所以<0， 所以已知正比例函数y=x经过第_____、____象限，且y随x增大而经过第_____、____ 象限， 根据正比例函数y=kx,k<0时y随x增大而____的性质 又因为-1>-3， 所以a<b. 题型01 成正比例的辨析 【典例1】长方形的宽b一定，它的长a与周长C是否成正比例？ 【变式1】圆的半径r与它的面积S是否成正比例？ 【变式2】匀速运动中，路程s与时间t是否成正比例？ 【变式3】三角形的面积一定，它的一边a与这边上的高h是否成正比例？ 【变式4】两数的商不变，被除数与除数(除数不为零)是否成正比例？ 题型02 正比例函数的概念辨析 【典例1】．下列函数中，是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数是关于的正比例函数，则关于字母、的取值正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】下列问题中的两个变量之间具有函数关系：①面积一定的长方形的长与宽；②圆的周长与半径；③正方形的面积与边长；④速度一定时，行驶的路程与行驶时间．其中两变量之间成正比例函数关系有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】当 时，函数是正比例函数． 【变式4】已知． 当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 题型03 求正比例函数的表达式 【典例1】已知与成正比例，且当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值． 【变式1】已知y是x的正比例函数，并且当x=-2时，y=6． （1）求y关于x的函数解析式： （2）当y=3时，求x的值． 【变式2】已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A(﹣3，6)． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x=﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y=． 【变式3】已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 【变式4】已知y+4和x成正比例，且x=3时，y=1；求x=﹣5时，求y的值． 题型04 正比例函数的图像 【典例1】在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=2x，y=-2x. 【变式1】已知直线y=-6x，则下列各点中一定在该直线上的是(     ) A．（3，18） B．(-18，-3） C．（18，3） D．（3，-18） 【变式2】设点是正比例函数x图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 【变式4】已知正比例函数，． (1)在同一平面直角坐标系中画出上述两个正比例函数的图象，并用量角器度量一下这两条直线的夹角，可以发现这两条直线的位置关系是________________． (2)根据（1）中两函数的图象及其位置关系，猜想直线与直线的位置关系是________________． (3)若直线（a为常数）与直线互相垂直，求a的值． 题型05 正比例函数的性质 【典例1】．已知函数y＝(1－2k)x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么k的取值范围是(　　) A．k＜ B．k＞ C．k＞0 D．k＜1 【变式1】．关于函数y=2x，下列结论中正确的是（　　） A．函数图象经过点（2，1） B．函数图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x取何值，总有y＞0 【变式2】．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是正比例函数y=kx（k＜0）图像上两点，若x1＞x2，则下列结论正确的是(     ) A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．-y1＜-y2 【变式3】已知函数． (1)在同一平面直角坐标系中画出上面各函数的图象． (2)探索发现：随着的增大，直线的倾斜程度有何变化？ (3)灵活运用：已知正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如右图所示，则与的大小关系为______． 【变式4】已知一次函数的图像经过点． (1)求k的值； (2)在所给平面直角坐标系中，画出该函数的图像； (3)若，则的取值范围是______（直接写结果）． 题型06 正比例函数的应用 【典例1】2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【变式1】汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度有一定的函数关系，相关统计数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 (1)请求出y关于x的函数关系式． (2)若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？ 【变式2】如图，某超市的消费卡售价(元)与面值(元)之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求与之间的函数解析式： (2)小张购买了一张面值为元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？ 【变式3】A、B两地相距300km，一辆汽车从A地到B地匀速行驶，行驶的路程s（km）是时间t（h）的正比例函数.下表是行驶路程s与时间t的部分对应值表. T(h) 2 2.5 n S(km) 120 m 180 (1)根据表中的信息，求这个函数的表达式及自变量x的取值范围. (2)求表格中的m,n的值. 【变式4】甲、乙两辆汽车沿同一公路同时从A地出发前往相距90 km的B地，行驶过程中所行路程分别用y₁、y₂(单位：km)表示，它们与行驶时间x(单位：min)的函数关系如图所示. (1)分别求出y₁、y₂关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)分别求行驶了50 min及80min时，两车之间相距的路程. 一、单选题 1．下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（　　） A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系 B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3 C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系 D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系 2．下列问题中的两个变量是正比例函数关系的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的路程一定，它所行驶的速度与时间 3.下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．已知正比例函数，若该正比例函数经过点，则的值为（      ） A． B． C．3 D． 5．正比例函数y=3x的大致图像是(    ) A． B． C． D． 6．经过以下一组点可以画出函数y＝2x图象的是() A．(0，0)和(2，1) B．(0，0)和(1，2) C．(1，2)和(2，1) D．(－1，2)和(1，2) 7．结合正比例函数y=4x的图象回答：当x＞1时，y的取值范围是（　　） A．y=1                                    B．1≤y＜4                                C．y=4                                     D．y＞4 8．以下各点中，在正比例函数y=2x图象上的是（     ） A．（2，1） B．（1，2） C．（—1，2） D．（1，—2） 9．对于正比例函数 y 3x ，下列说法正确的是(    ) A．y 随 x 的增大而减小 B．y 随 x 的增大而增大 C．y 随 x 的减小而增大 D．y 有最小值 10．下列说法正确的是（    ） A．过原点的直线都是正比例函数 B．正比例函数图象经过原点 C．y=kx是正比例函数 D．y=3+x是正比例函数 二、填空题 11．函数，当 时，y与x成正比例，且y随x的增大而增大． 12．若函数是正比例函数，则 ． 13．若y与x成正比例，当x＝5时，y＝6，则y与x的函数解析式为 ． 14．函数，则是的 函数，比例系数为 . 15．已知直线y=（2-3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 ． 16．若正比例函数的图象在第一、三象限内，则m= ． 三、解答题 17．下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 18．若函数是关于x的正比例函数，求的值． 19．列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． （1）正方形的边长为，周长为； （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元； （3）一个长方体的长为，宽为，高为，体积为． 20．复兴号动车匀速行驶时，路程和时间关系如下表： 时间/分 0 1 2 3 4 5 6 …… 路程/千米 0 4 8 12 16 20 24 …… (1)把动车行驶的时间和路程对应的点在图中描出来，并连线． (2)复兴号动车行驶的路程和时间成_____比例关系，写出判断依据． (3)动车行驶20分钟可行驶多少千米？（列式解答） 21．已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系？ 并在平面直角坐标系中画出该函数的图像； (3)当x＝2.5时，y的值为 ． 22．在由边长为1的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，函数（其中）的图象经过点． (1)给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)若图象上有两点，，且，直接写出与的大小关系． 23．周至县是全球猕猴桃的原产地，被誉为“中国猕猴桃之乡”，以果肉细嫩、酸甜适口著称．下面是某水果超市徐香猕猴桃销售数量与总价关系： 数量/千克 总价元 (1)根据上表求出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 24．阅读下列材料，解答相应的问题： 研究函数的图象一般要研究其形状、位置、图象特征（如对称性）．借助图象我们可以直观地得到函数的性质．例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到如下结论：①的图象是经过原点的一条直线；②的图象经过坐标系的第一、三象限．小文借鉴研究正比例函数的经验，对新函数的图象展开探究，过程如下． ①根据函数表达式列表： ②在如图所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象． (1)请你将小文列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据小文的探索过程，类比研究图象时得到的结论，写出函数|图象的一个结论． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $