23.2 平行四边形（第4课时 平行四边形的判定2）（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦平行四边形判定定理3（对角线互相平分的四边形是平行四边形），通过复习性质及已学判定方法，引导学生思考性质逆命题，构建新旧知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于以“思考-求证-证明-总结”探究过程培养推理能力，如通过全等三角形证明判定定理3，结合典例多证法（例1从对边、对角线角度）提升几何直观，拓展“倍长中线法”渗透创新意识。学生能巩固知识提升解题能力，教师可高效备课。

23.2 平行四边形 （第4课时平行四边的判定2） 第二十三章 四边形 学 习 目 标 1 2 理解平行四边形的判定定理3——对角线互相平分的四边形是平行四边形； 能灵活运用平行四边形的判定方法证明一个四边形是平行四边形； 3 综合运用平行四边形的判定、性质解题． 复习引入 平行四边形的判定 1.平行四边形的性质有哪些？ 3.性质定理2：平行四边形的对角相等． 1.定义：平行四边形的两组对边分别平行． 2.性质定理1：平行四边形的对边相等． 4.性质定理3：平行四边形的对角线互相平分． 复习引入 平行四边形的判定 2.平行四边形的判定方法有哪些？ 3.判定定理2：有一组对边平行且相等的四边形是平行的四边形． 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 2.判定定理1：两组对边相等的四边形是平行的四边形 复习引入 平行四边形的判定 3.平行四边形性质定理1和判定定理1是什么关系？ 平行四边形性质定理2、3有没有逆命题，如果有是真命题还是假命题？ 原名命题（性质） 定理1：平行四边形的对边相等 定理1：两组对边分别相等的四边形是平行的四边形 定理２：平行四边形的对角相等 定理3：平行四边形的对角线互相平分 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 逆命题 新知探究 平行四边形的判定 思考：两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？ 证明:∵∠A=∠C，∠B=∠D，， ∴∠A+∠B=90 ∴AD//BC 同理AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形. 已知:四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D， 求证：四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A+∠C+∠B+∠D=180， ∴2∠A+2∠B=180 总结：两组对角分别相等的四边形是平行四边形是真命题．有些教材也视之为判定定理. 新知探究 平行四边形的判定 思考：对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？ 证明:∵AO=CO，BO=DO， ∴AB=CD 同理AD=BC 已知:四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AO=CO，BO=DO， 求证：四边形ABCD是平行四边形． ∴四边形ABCD是平行四边形(判定定理1) 又∵∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD 总结：判定定理3——对角线互相平分的四边形是平行四边形． 新知汇总 平行四边形的判定 总结：平行四边形的判定方法有哪些？ 3.判定定理2：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 2.判定定理1：对边相等的四边形是平行四边形 4.判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 典例分析 平行四边形的判定 例1 如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是一个平行四边形 分析： 思路1——从对边的角度思考 由已知条件，可推出△AED≌△CFB，△AEB≌△CFD，于是可以利用平行四边形的定义或判定定理1、2获得证明结论所需的条件，因此，可以有多条证明路径. 思路2——从对角线的角度思考 注意E、F是对角线上的两点，由判定定理3所需的条件考虑，想到连接BD、设BD、AC相交于点O，则只需要证明OE=OF，就可推出结论 典例分析 平行四边形的判定 例1 如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是一个平行四边形 证法一 ∵在▱ABCD中，AD//BC,AD=BC ∴∠DAE=∠CFB ∵AE=CF ∴△ADE≌△CBF ∴DE=BF 同理：BE=DF ∴四边形EBFD是平行四边形（判定定理1） 证法二 连接BD交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO ∵AE=CF, ∴AO-AE=CO-CF, ∴EO=FO. ∴四边形BFDE是一个平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形). 新知巩固 平行四边形的判定 1.用两个全等的三角形(每个三角形的三边互不相等),按照不同的方法可以拼成一些不同的四边形.这些四边形都是平行四边形吗?为什么? 分析：平行四边形的两组对边平行且相等，两个全等的三角形在拼组四边形时，相等的对应边应该作为对边（如图2）（重叠除外）不能作为邻边（如图1），所以两个全等的三角形拼成的四边形不一定是平行四边形. 变式训练：有两组邻边相等的四边形是平行四边形吗？ （不一定，如图1所示） 新知巩固 平行四边形的判定 2.已知:如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=180，∠A=∠C， 求证：四边形ABCD是平行四边形． 归纳：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形. （不一定，如图所示） 证明：连接AC ∵∠A+∠B=180 ∴AD//BC ∵∠A=∠C ∴∠C+∠B=180 ∴AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形(定义) 变式训练：有两组角相等的四边形是平行四边形吗？ 新知巩固 平行四边形的判定 3. 如图，BD是△ABC的中线，按以下要求作图： ①延长BD至E，使DE=BD； ②连接AE、CE. 四边形ABCE是平行四边形吗？为什么？ 答：（作图见右图所示） 四边形ABCE是平行四边形 证明： ∵BD是中线 ∴AD=DC ∵BD=DE ∴四边形ABCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 新知巩固 平行四边形的判定 变式3. 如图，BD是△ABC的中线， 已知AB＝6，BC＝10，求BD的取值范围． 解：延长BD至E，使BD＝DE，连接AE、EC（作图见右图） ∵BD是中线 ∴AD=DC ∵BD=DE ∴四边形ABCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∴AE＝BC 在△ABE中 AE-AB<BE<AB+AE ∴4<BE<16 ∴2<BD<8 此题中的辅助线叫作倍长中线法，倍长中线法是初中几何中一种重要辅助线构造方法。 倍长中线法是指将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形或平行四边形，从而利用全等三角形和平行四边形的性质来解决问题。 拓展提升 平行四边形的判定 1. 如图，在▱ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别是AO、CO的中点，顺次连接D、E、B、F． 求证：DF//BE． 思路2——用平行四边形的性质、判定来证明 由▱ABCD的性质可知AO=CO,BO=DO 由E、F是OA、OC中点可知OE=OF ∴四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∴DF//BE 分析： 思路1——用全等来证明 由已知条件，可推出△AEB≌△CFD， 得到DF=BE，∠DFC=∠AEB ∴∠DFE=∠BEF ∴DF//BE 总结：①平行四边形的定义、性质和定理要灵活运用； ②涉及对角线时常用平行四边形的性质定理3和判定定理3较为方便. 拓展提升 平行四边形的判定 2. 已知：如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB、CD的延长线交于点E、F.求证：四边形AECF是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO,BO=DO，DC//AB ∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO ∴△FOD≌△EOB(AAS) ∴OF=OE ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 总结：平行四边形的定义、性质和定理要灵活运用； 涉及对角线时常用平行四边形的性质定理3和判定定理3较为方便. 当场反馈 平行四边形的判定 1. 一个四边形，对于下列条件： ①一组对边平行，一组对角相等； ②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分； ③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分； ④一组对边平行，另一组对边相等. 其中能判定为平行四边形的有_____________(填序号）． 分析： ①能，已证见新知巩固2； ②能，见图1，可证△AOD≌△COB: ③不能，见图2，四边形ABCM符合条件，但不是平行四边形; ④不能，见图3，等腰梯形符合条件，但不是平行四边形. ①② 当场反馈 平行四边形的判定 2. 如图,已知在△ABC中,D是AB的中点,E是AC上的点,且EF∥AB,DF∥BE, 求证:AE与DF互相平分． 证明：∵EF∥AB，DF∥BE ∴四边形BDFE是平行四边形（平行四边形的定义） ∴BD=EF ∵D是AB的中点 ∴AD=BD， ∴EF=AD ∵EF∥AB ∴四边形ADEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴AE与DF互相平分．（平行四边形的对角线互相平分） 总结：证明两条线段互相平分，通常证明它们是某个平行四边形的对角线. 当场反馈 平行四边形的判定 3. 已知：如图，过▱ABCD的四个顶点，分别向两条对角线作垂线，垂足分别为点E、F、G、H.求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分) ∵AE⊥BD,CG⊥BD ∴∠AEO=∠CGO=90 ∵∠AOE=∠COG ∴△AEO≌CGO(AAS) ∴EO=GO 同理：FO=HO ∴四边形EFGH是平行四边形.（对角线互相平分的四边形是平行四边形） 总结：平行四边形的定义、性质和定理要灵活运用； 涉及对角线时常用平行四边形的性质定理3和判定定理3较为方便. 课堂小结 感谢聆听！ $