第02讲 平行四边形（知识点+10题型+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第02讲 平行四边形 1.理解平行四边形及两条平行线之间的距离的概念. 2.掌握平行四边形的性质及判定，并能灵活运用它们解决问题. 3.通过猜想、操作、验证平行四边形的性质和判定方法，获取证明线段相等和角相等的新方法,提升合情推理能力和自主探究能力. 平行四边形在现实生活中随处可见，在图23-2-1所示的图片中，教室里的黑板和课桌桌面、小区门口的电动伸缩门、楼梯的栏杆等，都给我们以平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗? 图23-2-1 1.定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形. 在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图23-2-2(1)所示.（1） （2） 图23-2-2 2.平行四边形的符号 ＂＂表示，如图23－2－2（2）所示的平行四边形，记作＂＂． 表示平行四边形一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点. 3.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 如图，在中，点E，H，F，G分别在边上，，，与相交于点O，图中共有多少个平行四边形？ 【答案】9个 【分析】根据平行四边形的性质可得，由已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判断图中的平行四边形，进而一一列举出来，即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ， ，， 平行四边形有：ABCD，ABHG，CDGH，BCFE，ADFE，AGOE，BEOH，OFCH，OGDF共9个， 共有9个平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 分类法 分类法数几何图形的个数数几何图形的个数时,若将几何图形分类(按顺序或大小)数，就能将问题简化,如本题将平行四边形分为由一个、两个或四个四边形组成的平行四边形，这样就可以做到不重不漏. 平行四边形除了具有两组对边分别平行的性质外，还有其他性质吗? 根据平行四边形的定义，可以推出平行四边形的一个性质定理: 定理1 平行四边形的对边相等. 例1 如图23-2-3，已知：四边形是平行四边形．求证：． 23-2-3 23-2-4 如图23-2-4，连接． 因为四边形是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得．所以．又因为是和的公共边，所以．由此可得． 平行四边形的对角相等吗?为什么? 利用平行四边形的定义或性质定理1，又可以得到平行四边形的一个性质定理: 定理2 平行四边形的对角相等. 例2 如图23-2-5，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数． 图23-2-5 ∵ 四边形是一个平行四边形， ∴（平行四边形的对角相等） 解得． 于是． 所以，． 如图，已知的两条对角线相交于点，观察线段，你发现哪些线段相等？ 小明：我发现0A=0C，OB=0D. 小亮：我猜测点0是每条对角线的中点. 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 例3如图23－2－10，已知：在中，对角线相交于点． 求证：． 证明：因为四边形是一个平行四边形， 由平行四边形的定义和性质定理 1，得， 所以，．所以． 由此可得． 平行四边形是中心对称图形吗?如果是，你能找出它的对称中心吗? 平行四边形是中心对称图形,对称中心为平行四边形两条对角线的交点. 验证:因为将平行四边形绕对角线的交点按顺时针或逆时针方向旋转180都能与原来的图形重合. 如图，在中，已知、相交于点，两条对角线长的和为厘米，的长为厘米，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，对角线相互平分求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （1）已知：如图1，的对角线和相交于点． 求证：，． （2）如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质与判定等知识； （1）由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论； 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ，； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ； 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 四边形ABCD是平行四边形， ，，ADBC，ABCD 角 平行四边形的对角相等 四边形ABCD是平行四边形， ， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形， ， 例3 如图 23-2-6，已知直线是直线上两点，，垂足分别为．试问：与是否相等？为什么？ 图 23-2-6 证明如下： 又 ∴ 四边形是一个平行四边形． ∴（平行四边形的对边相等． 我们知道，例3中的两条垂线段的长度相等．类似地，上任意给定一点到直线的垂线段的长度都相等．这个长度叫作这两条平行线之间的距离． 如图23-2-6，直线平行，是直线上任意一点，，垂足为，线段的长度就是直线之间的距离． 我们知道三角形具有稳定性，那么四边形也具有稳定性吗?如图，用4根木条制作四边形的木框，随意拉动木框的边，它的形状和大小会发生变化吗? 我们发现，四边形的边长确定后，其形状和大小不能完全确定，这说明四边形具有不稳定性. 四边形的不稳定性在日常生活和生产中有许多应用，如升降机、伸缩晾衣架、拉伸门等.你还能举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子吗? 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质 (1) 两条平行线之间的距离处处相等；(2) 夹在两条平行线间的平行线段相等 作图方法 如图所示，直线 ，在直线 上任取一 点 ，过点 向直线 作垂线，垂足为点 ，则线段 的长即为 ， 两条平行线 之间的距离 注意 (1) 距离是指垂线段的长度，它是正数；(2) 当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值，不随位置的改变而改变；(3) 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 夹在两条平行线间的线段必须和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线之间的距离. 如图所示，，，的长度就是，间的距离，，的长度则不是. 若，则有，即夹在两条平行线间的平行线段相等. "两条平行线之间的距离"与前面已经学过的"点与点之间的距离""点到直线的距离"有何区别与联系? 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都是指某一条线段的长度 如图所示，在中，于点于点．也就是平行四边形的面积底×高（其中是平行四边形的任何一条边长，必须是边长为的边与其对边之间的距离）． 例4 如图所示，直线l1∥l2，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点．△ACD与△BCD的面积相等吗？请说明理由． 分析 过点A、B分别作直线l2的垂线，垂足分别为E、F，根据平行线之间的距离和三角形的面积公式作答即可． 解：△ACD与△BCD的面积相等．理由如下： 如图，过点A、B分别作直线l2的垂线，垂足分别为E、F． S△ACDCD•AE，S△BCDCD•BF， ∵直线l1∥l2，AE⊥l2，BF⊥l2， ∴AE＝BF， ∴S△ACD＝S△BCD． 判定一个平行四边形，除了运用平行四边形的定义外，还有其他的方法吗? "平行四边形的对边相等"，它的逆命题是真命题还是假命题? 这个逆命题是真命题，由此得到平行四边形 的一个判定定理: 定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 例5 如图23-2-3，已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：，. 如图23-2-4，连接AC. 因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得，. 所以，. 又因为AC是和的公共边， 所以. 由此可得，. 如果将平行四边形的判定定理1中的"两组对边"改成"一组对边"，这一组对边还需要满足什么条件，才可以保证这个四边形一定是平行四边形呢?为什么? 易知"平行四边形的任意一组对边平行且相等"，可以证明其逆命题也是真命题.由此，又得到平行四边形的一个判定定理: 定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 例6 如图23-2-15，已知：在四边形中，，且. 求证：四边形是一个平行四边形. 图23-2-15 图23-2-16 如图23-2-16，连接. 在和中，因为， 所以. 又因为，，所以. 由此推出. 由平行四边形的判定定理1，得四边形是一个平行四边形. 如图，已知：在中，点分别在边上，． 求证：四边形是一个平行四边形． 由已知条件，可知，且根据平行四边形的判定定理 2 ， 可以推出结论. ∵ 四边形是一个平行四边形， ∴ 又 ∵ 点分别在边上，， ∴， 即． ∴ 四边形是一个平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 例7 如图，已知：在四边形中，． 求证：四边形是一个平行四边形． 在四边形中， （多边形的内角和定理）． 又 ∴ 四边形是一个平行四边形． ＂平行四边形的对角线互相平分＂，它的逆命题是真命题还是假命题？ 这个逆命题是真命题．由此，又得到平行四边形的一个判定定理： 定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 例8 如图，已知：四边形的对角线相交于点，且． 求证：四边形是一个平行四边形． 在和中，因为，，所以． 由此推出，所以． 由平行四边形的判定定理2，得四边形是一个平行四边形． 如图，已知：在中，点在对角线上，且． 求证：四边形是一个平行四边形． 由已知条件，可推出．于是可以利用平行四边形的定义或判定定理1、2获得证明结论所需的条件．因此，可以有多条证明路径． 注意是对角线上的两点，从判定定理 3 所需的条件考虑，想到连接．设相交于点，则只需要证明，就可推出结论. 如图，连接，并设其与相交于点． ∵ 四边形是一个平行四边形， ∴（平行四边形的对角线互相平分）． ∵， ∴， ∴． ∴ 四边形是一个平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 判定方法 符号语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∴ 四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 且）， ∴ 四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 （1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形，如图所示，四边形ABCD是平行四边形，，则，，但四边形 不是平行四边形. （3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形. （4）平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，在应用时要注意区别，以防混淆. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 1.另一组对边相等2.该组对边平行 一组对边平行 1.另一组对边平行2.该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角相等 已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：A、B.∵在四边形ABCD中，， ∴或，都不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A、B错误； C.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形ABCD为平行四边形，故C正确． D.当时，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 题型1 平行四边形的性质的应用 1.求线段的长或取值范围 例1已知：□的周长为，对角线、相交于点，的周长比的周长长，求这个平行四边形各边的长. 【答案】12.5cm. 【详解】试题分析：平行四边形周长为60cm，即相邻两边之和为30，的周长比的周长长5cm，而为共用，所以由题可知比长5，可列方程解答． 试题解析：在□中， ∵周长-周长=， 又∵□的周长为. (1)平行四边形的一组邻边之和等于平行四边形周长的一半. (2)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的邻边之差. 【变式1-1】已知□ABCD的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm，则AB的长度为(    ) A．11 cm B．15 cm C．18 cm D．19 cm 【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD， 又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm， ∴ 两个方程相加,得AB=19(cm) 故选D 【变式1-2】如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为15cm，那么BC的长是 cm． 【答案】9 【分析】根据平行四边形的性质，先求出AB的长，再根据所给比值，求出AD的长，即可求得BC的长． 【详解】∵平行四边形ABCD ∴OA+OB=(BD+AC)=9(cm)， 又∵△AOB的周长为15cm， ∴AB=CD=15-9=6(cm)， 又∵CD：DA=2：3， ∴BC=DA=9(cm)， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，得出AB的长是解题的关键． 【变式1-3】如图，在中，、相交于点O，若，，与的周长差为 ． 【答案】2 【分析】本题 要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分这一性质，确定已知条件中两三角形周长的差也是平行四边形两邻边边长的差，即可求解． 【详解】解：∵在中，、相交于点O，若，， ∴， ∴与的周长差， 故答案为：2． 【变式1-4】在平行四边形中，是对角线的交点，，且，则 .    【答案】/厘米 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可得的值，由此可得的值，在中，根据勾股定理即可求得的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 例2在中，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，掌握平行四边形的性质以及三角形的三边关系是解题的关键． 根据平行四边形的性质求得，再根据三角形三边关系即可求得的范围． 【详解】解：记交于点O，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 解决此类问题，首先根据平行四边形的性质把相应的线段转化到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系求解. 【变式2-1】在平行四边形中，对角线交于点O，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式2-2】如图，在中，，，对角线，相交于点O，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握．根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：，， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键． 根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 2.求角的度数 例3如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F，求，的度数．    【答案】(1)， 【分析】首先根据平行四边形的性质，，，可求得和的度数为，再求得，； 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴在和中，， ∴； 故答案为：，． 在求角的度数时，充分利用平行四边形的对角相等、邻角互补来求解问题. 【变式3-1】在平行四边形中，与的度数之比为，那么的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的邻角互补，可求的度数． 【详解】解： 设， 四边形是平行四边形 故答案为：． 【变式3-2】如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，则，由角平分线的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-3】在平行四边形中，若，则的度数是（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，由已知条件求出∠B=60°，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°， 又∵∠A=2∠B， ∴2∠B+∠B=180°， 解得：∠B=60°， ∴∠D=60°； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键． 题型2 利用平行四边形的性质证明 例4如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键． 【变式4-1】如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，由是的中点，得，即可通过证明，根据全等三角形的性质得到，结合，得到，则可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得到结论． 【详解】证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 几种常见题型解题方法 1.线段相等/平行 - 优先用“对边平行且相等”性质，必要时结合三角形全等（SAS/ASA）推导。 - 对角线相关结论，直接用“对角线互相平分”。 2.角相等 - 用“对角相等”或“对边平行→内错角相等”直接推导。 3. 面积相等 - 找平行线为底的三角形，利用“同底等高面积相等”，再通过公共面积的加减得到目标面积相等。 题型3 平行四边形性质的其他应用 例5如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形定义“两组对边平行的四边形是平行四边形”，证明，即可证明； （2）根据平分，，可证，在中，根据勾股定理可得，即可求得面积． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形是平行四边形 （2）平分，，， ， ，且，， 在中，. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理的应用，主要在于熟练掌握各个知识点的衔接. 【变式5-1】如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 【变式5-2】如图，图①，图②都是由12个全等的小矩形构成的网格，每个小矩形较短的边长为1，每个小矩形的顶点称为格点．线段的端点在格点上． (1)在图①中画，使点C在格点上； (2)在图②中以为边画一个面积为10的平行四边形，且另外两个顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图．熟练掌握等腰直角三角形性质，直角三角形性质，平行四边形性质，是解题的关键． （1）利用勾股定理构造等腰直角三角形，使，则底角； （2）利用勾股定理构造高，，平移到，由，得到． 【详解】（1）取点C，使，，连接，即为所求作； （2）取点E，使，，把平移到，连接，，四边形即为所求作的平行四边形． 【变式5-3】如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【详解】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 题型4 判断能否构成平行四边形 例6下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形 B．两条对角线互相平分的四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形 D．一组对边平行且相等的四边形 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定条件逐一分析选项，找出不符合判定条件的选项． 【详解】解：选项A：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此选项A能判定； 选项B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B能判定； 选项C：一组对边平行，另一组对边相等的四边形，这种情况不一定是平行四边形， 例如等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，因此选项C不能判定； 选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此选项D能判定． 故选：C ． 判断能否构成平行四边形，只需看条件是否满足“两组对边分别平行/相等、一组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分”中的任意一条，同时注意避开“一组对边平行另一组对边相等”等常见陷阱. 【变式6-1】以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D：由，，不可以推出四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符合题意． 故选：D ． 【变式6-2】嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定， 根据平行四边形的定义确定四个顶点即可． 【详解】解：因为只有②④两块角的两边互相平行，角的两边得延长线的交点就是平行四边形的顶点， 所以带②④两块玻璃就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 【变式6-3】如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定． 根据平行四边形的判定，逐一对四个选项中条件分析，再作出判断． 【详解】解：，，不满足两组对边分别相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合； ，，不满足一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合； ，，不能推得一组对边平行且相等，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合； ，，根据一组对边平行且相等，能判定四边形是平行四边形，故D符合， 故选：D． 题型5 添一个条件成为平行四边形 例7如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定定理，即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”由这两个定理判断选项即可． 【详解】解：A选项，∵，， 一组对边平行，一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，故不可以判定； B选项，∵，， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； D选项，∵，， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故可以判定． 故选：A ． 添一个条件使四边形成为平行四边形，只需根据现有条件，补充一条能满足“两组对边平行/相等、一组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分”的判定定理即可. 【变式7-1】在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．已知四边形中，需添加一个条件使其成为平行四边形．根据平行四边形的判定定理，逐一分析选项即可得出结论． 【详解】A．若，此时仅知一组对边平行（）和另一组对边相等（），但无法直接推导出四边形为平行四边形，因为无法确定与是否平行或与是否相等．因此选项A不成立． B．若，结合已知，则两组对边分别相等（且），根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形为平行四边形．因此选项B成立． C．若，仅说明对角线被点平分，但平行四边形的判定要求对角线互相平分（即且）．由于未给出的条件，无法确定四边形为平行四边形．因此选项C不成立． D．若，仅说明一组对角相等，但平行四边形的判定要求两组对角分别相等．无法由此推导出另一组对角相等，因此选项D不成立． 故选：B 【变式7-2】如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 【变式7-3】如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理，由于四边形是平行四边形，得到，然后利用平行四边形的判定定理分别分析求解，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ①时，四边形是平行四边形，故①正确； ②时，，则四边形是平行四边形，故②正确； ③时，， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ④时，则四边形是平行四边形或等腰梯形，故④错误， 故答案为：①②③． 题型6 数图形中平行四边形的个数 例8如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， 又∵EG∥AB，FH∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：□ ABGE、□ABHF、□ABCD、□EGCD、□EGHF、□FHCD，共6个. 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，找出图中的平行四边形. 数图形中平行四边形的个数，核心是按“从小到大、从左到右”的顺序分类计数，先数单个小平行四边形，再数由2个、3个……小平行四边形拼成的大平行四边形，最后相加即可，避免重复或遗漏. 【变式8-1】如图，点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为（    ）． A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】由已知点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出且，且，所以得到3个平行四边形． 【详解】解：已知点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点， ∴CF=AF ,AD=BD =,CE=BE= , 且，且， 四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形 【变式8-2】如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例9以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 与已知三点组成平行四边形的点，通常有3个，分别是以这三点中任意两点的连线为对角线，通过平移得到的第三个顶点. 【变式9-1】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【变式9-2】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 题型8 证明四边形是平行四边形 例10如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 【变式10-1】如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式10-2】E，F是四边形对角线上的两点，，，．求证： (1) ； (2)四边形 是平行四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定． （1）根据全等三角形的判定定理即可证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”即可证得结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴，即． 在与中， ， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式10-3】如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键． 【变式10-4】如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 题型9 平行四边形的判定与性质综合 1.利用平行四边形的判定与性质求解 例11如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【详解】（1）证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 先用判定定理证明一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形“对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分”的性质来求解边、角或面积等问题. 【变式11-1】如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 【变式11-2】如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 2.利用平行四边形性质和判定证明 例13问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质，得到，利用等边三角形的性质，得到根据得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，进而得到，推出，等量代换得到，即可得证； （3）含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：中，， ， 又是等边三角形，， ， ， ， ， ． （2）证明：是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， 四边形ADFE是平行四边形． （3）解：， 四边形是平行四边形， ， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 先用判定定理（如一组对边平行且相等）证明目标四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质（如对边相等、对角相等、对角线互相平分）来推导所需的边、角或面积结论；也可以反过来，先利用已知平行四边形的性质得到边/角关系，再证明新的平行四边形. 【变式13-1】如图，已知点E为对角线上一点，连接． (1)用直尺和圆规，在内部作，使得，射线交于点，连接，（只保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）， 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，______①______ ∴ 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴（______③______）（填写推理依据） ∴______④______ ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③等角的补角相等；④ 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理及平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据题意作一个角等于已知角即可； （2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴（ 等角的补角相等）， ∴， ∴四边形为平行四边形​． 故答案为：，；等角的补角相等，． 【变式13-2】如图，点E，F是对角线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）由平行线的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出，进而得到，求出即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，，， ∴， ∵， ∴（同高三角形）， ∵， ∴． 3.平行四边形性质和判定的应用 例14综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【变式14-1】问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 【变式14-2】如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型10 两条平行线之间的距离问题 例15在平行四边形ABCD中，P是BC中点，Q是CD中点，连AP，PD，AQ，BQ，图中与ΔABP（除ΔABP外）面积相等的三角形有（      ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边平行，可得AD∥BC，AB∥CD，由于P是BC中点，Q是CD中点，于是得到PB=PC，CQ=DQ，即可求得，，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵P是BC中点，Q是CD中点， ∴PB=PC，CQ=DQ， ∴， ∴图中和△ABP面积相等的三角形有3个，它们分别是：△CDP，△BCQ，△ADQ． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与三角形面积的求解方法．解题的关键是注意当两个三角形等底等高时，它们的面积相等． 两条平行线之间的距离处处相等，解题时可以通过“在一条直线上取一点，向另一条直线作垂线，计算垂线段的长度”来求解，也可以利用平行四边形的面积公式（面积=底×高）反推出高，也就是平行线间的距离. 【变式15-1】已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米厘米厘米． 故选：C． 【变式15-2】61．如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式底高．过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h，根据同底等高的三角形的面积相等得到，，进而可求解． 【详解】解：过E作，交于M，交于N，连接，，设边上的高为h， 在中，，，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴阴影部分面积为3． 故答案为：3． 【变式15-3】如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 1．平行四边形具有稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（    ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 【答案】D 【分析】平行四边形具有不稳定性，形状改变时，变的是内角的度数，边长不发生变化． 【详解】解：当平行四边形形状改变时，发生变化的是平行四边形的内角的度数． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握平行四边形的不稳定性． 2．如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得，，，再运用勾股定理算出，以及，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， 则， 在中，， ∴， 故选：D 3．在中，的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质；根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个． 【详解】解：由于平行四边形对角相等，所以对角的比值数应该相等， 其中A，B，C都不满足，只有D满足． 故选：D． 4．平行四边形的两条对角线分别为和，则其中一条边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，解题的关键是利用三边关系确定范围． 根据平行四边形对角线互相平分求出两对角线的一半，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解即可． 【详解】解：如图，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，即， ∴， 故选：． 5．如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了平行四边形的性质、中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【详解】解：根据平行四边形的性质得：， ∵， ∴为的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：， ∴的周长． 故选：D． 6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，，则平行四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】根据平行四边形性质得到，，利用勾股定理得到即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，对角线、相交于点，， ，， 在中，，，，则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求平行四边形面积，涉及平行四边形性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的性质是解决问题的关键． 7.如图，是的对角线，是直线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定．根据平行四边形的性质，可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴． 1.在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD，∠ACB＝2∠ACD，则∠B的度数为（　　） A．50° B．65° C．70° D．72° 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到BC∥AD，根据平行线的性质得到∠CAD=∠ACB，∠D+∠BCD=180°，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠CAD，推出∠D=2∠ACD，列方程即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACB，∠D+∠BCD＝180°， ∵CD＝AC， ∴∠D＝∠CAD， ∴∠D＝∠ACB， ∵∠ACB＝2∠ACD， ∴∠D＝2∠ACD， ∴∠D+∠DCB＝5∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝36°， ∴∠D＝72°， 在▱ABCD中，∠B＝∠D＝72°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3.如图1，平行四边形的对角线相交于点O，直线过点O分别与相交于点， (1)求证：． (2)若直线分别与的延长线相交于（如图2），请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)若平行四边形的面积为20，，直线在绕点O旋转的过程中，线段何时最短？并求出长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)2 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的面积公式，平行线间的距离最短，解（1）（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出时，最短． （1）由四边形是平行四边形，易证得，即可得； （2）由四边形是平行四边形，易证得，即可证得； （3）根据平行线间距离最短判断出时，最短，最后根据平行四边形的面积即可确定出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：成立．理由： 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：①当直线在绕点旋转的过程中，直线与，相交时，时，最短， 平行四边形的面积为20，， ， ． 直线在绕点旋转的过程中，时，最短，的最小值为2． ②当直线在绕点旋转的过程中，直线与、的延长线相交时，时，最短， 同①的方法，得出最小值为， 即：直线在绕点旋转的过程中，时，最短，的最小值为2． 4．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【答案】(1)无数 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点作交的延长线于点，连接．由和的公共边上的高也相等，可得，进而可得，面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【详解】（1）解：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． 故答案为无数. （2）这个图形的一条面积等分线如图： （3）四边形的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点作交的延长线于点，连接． ∵，∴和的公共边上的高也相等， ∴． ∴． ∵， ∴面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假预习第02讲 平行四边形 1.理解平行四边形及两条平行线之间的距离的概念. 2.掌握平行四边形的性质及判定，并能灵活运用它们解决问题. 3.通过猜想、操作、验证平行四边形的性质和判定方法，获取证明线段相等和角相等的新方法,提升合情推理能力和自主探究能力. 平行四边形在现实生活中随处可见，在图23-2-1所示的图片中，教室里的黑板和课桌桌面、小区门口的电动伸缩门、楼梯的栏杆等，都给我们以平行四边形的形象.你还能举出一些例子吗? 图23-2-1 1.定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形. 在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图23-2-2(1)所示.（1） （2） 图23-2-2 2.平行四边形的符号 ＂＂表示，如图23－2－2（2）所示的平行四边形，记作＂＂． 表示平行四边形一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点. 3.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 如图，在中，点E，H，F，G分别在边上，，，与相交于点O，图中共有多少个平行四边形？ 分类法 分类法数几何图形的个数数几何图形的个数时,若将几何图形分类(按顺序或大小)数，就能将问题简化,如本题将平行四边形分为由一个、两个或四个四边形组成的平行四边形，这样就可以做到不重不漏. 平行四边形除了具有两组对边分别平行的性质外，还有其他性质吗? 根据平行四边形的定义，可以推出平行四边形的一个性质定理: 定理1 平行四边形的对边相等. 例1 如图23-2-3，已知：四边形是平行四边形．求证：． 23-2-3 23-2-4 如图23-2-4，连接． 因为四边形是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得．所以．又因为是和的公共边，所以．由此可得． 平行四边形的对角相等吗?为什么? 利用平行四边形的定义或性质定理1，又可以得到平行四边形的一个性质定理: 定理2 平行四边形的对角相等. 例2 如图23-2-5，在中，比大．求这个平行四边形各个内角的度数． 图23-2-5 ∵ 四边形是一个平行四边形， ∴（_______________________） 解得． 于是． 所以，． 如图，已知的两条对角线相交于点，观察线段，你发现哪些线段相等？ 小明：我发现0A=0C，OB=0D. 小亮：我猜测点0是每条对角线的中点. 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 例3如图23－2－10，已知：在中，对角线相交于点． 求证：． 证明：因为四边形是一个平行四边形， 由平行四边形的定义和性质定理 1，得， 所以，．所以． 由此可得． 平行四边形是中心对称图形吗?如果是，你能找出它的对称中心吗? 平行四边形是中心对称图形,对称中心为平行四边形两条对角线的交点. 验证:因为将平行四边形绕对角线的交点按顺时针或逆时针方向旋转180都能与原来的图形重合. 如图，在中，已知、相交于点，两条对角线长的和为厘米，的长为厘米，则的周长为 ． （1）已知：如图1，的对角线和相交于点． 求证：，． （2）如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：． 性质 符号语言 边 平行四边形的对边平行且相等 四边形ABCD是平行四边形， ，，ADBC，ABCD 角 平行四边形的对角相等 四边形ABCD是平行四边形， ， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形， ， 例3 如图 23-2-6，已知直线是直线上两点，，垂足分别为．试问：与是否相等？为什么？ 图 23-2-6 证明如下： 又 ∴ 四边形是一个平行四边形． ∴（平行四边形的对边相等)． 我们知道，例3中的两条垂线段的长度相等．类似地，上任意给定一点到直线的垂线段的长度都相等．这个长度叫作这两条平行线之间的距离． 如图23-2-6，直线平行，是直线上任意一点，，垂足为，线段的长度就是直线之间的距离． 我们知道三角形具有稳定性，那么四边形也具有稳定性吗?如图，用4根木条制作四边形的木框，随意拉动木框的边，它的形状和大小会发生变化吗? 我们发现，四边形的边长确定后，其形状和大小不能完全确定，这说明四边形具有不稳定性. 四边形的不稳定性在日常生活和生产中有许多应用，如升降机、伸缩晾衣架、拉伸门等.你还能举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子吗? 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质 (1) 两条平行线之间的距离处处相等；(2) 夹在两条平行线间的平行线段相等 作图方法 如图所示，直线 ，在直线 上任取一 点 ，过点 向直线 作垂线，垂足为点 ，则线段 的长即为 ， 两条平行线 之间的距离 注意 (1) 距离是指垂线段的长度，它是正数；(2) 当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值，不随位置的改变而改变；(3) 平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 夹在两条平行线间的线段必须和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线之间的距离. 如图所示，，，的长度就是，间的距离，，的长度则不是. 若，则有，即夹在两条平行线间的平行线段相等. "两条平行线之间的距离"与前面已经学过的"点与点之间的距离""点到直线的距离"有何区别与联系? 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都是指某一条线段的长度 如图所示，在中，于点于点．也就是平行四边形的面积底×高（其中是平行四边形的任何一条边长，必须是边长为的边与其对边之间的距离）． 例4 如图所示，直线l1∥l2，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点．△ACD与△BCD的面积相等吗？请说明理由． 分析 过点A、B分别作直线l2的垂线，垂足分别为E、F，根据平行线之间的距离和三角形的面积公式作答即可． 解：△ACD与△BCD的面积相等．理由如下： 如图，过点A、B分别作直线l2的垂线，垂足分别为E、F． S△ACDCD•AE，S△BCDCD•BF， ∵直线l1∥l2，AE⊥l2，BF⊥l2， ∴AE＝BF， ∴S△ACD＝S△BCD． 判定一个平行四边形，除了运用平行四边形的定义外，还有其他的方法吗? "平行四边形的对边相等"，它的逆命题是真命题还是假命题? 这个逆命题是真命题，由此得到平行四边形 的一个判定定理: 定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 例5 如图23-2-3，已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：，. 如图23-2-4，连接AC. 因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得，. 所以，. 又因为AC是和的公共边， 所以. 由此可得，. 如果将平行四边形的判定定理1中的"两组对边"改成"一组对边"，这一组对边还需要满足什么条件，才可以保证这个四边形一定是平行四边形呢?为什么? 易知"平行四边形的任意一组对边平行且相等"，可以证明其逆命题也是真命题.由此，又得到平行四边形的一个判定定理: 定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 例6 如图23-2-15，已知：在四边形中，，且. 求证：四边形是一个平行四边形. 图23-2-15 图23-2-16 如图23-2-16，连接. 在和中，因为， 所以. 又因为，，所以. 由此推出. 由平行四边形的判定定理1，得四边形是一个平行四边形. 如图，已知：在中，点分别在边上，． 求证：四边形是一个平行四边形． 由已知条件，可知，且根据平行四边形的判定定理 2 ， 可以推出结论. ∵ 四边形是一个， ∴(____________________) 又 ∵ 点分别在边上，， ∴， 即． ∴ 四边形是一个平行四边形(____________________) 例7 如图，已知：在四边形中，． 求证：四边形是一个平行四边形． 在四边形中， (____________________) 又 ∴ 四边形是一个平行四边形． ＂平行四边形的对角线互相平分＂，它的逆命题是真命题还是假命题？ 这个逆命题是真命题．由此，又得到平行四边形的一个判定定理： 定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 例8 如图，已知：四边形的对角线相交于点，且． 求证：四边形是一个平行四边形． 在和中，因为，，所以． 由此推出，所以． 由平行四边形的判定定理2，得四边形是一个平行四边形． 如图，已知：在中，点在对角线上，且． 求证：四边形是一个平行四边形． 由已知条件，可推出．于是可以利用平行四边形的定义或判定定理1、2获得证明结论所需的条件．因此，可以有多条证明路径． 注意是对角线上的两点，从判定定理 3 所需的条件考虑，想到连接．设相交于点，则只需要证明，就可推出结论.如图，连接，并设其与相交于点． ∵ 四边形是一个平行四边形， ∴(____________________) ∵， ∴， ∴． ∴ 四边形是一个平行四边形(____________________) 判定方法 符号语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∴ 四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 且）， ∴ 四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 （1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形，如图所示，四边形ABCD是平行四边形，，则，，但四边形 不是平行四边形. （3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形. （4）平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，在应用时要注意区别，以防混淆. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 1.另一组对边相等2.该组对边平行 一组对边平行 1.另一组对边平行2.该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角相等 已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 题型1 平行四边形的性质的应用 1.求线段的长或取值范围 例1已知：□的周长为，对角线、相交于点，的周长比的周长长，求这个平行四边形各边的长. (1)平行四边形的一组邻边之和等于平行四边形周长的一半. (2)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的邻边之差. 【变式1-1】已知□ABCD的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm，则AB的长度为(    ) A．11 cm B．15 cm C．18 cm D．19 cm 【变式1-2】如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为15cm，那么BC的长是 cm． 【变式1-3】如图，在中，、相交于点O，若，，与的周长差为 ． 【变式1-4】在平行四边形中，是对角线的交点，，且，则 .    例2在中，，，，则的取值范围是 ． 解决此类问题，首先根据平行四边形的性质把相应的线段转化到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系求解. 【变式2-1】在平行四边形中，对角线交于点O，若，则的取值范围是 ． 【变式2-2】如图，在中，，，对角线，相交于点O，则的取值范围是 ．    【变式2-3】如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.求角的度数 例3如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F，求，的度数．    在求角的度数时，充分利用平行四边形的对角相等、邻角互补来求解问题. 【变式3-1】在平行四边形中，与的度数之比为，那么的度数为 ． 【变式3-2】如图，在平行四边形中，的平分线交于E，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】在平行四边形中，若，则的度数是（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 题型2 利用平行四边形的性质证明 例4如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【变式4-1】如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【变式4-2】如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【变式4-3】如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 几种常见题型解题方法 1.线段相等/平行 - 优先用“对边平行且相等”性质，必要时结合三角形全等（SAS/ASA）推导。 - 对角线相关结论，直接用“对角线互相平分”。 2.角相等 - 用“对角相等”或“对边平行→内错角相等”直接推导。 3. 面积相等 - 找平行线为底的三角形，利用“同底等高面积相等”，再通过公共面积的加减得到目标面积相等。 题型3 平行四边形性质的其他应用 例5如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【变式5-1】如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【变式5-2】如图，图①，图②都是由12个全等的小矩形构成的网格，每个小矩形较短的边长为1，每个小矩形的顶点称为格点．线段的端点在格点上． (1)在图①中画，使点C在格点上； (2)在图②中以为边画一个面积为10的平行四边形，且另外两个顶点在格点上． 【变式5-3】如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒． 题型4 判断能否构成平行四边形 例6下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．两组对边分别相等的四边形 B．两条对角线互相平分的四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形 D．一组对边平行且相等的四边形 判断能否构成平行四边形，只需看条件是否满足“两组对边分别平行/相等、一组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分”中的任意一条，同时注意避开“一组对边平行另一组对边相等”等常见陷阱. 【变式6-1】以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】嘉淇不慎将一块平行四边形的教学模具打碎成如图的四块，为配到一块与原来相同的平行四边形模具，则她需要带的两块碎片的编号是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【变式6-3】如图，在四边形中，下列说法能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型5 添一个条件成为平行四边形 例7如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 添一个条件使四边形成为平行四边形，只需根据现有条件，补充一条能满足“两组对边平行/相等、一组对边平行且相等、两组对角相等、对角线互相平分”的判定定理即可. 【变式7-1】在四边形中，，对角线，相交于点．添加下列一个条件，使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：①；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是 ． 题型6 数图形中平行四边形的个数 例8如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 数图形中平行四边形的个数，核心是按“从小到大、从左到右”的顺序分类计数，先数单个小平行四边形，再数由2个、3个……小平行四边形拼成的大平行四边形，最后相加即可，避免重复或遗漏. 【变式8-1】如图，点D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为（    ）． A．0 B．2 C．1 D．3 【变式8-2】如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例9以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 与已知三点组成平行四边形的点，通常有3个，分别是以这三点中任意两点的连线为对角线，通过平移得到的第三个顶点. 【变式9-1】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【变式9-2】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 题型8 证明四边形是平行四边形 例10如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式10-1】如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【变式10-2】E，F是四边形对角线上的两点，，，．求证： (1) ； (2)四边形 是平行四边形 【变式10-3】如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【变式10-4】如下图，在中，连接，取中点，过点作直线，分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 题型9 平行四边形的判定与性质综合 1.利用平行四边形的判定与性质求解 例11如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． (1)求证：； (2)若，，求的长． 先用判定定理证明一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形“对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分”的性质来求解边、角或面积等问题. 【变式11-1】如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式11-2】如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2.利用平行四边形性质和判定证明 例13问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，垂足为，连接交于点． 探索求证： （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； 深入探究： （3）当时，求的面积． 先用判定定理（如一组对边平行且相等）证明目标四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质（如对边相等、对角相等、对角线互相平分）来推导所需的边、角或面积结论；也可以反过来，先利用已知平行四边形的性质得到边/角关系，再证明新的平行四边形. 【变式13-1】如图，已知点E为对角线上一点，连接． (1)用直尺和圆规，在内部作，使得，射线交于点，连接，（只保留作图痕迹）； (2)求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）， 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，______①______ ∴ 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴（______③______）（填写推理依据） ∴______④______ ∴四边形为平行四边形． 【变式13-2】如图，点E，F是对角线上的两点，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 3.平行四边形性质和判定的应用 例14综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【变式14-1】问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【变式14-2】如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为 ． 题型10 两条平行线之间的距离问题 例15在平行四边形ABCD中，P是BC中点，Q是CD中点，连AP，PD，AQ，BQ，图中与ΔABP（除ΔABP外）面积相等的三角形有（      ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 两条平行线之间的距离处处相等，解题时可以通过“在一条直线上取一点，向另一条直线作垂线，计算垂线段的长度”来求解，也可以利用平行四边形的面积公式（面积=底×高）反推出高，也就是平行线间的距离. 【变式15-1】已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式15-2】61．如图，E是内任意一点，若平行四边形面积是6，则阴影部分面积为 ． 【变式15-3】如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 1．平行四边形具有稳定性，当一个平行四边形的形状发生改变时，发生变化的是（    ） A．平行四边形的外角和 B．平行四边形的边长 C．平行四边形的周长 D．平行四边形某些角的大小 2．如图，平行四边形中，两对角线交于点，，，，则对角线的长为（   ） A． B． C． D． 3．在中，的值可以是（    ） A． B． C． D． 4．平行四边形的两条对角线分别为和，则其中一条边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形的周长为，，相交于点O，交于点E，则的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，，，则平行四边形的面积为 ．    7.如图，是的对角线，是直线上两点，且．求证：． 1.在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AC＝CD，∠ACB＝2∠ACD，则∠B的度数为（　　） A．50° B．65° C．70° D．72° 3.如图1，平行四边形的对角线相交于点O，直线过点O分别与相交于点， (1)求证：． (2)若直线分别与的延长线相交于（如图2），请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)若平行四边形的面积为20，，直线在绕点O旋转的过程中，线段何时最短？并求出长度的最小值． 4．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 定义 梯形的一种特殊情形（一组对边平行） 用符号口表示，例如口ABCD 符号表示 平行四边形 注意：表示时需按顺时针或逆时针注明顶点 邻边：四对 它 心对边：两对 基本元素 邻角：四对 儿对角：两对 对角线一两条 内容：平行四边形的对边相等 符号语言：·，·四边形ABCD是平行四边形， 定理1：对边相等 ∴.AB=CD,AD=BC 证明：通过连接对角线AC,利用全等三角形 内容：平行四边形的对角相等 定理2：对角相等 符号语言：··四边形ABCD是平行四边形， .∴∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 平行四边形的性质 内容：平行四边形的对角线互相平分 符号语言：·.·四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形 定理3：对角线互相平分 ..OA=OC,OB=OD 证明：通过△AOD兰△COB 中心对称性 一 平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度 距离处处相等 性质 两条平行线之间的距离 夹在两条平行线间的平行线段相等 作图方法一在一条直线上任取一点，向另一条直线作垂线，垂线段长度即为距离 与其他距离的区别一与“点到点距离”“点到直线距离”的区别：均指线段长度，但对象不同 内容：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定定理1：两组对边分别相等 符号语言：.AB=DC,AD=BC, '.四边形ABCD是平行四边形 内容：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定定理2：一组对边平行且相等 符号语言：，'AB‖DC且AB=DC, .四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的判定方法 内容：对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定定理3：对角线互相平分 符号语言：·AO=CO,BO=DO, ,.四边形ABCD是平行四边形 其他判定一两组对角分别相等 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形） 注意事项 判定定理与性质定理互为逆定理两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形 定义 梯形的一种特殊情形（一组对边平行） 用符号口表示，例如口ABCD 符号表示 平行四边形 注意：表示时需按顺时针或逆时针注明顶点 邻边：四对 对边：两对 基本元素 邻角：四对 对角：两对 对角线一两条 内容：平行四边形的对边相等 符号语言：·.·四边形ABCD是平行四边形， 定理1：对边相等 ∴.AB=CD,AD=BC 证明：通过连接对角线AC,利用全等三角形 内容：平行四边形的对角相等 定理2：对角相等 符号语言：·.·四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC 平行四边形的性质 内容：平行四边形的对角线互相平分 符号语言：·.：四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形 定理3：对角线互相平分 ..OA=OC,OB=OD 证明：通过△AOD≈△COB 中心对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度 距离处处相等 性质 两条平行线之间的距离 夹在两条平行线间的平行线段相等 作图方法一在一条直线上任取一点，向另一条直线作垂线，垂线段长度即为距离 与其他距离的区别一与“点到点距离”“点到直线距离”的区别：均指线段长度，但对象不同 内容：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定定理1：两组对边分别相等 符号语言：.AB=DC,AD=BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形 内容：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定定理2：一组对边平行且相等 符号语言：，AB‖DC且AB=DC, ∴.四边形ABCD是平行四边形 平行四边形的判定方法 内容：对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定定理3：对角线互相平分 符号语言：：AO=CO,BO=DO, ,∴.四边形ABCD是平行四边形 其他判定一两组对角分别相等 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形） 注意事项 判定定理与性质定理互为逆定理