精品解析：内蒙古呼和浩特市第三十二学校2025-2026学年高二上学期1月期末检测训练数学试题

呼和浩特市第三十二学校高二年级2026年1月检测训练 数学试题 （试卷满分：150分 时间：120分钟） 出题人：王会明 审题人：丰卫福、姜晓昆 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点，，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 张丽的书桌上有本不同的语文课外读物和本不同的英语课外读物.现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，则不同的取法种数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 椭圆的长轴的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 6 5. 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 6. 已知两条异面直线的方向向量分别是,，则这两条异面直线所成的角θ满足（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 2 8. 如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 将封不同的信全部投入个邮筒，共有种投法 B. “”是“直线与直线平行”的充要条件 C. 若，且不全为，则一定共面 D. 已知，，则 10. 将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（ ） A. 女生排在中间的排法有种 B. 女生不在头尾的排法有种 C. 女生不相邻的排法有种 D. 女生甲在女生乙右边的排法有种 11. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法.杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约11世纪上半叶)曾用过.由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪上半叶.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(B.Pascal，1623~1662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.观察杨辉三角中数字排列的规律，下列结论正确的是（ ） A. 第行的奇数项和为 B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 袋中有除颜色外完全相同的个球，其中个红球和个白球.现从袋中不放回地连续取两个球.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为______ 13. 抛物线的焦点坐标为______ 14. 某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担_______的责任.（结果精确到） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. （1）求此双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 17. 一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. （1）求第一次摸出红球的概率； （2）求第一次和第二次都摸出红球的概率； （3）已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成角的正切值为. （1）求四棱锥的体积； （2）点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． （1）求所在椭圆的离心率； （2）若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； （3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市第三十二学校高二年级2026年1月检测训练 数学试题 （试卷满分：150分 时间：120分钟） 出题人：王会明 审题人：丰卫福、姜晓昆 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间两点间的距离公式计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 张丽的书桌上有本不同的语文课外读物和本不同的英语课外读物.现在她想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，则不同的取法种数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数，从7本书中取一本有取法； 【详解】由桌面上共有7本书，所以抽取一本的取法有种， 故选：A 3. 已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 4. 椭圆的长轴的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求出，即可得出长轴长. 【详解】由椭圆可知，， 即，， 所以椭圆的长轴长为， 故选：A 5. 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为，则展开式中含的项的系数为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式系数和求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为所有的二项式系数之和为，所以，解得， 所以展开式的通项为（）， 令，解得， 所以， 所以展开式中含的项的系数为. 故选：D 6. 已知两条异面直线的方向向量分别是,，则这两条异面直线所成的角θ满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，利用数量积求夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为两条异面直线的方向向量分别是,， 所以, ，, 因为两条异面直线所成的角为， 所以，. 故选：. 7. 在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l：上在第一象限内的点，，以AB为径的圆C与直线交于另一点.若，则A点的横坐标为（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，求得的方程，进而得，设，则，从而根据平面向量的数量积求出结果. 【详解】如图，由已知得，则，所以的方程为． 由解得． 设，则，从而． 所以，解得或． 又，所以，即点A的横坐标为3． 故选：B． 8. 如图，已知是圆锥的轴截面，分别为的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】勾股得到，从而得到当最大时，最大，然后根据截面得到截面，根据勾股得到当最大时，最大，再结合截面得到的最大值，从而得到的最大值. 【详解】 过点作，交底面圆于两点，连接，，， 设，则， 所以当最大时，最大， 由圆锥的性质得底面， 因为底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面，所以平面， 则平面为截面， 因为为中点，所以，所以平面， 因为平面，所以，所以， 则当最大时，最大， 如图为截面的平面图， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以， 则此时，. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求最值. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 将封不同的信全部投入个邮筒，共有种投法 B. “”是“直线与直线平行”的充要条件 C. 若，且不全为，则一定共面 D. 已知，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A根据分步乘法计数原理判断；B根据两直线平行的结论运算；C由平面向量基本定理判断；D由全概率公式计算. 【详解】每封信均有种不同的投法，故共有种投法，故A错误； 若两直线平行，则，得或， 若，则两直线分别为，此时两直线平行； 若，则两直线分别为，此时两直线平行； 故两直线平行的充要条件是或，故B错误； 因为不全为，故不妨设，则可化为， 则由平面向量基本定理可知，一定共面，故C正确； ，故D正确. 故选：CD 10. 将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（ ） A. 女生排在中间的排法有种 B. 女生不在头尾的排法有种 C. 女生不相邻的排法有种 D. 女生甲在女生乙右边的排法有种 【答案】AC 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，首先排两个男生在头尾、其余人全排列即可判断B，利用插空法判断C，定序问题用倍缩法，即可判断D. 【详解】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 11. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法.杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约11世纪上半叶)曾用过.由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪上半叶.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(B.Pascal，1623~1662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.观察杨辉三角中数字排列的规律，下列结论正确的是（ ） A. 第行的奇数项和为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据组合数的性质及二项式定理一一判断即可. 【详解】对于A：第行对应二项式系数为，，，，， 且， 则第行的奇数项和为，故A正确； 对于B：的展开式中，的系数为 ， 同时，而的展开式中的系数为， 所以，故B正确； 对于C：先证明：， 由组合数公式可得 ， 所以， 故C错误. 对于D： ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 袋中有除颜色外完全相同的个球，其中个红球和个白球.现从袋中不放回地连续取两个球.已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为______ 【答案】##0.5 【解析】 【分析】依题意可得此时袋子中还有个红球和个白球，从而求出取得白球的概率. 【详解】第一次取得红球，此时袋子中还有个红球和个白球， 现从中随机取出一个球，则取得白球的概率， 故已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为. 故答案为： 13. 抛物线的焦点坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出其焦点坐标. 【详解】抛物线即， 所以焦点坐标为. 故答案为： 14. 某工厂有四条流水线，生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的，，，，这四条流水线的不合格品率依次为，，，.该厂规定，出现不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在从出厂的产品中任取一件，结果为不合格品，但该件产品的生产流水线标志缺失，工厂欲对这件不合格品追责，则第四条流水线应该承担_______的责任.（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】记产品是不合格品为事件，产品来自第四条流水线为事件，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求出，即可得解. 【详解】记产品是不合格品为事件，产品来自第四条流水线为事件， 则， 所以， 所以第四条流水线应该承担约的责任. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）10 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的对称性，可知展开式的项数，即可得解； （2）分别赋值即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解. 【小问1详解】 因为的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共项，其中第6项是唯一中间项， 所以. 【小问2详解】 由， 可令，得， 再令，可得， 所以. 【小问3详解】 二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. 16. 已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. （1）求此双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线方程为，依题意求出、、，即可得解； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【小问1详解】 依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 由，消去整理得， 则且，则且， 所以，， 所以 ， 因为，，， 所以，即，解得，符合题意， 所以. 17. 一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. （1）求第一次摸出红球的概率； （2）求第一次和第二次都摸出红球的概率； （3）已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据事件同时发生的概率公式及古典概型求解； （3）由条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则. 【小问2详解】 由题意知，同时发生的概率. 【小问3详解】 设事件表示“第次取球时，取到白球”， 则，, 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成角的正切值为. （1）求四棱锥的体积； （2）点在线段上，直线平面，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据棱锥的体积公式，结合线面角的定义进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，利用线面平行的性质、空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用向量法求点面距离即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，因此， 因为平面，直线与平面所成的角的正切值为， 所以， 四棱锥的体积为. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，，又因为， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意得， 显然平面的法向量为， 因为点在线段上，所以设，， 而，由空间向量的加法法则得， 得到，且， 可得，故， 设平面的法向量为，又，， 因为直线平面， 所以当直线平面，显然点不与点重合， 则当时，，取， 因为直线平面， 所以，即， 可得， 由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，，平面的法向量， 所以点到平面的距离. 19. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． （1）求所在椭圆的离心率； （2）若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； （3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，且切线与有交点，设切线方程，利用与圆相切关系求参数，进而确定P的坐标； （3）设，，联立椭圆方程，结合韦达定理、判别式得，注意讨论、，确定中点为，再结合、求参数范围. 【小问1详解】 由，则，即离心率为； 【小问2详解】 由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切， 且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为， 所以，可得，则或， 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，满足； 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，不满足； 综上，. 【小问3详解】 由题设，直线的斜率存在，可设，， 联立，整理得， 其中，即， 所以，，则， ， 所以且，故， 当时，则且，则，此时，满足； 当，而的中点为，又， 则，即， 且， ， 所以，则， 所以，则，故 所以，则. 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，设，，根据已知得到，且、的应用为关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $