精品解析：广东省广州市天河区2025-2026学年高二上学期期末调研考试数学试题

2025学年第一学期学业水平调研 高二数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线AB的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两点求出斜率，再应用倾斜角和斜率关系求解. 【详解】因为点，，所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角. 故选：A. 2. 已知数列是等比数列，若，则公比（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 则. 所以. 故选：B. 3. 已知直线l平分圆，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线经过圆心且与直线垂直计算可得. 【详解】因为圆， 所以圆心为， 因为直线平分圆，所以直线必须经过该圆心， 又因为直线与直线垂直， 直线的斜率为， 由两条垂直直线的斜率乘积为，得直线的斜率为. 代入圆心和斜率，可得. 故选：D. 4. 如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 5. 已知数列的首项，且点都在一条斜率为2的直线上，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项和公差，再利用裂项相消法求和计算作答. 【详解】因为点都在一条斜率为2的直线上，所以设该直线为，所以，因为，所以， 解得，所以，所以设，所以，设的前项和为， 则. 故选：C. 6. 如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先判断二面角的平面角为，然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】因为正方形和正方形，所以， 因为平面平面，二面角的大小是， 所以，因为， 所以， 因为正方形和正方形的边长都是2，所以， 因为，所以， 而， 所以. 故选：A. 7. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，然后根据韦达定理求出，进而得到双曲线的离心率. 【详解】因为直线与双曲线相交于A，B两点， 所以联立该直线与双曲线方程得. 化简得. 设，因为A，B两点的横坐标之积为， 所以根据韦达定理得，解得或（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 11 C. 21 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】应用三角换元，结合辅助角公式及三角函数值域计算求解. 【详解】因为，则设， 则，其中， 则， 当时，取最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知圆，圆，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 当时，圆与圆外切 D. 当时，圆与圆有公共弦，且弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆的定义、点到直线的距离公式、圆与圆之间的位置关系、公共弦等知识逐项计算判断即可. 【详解】将圆的方程化为标准方程为. 则，解得，A正确； 圆的圆心为，半径为， 由于圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，B错误； 当时，圆，所以圆，半径为. 那么圆的圆心距为， 所以当时，圆与圆外切，C正确； 当时，圆，所以此时圆，半径为. 那么圆的圆心距为，所以圆与圆相交， 设圆与圆的公共弦长为，则. 化简得，两边平方得， 解得或（舍去），所以D正确. 故选：ACD. 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点（其中A在第一象限），则（ ） A. B. C. D. 为直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出的值，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义和弦长公式求解弦长，最后根据向量的数量积判断三角形的形状. 【详解】对于A，抛物线的焦点， 又直线过抛物线的焦点F，所以， 解得，所以A正确； 对于B，C，由可知抛物线，焦点，准线方程为， 联立，消去并整理得：，解得， 则，， 所以，，所以B，C正确； 对于D，因为A在第一象限，，， 所以，， 即， 则， 所以， 所以为钝角，故D错误； 故选：ABC 11. 在空间直角坐标系中，已知点，向量，直线l过点Q且以为方向向量，平面过点Q且以为法向量，则（ ） A. 当动点在直线l上时，有 B. 当动点在平面上时，有 C. 当动点在直线l上时，的最小值为 D. 当动点在平面上时，的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据判断；C求点到直线的距离即可；B 根据计算；D求点到平面的距离即可. 【详解】，， 当动点在直线l上时，有，则，故A错误； 当动点在直线l上时， 在上的投影向量的模为， 则到直线的距离为， 则的最小值为，故C正确； 当动点在平面上时，，则， 则，故B正确； 因为在上的投影向量的模为，所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义得，联立，解出，再利用勾股定理即可得到答案. 【详解】根据椭圆方程，有，，则， 因为点在椭圆上，所以有，因为， 所以， 则， 则. 故答案为：. 13. 过点作直线l，若l与圆有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系来求解. 【详解】由题意可知，直线，圆心，半径为， 因为直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离， 得， 故直线l的斜率的取值范围是. 故答案为： 14. 某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金250万元后，剩余资金投入再生产作为第二年的年初资金．设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为，，，…（单位：万元），则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意列出递推式，然后对等式进行变换，根据等比数列的定义判断是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. 【详解】由题意可知，第一年年初资金为. 第二年年初资金为. 第三年年初资金为. 以此类推，可得到. 则有，而, 所以数列是公比为的等比数列，且首项为， 所以有，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，，，点E，F，G分别在棱，，上，点P，Q，R分别在棱，，上，． （1）求和所成角的余弦值； （2）求证：平面平面． 【答案】（1） （2） 证明：连接，取的中点分别为，连接. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 又平面，而不在平面内，所以平面. 因为，所以. 而，所以. 又平面，而不在平面内，所以平面. 又平面，所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出和所成角的余弦值. （2）要证明面面平行，则需要证明一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，即证明平面和平面. 【小问1详解】 根据题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则. 所以. 所以. 所以和所成角的余弦值为. 【小问2详解】 略 16. 已知数列的前n项和为，且首项，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系化简即可证得，根据等比数列的通项公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得答案. 【小问1详解】 由，可得， 两式相减可得，即，整理得，， 又，，则， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，故. 【小问2详解】 由（1），， ，① ，② ①②得，， 所以. 17. 已知椭圆的右焦点为，斜率为的直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点为． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P满足，求证：． 【答案】（1） （2） 因线段AB的中点为，则， 故由可得， 设点，则，解得，即，则， 又， 同理， 故. 【解析】 【分析】（1）设，利用点差法得到，代入条件化简得，结合联立求出，即得椭圆方程； （2）由题意易得，结合可得，求得点，代入坐标化简得，利用（1）的结论计算即可证明结论. 【小问1详解】 设，联立， 将两式相减，整理得， 因线段AB的中点为，则有，又直线的斜率为，故. 代入上式，可得，即①，又因，即得②， 联立①②，解得，故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F． （1）求证：平面EFD； （2）求平面PBC与平面PBD的夹角的大小； （3）若点M为三棱锥的外接球的球心，求直线PC与平面MEF所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意，两两互相垂直，以为原点，所在直线 分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.   连接，交于点，连接. 依题意得， 则，， 则， 所以， 由已知，且，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明线线垂直，即可得出线面垂直； （2）求出平面法向量，利用二面角的向量求法得解； （3）利用向量证明线线垂直，得出点的位置，设，由求出点的位置，求出平面法向量，利用线面角的向量求法得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于，则， 由于底面，底面，则， 由于平面，， 则平面， ，， 设平面的法向量， 则，即， 取一组解为， 则， 则， 则平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 由（1）得平面， 由于平面，则， 由于E是PC的中点，则， 则， 则，即， 三棱锥的外接球的球心在中点， 即， 设，则， 由于，则，， 则， 则，， 设平面的法向量， 则即， 令，则，， 设直线PC与平面MEF所成角为， 则. 19. 在平面直角坐标系中，点E到点的距离等于点E到直线的距离，记动点E的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （ⅰ）设AB中点为M，求证：轴； （ⅱ）若P是半圆上的动点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （i）设，， 因为PA，PB的中点均在C上，所以， 故可以看成方程即的两个不相等的实数根， 由韦达定理，可得，即点M的横坐标与点的横坐标相同， 故轴； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得结果； （2）（i）将所证结论转化为点M的横坐标与点的横坐标相同，PA，PB的中点在抛物线上，得满足同一个方程，结合韦达定理即可得结果； （ii）将面积表示为， 结合韦达定理将最后结果表示成关于的函数，由单调性求其范围即可. 【小问1详解】 因点E到的距离等于点E到直线的距离， 故点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 则动点E的轨迹方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ii）由（i）可知， 且， 仿（i），设AB中点为M，则轴，于是， ， ， 故的面积， 因为，所以， 因此面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期学业水平调研 高二数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线AB的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等比数列，若，则公比（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知直线l平分圆，且与直线垂直，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的首项，且点都在一条斜率为2的直线上，则数列的前50项和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（ ） A. B. C. D. 4 7. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 11 C. 21 D. 31 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知圆，圆，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 当时，圆与圆外切 D. 当时，圆与圆有公共弦，且弦长为 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点F，且与C交于A，B两点（其中A在第一象限），则（ ） A. B. C. D. 为直角三角形 11. 在空间直角坐标系中，已知点，向量，直线l过点Q且以为方向向量，平面过点Q且以为法向量，则（ ） A. 当动点在直线l上时，有 B. 当动点在平面上时，有 C. 当动点在直线l上时，的最小值为 D. 当动点在平面上时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的两个焦点为，，点P是椭圆上一点，且，则________． 13. 过点作直线l，若l与圆有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________． 14. 某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金250万元后，剩余资金投入再生产作为第二年的年初资金．设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为，，，…（单位：万元），则数列的通项公式为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，，，点E，F，G分别在棱，，上，点P，Q，R分别在棱，，上，． （1）求和所成角的余弦值； （2）求证：平面平面． 16. 已知数列的前n项和为，且首项，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和． 17. 已知椭圆的右焦点为，斜率为的直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点为． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P满足，求证：． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F． （1）求证：平面EFD； （2）求平面PBC与平面PBD的夹角的大小； （3）若点M为三棱锥的外接球的球心，求直线PC与平面MEF所成角的正弦值． 19. 在平面直角坐标系中，点E到点的距离等于点E到直线的距离，记动点E的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （ⅰ）设AB中点为M，求证：轴； （ⅱ）若P是半圆上的动点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $