精品解析：上海市顾村中学2025-2026学年第一学期期末考试高二年级数学试题

顾村中学2025学年第一学期期末考试 高二年级数学科 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 已知空间向量，且，则________． 2. 一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______. 3. 若，则______. 4. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 5. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 6. 二项式的展开式中含项的系数为________． 7. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则__________. 8. 如图正方体的棱长为2，则二面角的大小为________． 9. 某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为______． 10. 若事件A与事件B是独立的，，，则______． 11. 将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为________． 12. 如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体O，O与均相切，则该9部分的体积和的范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 在以下调查中，适合用普查的是（ ）. A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查一批LED灯的寿命 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一个班级学生的身高情况 14. 如图，在平行六面体中，为的交点，若，则向量（ ） A. B. C. D. 15. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 16. 如图所示，在正方体中，P为线段上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点P，都有； ④存在点P，使得平面． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数在处取得极小值. （1）求函数的解析式及单调增区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值。 18. 已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前 项和． 19. 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点. （1）求此圆锥的侧面积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 20. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顾村中学2025学年第一学期期末考试 高二年级数学科 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 已知空间向量，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，. 2. 一组数据15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78的第75百分位数是______. 【答案】50 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第75百分位数的定义求解即得. 【详解】依题意，，所以所求的第75百分位数是. 故答案为：50 3. 若，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据排列数的运算性质计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 由，解得. 故答案为：7 4. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 设球的半径为r，代入表面积公式，可解得，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设球的半径为r，则表面积， 解得， 所以体积， 故答案为： 【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题. 5. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用定义法，再检验时的取值，即可得到结果. 【详解】由题得，， 所以， 当时，， 所以. 6. 二项式的展开式中含项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令得，，所以展开式中的系数为. 故答案为：. 7. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则__________. 【答案】24 【解析】 【分析】先得到甲乙的中位数，可得到，再利用平均数相同即可求解. 【详解】根据茎叶图知，乙的中位数是，所以， 所以甲的平均数是， 所以，解得. . 故答案为：24. 8. 如图正方体的棱长为2，则二面角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ,0,，,0,，,,，，0，，,,， ,,，,0,， 设平面的法向量,,， 则，取，得,1,， 又平面的法向量,0,， 设二面角的大小为， ， 二面角的大小为． 故答案为： 9. 某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为______． 【答案】； 【解析】 【分析】利用插空法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解. 【详解】先把4个语言类节目全排列，中间形成5个空，5个空中选3个空排三个歌舞类节目， 共有种情况，又因为7个节目全排列有种情况， 所以所求概率为. 故答案为：. 10. 若事件A与事件B是独立的，，，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】由于事件与事件是独立的，故事件与事件也相互独立， 故， 又，故， 进而可得． 11. 将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形和圆台的几何关系，求上下底面圆的半径，以及高，最后代入圆台的体积同时，即可求解. 【详解】由条件可知，， 设圆台上底面的半径为，下底面半径为， 弧长的长为,弧长， 所以，，，， 圆台上下底面的高， 所以圆台的体积. 故答案为： 12. 如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体，有1个以正方体体心为球心的球体O，O与均相切，则该9部分的体积和的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体的特征，再应用二次函数值域结合球的体积公式计算求解. 【详解】设球体的半径为，半径为， 所以，即得， 可得，所以， ，此为关于的二次函数，开口向下，对称轴为， 所以， 该9部分的体积和为 ， 所以． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 在以下调查中，适合用普查的是（ ）. A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查一批LED灯的寿命 C. 调查某城市居民的食品消费结构 D. 调查一个班级学生的身高情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的概念判断即可； 【详解】A选项，每个批次生产的汽车的数量非常多，且调查汽车抗重击能力具有破坏性，不适合使用普查，应使用抽样调查； B选项，调查一批LED灯的寿命具有破坏性，不宜使用普查，应使用抽样调查； C选项，某城市居民数量非常多，不适合使用全面普查，应使用抽样调查； D选项，一个班级学生的身高情况，人数较少，适合用普查； 故选：D 14. 如图，在平行六面体中，为的交点，若，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算进行求解. 【详解】因为在平行六面体中，为的交点，， 所以 ． 15. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 16. 如图所示，在正方体中，P为线段上的动点，给出下列四个结论： ①DP长度为定值； ②三棱锥的体积为定值； ③任意点P，都有； ④存在点P，使得平面． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于①，根据空间两点距离公式求解；对于②，通过证明平面，进而得到点P到平面的距离为定值，从而判断正误；对于③，通过判断，进而判断；对于④，通过验证向量与向量和同时垂直时是否有解，进而判断正误. 【详解】如下图所示： 设正方体的棱长为1，以点D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、、、 ，设点，其中 对于①，不是定值，①错误； 对于②，在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面， ，则点P到平面的距离为定值，而的面积也为定值， 所以，三棱锥的体积为定值，②正确； 对于③，，，所以， 因此，对任意点P，都有，③正确； 对于④，，，， ，这样的t不存在， 所以不存在点P，使得平面，④错误． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知函数在处取得极小值. （1）求函数的解析式及单调增区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值。 【答案】（1），单调递增区间为和 （2）最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用函数导数与极值求出参数，再结合函数导数与单调性求出单调区间即可； （2）利用函数导数与函数单调性，函数导数与函数极值（最值），分析求解即可. 【小问1详解】 由，则， 因为函数在处取得极值，则，即， 此时， 又，解得：， 所以，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，单调递增区间为和． 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，． 所以函数的最大值为4，最小值为． 18. 已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． （1）求数列与的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前 项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，求得和，结合等差、等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设的公差为，因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以， 因为，且公比，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）知：且，可得， 所以数列的前项和. 19. 如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点. （1）求此圆锥的侧面积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件求出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式求解即可； （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. 【小问2详解】 以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图， 由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 20. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 【答案】（1） （2）平均数为，方差 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，的值； （2）直接根据平均数及方差的定义求解即可； （3）先求得抽样比例，可得在区间和内抽取的人数，从而利用古典概型公式求解即可． 【小问1详解】 因为个体在区间内的频率是， 所以频数； 在内的频率是， 所以频数. 【小问2详解】 平均数为， 方差. 【小问3详解】 由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为， 所以在区间和内抽取的人数各为和， 分别记这人为、、、、和、，则事件的总体是 ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， 其中共有个基本事件， 记所求的事件为，则中包含的基本事件为： ，，，，，，，，，共个， 所以． 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 【答案】（1） 由题意， 在四棱锥中， ⊥面ABCD，,， ∴， 在直角梯形中，， ∵， ∴ ∵ ∴ （2） 由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD， 在四棱锥中，， 作出空间直角坐标系如下图所示： 由几何知识得，，，，，， ∴，，， 设，则, ∴ ∴， 若AM⊥面PCD 解得： ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直. （2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长. （3）通过向量关系表达出，再表达出， 列出直线CQ与DP所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意及（1）（2）得， ，， 设 ∴， 设，， ∴ 当且仅当即时，最大，为， 在中，上是减函数， ∴最大时，直线CQ与DP所成的角最小， ∵， ∴， ∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $