精品解析：云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题

云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考场号、座位号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考场号、座位号、姓名、班级，在规定的位置贴好条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解对应集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得或，则， 因为，所以，故D正确. 故选：D 2. 已知复数满足，其中i是虚数单位，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意求出，再利用模长公式求解即可. 【详解】因为，所以， 解得，由模长公式可得，故A正确. 故选：A 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推公式依次迭代即可； 【详解】由题意当时，得， 当时，得， 当时，得， 故选：C 4. 已知平面，直线，下列命题为真的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断A，C，D，利用面面平行与面面垂直的性质判断B即可. 【详解】对于A，若，则或与相交或，故A错误， 对于B，若，由面面平行与面面垂直的性质得，故B正确， 对于C，若，则或相交或异面，故C错误， 对于D，若，则或相交，故D错误. 故选：B 5. 马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（ ） A. 极差为3 B. 平均数为7 C. 分位数为7.5 D. 方差为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据极差、平均数、方差及百分位数的定义求样本特征数值，即可判断各项正误. 【详解】由样本数据知极差为，故A错误； 平均数为，故B错误； 由，得这组数据的分位数是第4个数8，故C错误； 方差为，故D正确. 故选：D. 6. 平行六面体中，，设向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 7. 设函数，若在区间上有零点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先把原式化成标准的正弦函数形式，再根据题目要求，让这个函数在给定区间里至少有一个零点，从而求出的最小取值. 【详解】化简函数， 因为函数在上有零点，即存在，使得， 因此， 当时，. 要使函数有零点，则区间内必须包含形如的数，最小的正整数， 所以，故值最小为. 故选：B 8. 已知直线与双曲线的一支相交于不同的两点，设双曲线渐近线斜率为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C的一支与直线相交于互异两点列出不等式组，求出，再结合求解即可. 【详解】联立方程组；消去y得， 而双曲线C的一支与直线相交于互异两点， 等价于不等式组，解得； 依题意得，当时，； 可得的取值范围是，故A正确. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据对数不等式得出，再根据指数单调性及对数单调性判断B，D，应用指数幂运算判定A，应用特殊值判断C. 【详解】因为，所以， 所以，A选项正确； 因为单调递减，所以，B选项正确； 当时，，C选项错误； 因为，所以，所以，D选项正确； 故选：ABD. 10. 已知是棱长为4的正四面体，点在表面上运动，MN为的外接球的一条直径，则（ ） A. 的表面积为 B. 的体积为 C. 球的表面积为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正四面体的表面积为计算可判断A；求得正四面体的体积判断B；求得外接球的表面积判断C；利用可求得的最小值判断D. 【详解】对于A，因为是棱长为4的正四面体，所以每个面均为边长为4的等边三角形， 所以的表面积为，故A正确； 对于B，过作平面于，因为， 所以为的外心，所以， 所以， 所以，故B错误； 设三棱锥的外接球的半径为，所以， 解得，球的表面积为，故C正确； 对于D，设球心为，又MN为的外接球的一条直径，则， 对于任意点，可得， 所以， 所以最小时，最小，所以的最小值即为的内切球的半径， 又是棱长为4的正四面体，所以外接球的球心即为内切球的球心， 所以的最小值即为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，若，则 C. 若有两解，则成等差数列 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用作差法和对数运算即可判断A，利用分类讨论对数正负即可判断B，利用对数的运算性质即可判断C，利用数形结合即可判断D． 【详解】对A,当时，， 所以，故A正确； 对B,当时，若， 则当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可得，故B错误； 对C,由，若有两解， 则， 因为，所以成等比数列，故C错误； 对D,作出图象如图： 由图可得：当时，是一个上凸函数， 此时， 所以 ， 由于，所以等号不成立，即， 故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上一点，若的最大值为10，最小值为4，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出椭圆的基本量，再利用直接法求解离心率即可. 【详解】因为的最大值为10，最小值为4， 所以，解得，则. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，已知，则__________. 【答案】17 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 所以，因为， 所以，解得，即， 所以，解得. 故答案为：17. 14. 已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，结合条件得到点的轨迹是一个圆，利用圆与圆的位置关系计算半径的取值范围； 【详解】设点，由， 根据距离公式得， 两边平方并整理得，即 因此满足条件的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 圆的圆心，半径为，该圆与轨迹圆有公共点， 故两圆的圆心距，要使两圆有公共点，需满足， 计算圆心距，代入得， 解得，所以半径的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的一条直径的两个端点分别是. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于A，B两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得圆心坐标和圆的半径，可求圆的方程； （2）分直线的斜率是否存在进行讨论，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 由题，圆心的坐标为，半径为2. 所以，圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，当斜率不存在时，直线的方程为， 则，不符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为， 设， 联立，得：， 所以，， 所以，， 解得：， 所以，直线的方程为. 16. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形. （1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）； 1 2 3 4 1 3 27 1 （2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和. （i）证明：当时，； （ii）求数列的前项和. 【答案】（1） 分析图案易知， 1 2 3 4 1 3 9 27 1 则 （2） （i）由题意得， 因为， 所以为以3为首项，为公比的等比数列，且该数列为正项递增数列， 又因为， 所以，当时，. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据规律填写表格以及通项公式； （2）（i）求出，根据增减性求证； （ii）求出等比数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为为等比数列，所以. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若为BC边上一点，，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用边化角，结合三角恒等变换可求得； （2）由题意结合正弦定理可得，进而可得，利用可求解. 【小问1详解】 由题得，， 由正弦定理得，， 在中，， 所以， 代入可得， 在中，，所以， 因为，所以，所以， 故； 【小问2详解】 因为，由（1）得， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为且为BC边上一点， 所以，所以，此时， 在中，，所以， 所以，. 18. 如图1，是等边三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.把沿AC翻折至，得空间四边形ABCE，点在线段EB上，如图2. （1）求证：； （2）当平面平面ABC，且AG与平面EBC所成角的正弦值为时，求平面ACG与平面BCG的夹角的大小. 【答案】（1） 取AC中点为，连接OE，OB， 由，得， 由，得， 又，所以平面OEB， 由平面OEB，得. （2） 【解析】 【分析】（1）取AC中点为，连接OE，OB，可得，，进而可证结论； （2）由已知可证平面ABC，建立空间直角坐标系，求得平面EBC的一个法向量，设，利用已知求得，进而求得平面GAC的一个法向量为，可得，可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，平面平面，平面平面ABC， 所以，平面ABC， 不妨设，则， 以为原点建立空间直角坐标系如图， 则， 所以，， 设平面EBC的法向量，由，得 令，则，得平面EBC的一个法向量， 设，由，得， 所以，， 设直线AG与平面EBC所成角为， 则，整理得，所以， 此时，， 设平面GAC的一个法向量为， 由，得， 令，则， 所以平面GAC的一个法向量为， 因为， 所以，平面平面BCG， 所以平面ACG与平面BCG的夹角的大小为. 19. 已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，过点且与直线垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）直线与曲线交于异于坐标原点的两点，若的外心在直线上， （i）求证：直线过定点： （ii）设是的内心，若直线与轴交于点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （i）由题知，直线斜率存在，设的方程为， 设，联立，得， 所以，， 所以 因为的外心在直线上，所以， 所以，，所以， 解得或0（不合题意，舍去）， 所以，直线过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求得抛物线方程； （2）（i）根据直线与曲线交于异于坐标原点的两点，结合的外心在直线上，证明直线过定点： （ii）设直线与交于，结合角平分线定理和两直线联立计算得到结果； 【小问1详解】 连接，由垂直平分线性质知， 由抛物线的定义知，动点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 设其方程为，所以，即，所以轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设直线与交于，因为是的内心，所以MI平分， 由角平分线定理知，， 因为，所以直线MI的方程为， 联立，得， 不妨设，则， 因为为焦点，所以由焦半径公式知，， 所以，， 所以，， 由（i）有，所以， 所以，， 解得（不合题意，舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考场号、座位号、姓名、班级填写在答题卡上，并认真核准条形码上的考场号、座位号、姓名、班级，在规定的位置贴好条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中i是虚数单位，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知平面，直线，下列命题为真的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（ ） A. 极差为3 B. 平均数为7 C. 分位数为7.5 D. 方差为2 6. 平行六面体中，，设向量，则（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若在区间上有零点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 已知直线与双曲线的一支相交于不同的两点，设双曲线渐近线斜率为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是棱长为4的正四面体，点在表面上运动，MN为的外接球的一条直径，则（ ） A. 的表面积为 B. 的体积为 C. 球的表面积为 D. 的最小值为 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，若，则 C. 若有两解，则成等差数列 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上一点，若的最大值为10，最小值为4，则该椭圆的离心率为__________. 13. 已知等差数列的前项和为，已知，则__________. 14. 已知两点，若圆上存在点满足，则半径的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的一条直径的两个端点分别是. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于A，B两点，若，求直线的方程. 16. 下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图①是一个边长为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，并去掉中间的小正三角形得到图②，对图②中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图③，再对图③中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图④，…，依此类推得到个图形. （1）在第个图形中，记实心小正三角形的个数为，每个实心小正三角形的边长为.补全下列表格，并直接写出数列和的通项公式（不需证明）； 1 2 3 4 1 3 27 1 （2）若记为第个图形中所有实心小正三角形的周长之和. （i）证明：当时，； （ii）求数列的前项和. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若为BC边上一点，，且，求. 18. 如图1，是等边三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形.把沿AC翻折至，得空间四边形ABCE，点在线段EB上，如图2. （1）求证：； （2）当平面平面ABC，且AG与平面EBC所成角的正弦值为时，求平面ACG与平面BCG的夹角的大小. 19. 已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，过点且与直线垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）直线与曲线交于异于坐标原点的两点，若的外心在直线上， （i）求证：直线过定点： （ii）设是的内心，若直线与轴交于点，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $