精品解析：重庆九龙坡区2025-2026学年学业质量测评(中学) 九年级(上)数学试题

2025-2026学年学业质量测评（中学） 九年级（上）数学试题 （全卷大题三个，共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确的答案对应的方框涂黑． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B. 成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C. “襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 点(−2,1)在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 它的图象经过原点 D. 当x>0时，y随x的增大而减小 6. 下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑥个图形中正方形的个数为（　　） A. 50 B. 48 C. 43 D. 40 7. 如果与关于点对称，且点的对应点依次为点，那么下列说法不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，此时点刚好落在线段上，已知，则旋转角等于___________度． 12. 如图所示的电路图中，当随机闭合、、，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 _____________________ 13. 某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为___________． 14. 已知关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，且二次函数的图象满足：当时，随的增大而减小．则所有满足条件的整数的和为___________． 15. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧分别交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的和乘以3，正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和倍数数”．比如：，满足，则为“和倍数数”；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的差乘以4，正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差倍数数”．比如：，满足，则为“差倍数数”．那么最小的“差倍数数”(其中是0到9内的整数)是___________；若一个“和倍数数”和一个“差倍数数”的个位数字均为，十位数字均为(，且，为0到9内的整数)，，若为整数时，记，则的最大值为___________． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17-18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 请用合适的方法解方程． （1） （2） 18. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，点为中点． （1）用直尺和圆规完成基本作图：过点作的垂线，分别交，于点和，连接，(不写作法，不下结论，保留作图痕迹)； （2）在（1）所作图形中，猜想四边形的形状，并补全下面的证明过程验证你的猜想． 证明：四边形是平行四边形， ___________①． ． 点为中点， ___________②． 在和中， ， ， ___________．③ 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是④． 19. 为了宣传垃圾分类从我做起活动，某校举行了垃圾分类相关知识竞赛．为了了解初一、初二两个年级学生的掌握情况，现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩均为整数）进行分析，将成绩分为以下4组，A组：，B组：，C组：，D组：．现将数据整理分析如下： 收集数据： 初一年级：61，70，71，72，75，75，75，75，75，76，77，79，79，80，81，83，85，86，87，93 初二年级在B组的成绩为：80，80，81，81，81，82，82，83，83，84，87． 整理数据： 分析数据： 平均数 众数 中位数 初一年级 78 c 78 初二年级 78 81 应用数据： （1）由上表填空：___________，___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对垃圾分类知识掌握的总体水平较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）该校初一有1500名学生和初二有2000名学生参加了此活动，请估计两个年级成绩达到80分及以上的学生共有多少人？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在第二象限交于点，且与轴交于点．已知点的横坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）在轴上有一动点，且的面积为3，求点的坐标． 21. 如图，中，，是边上一点，且．是边上的一点，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为的弦心距为1，求的周长． 22. 某文具店以相同进价购进两批笔记本，第一批本，每本元出售；第二批本，每本元出售，两批笔记本全部售罄后，文具店共获利元． （1）求笔记本的进价是每本多少元？ （2）该文具店又以相同进价购进第三批笔记本本，计划两天卖完．第一天将笔记本涨价至每本元销售，仅卖出本；第二天，文具店决定在第一天售价的基础上降价促销，若每降价元，第二天的销量在第一天销量的基础上增加本；到闭店时，仍有部分笔记本未售出，店主将剩余笔记本赠予学校，第三批笔记本的利润恰好为元，求未售出的笔记本共有多少本？ 23. 如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动．动点同时以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，当点到达点时，点，同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，点到直线的距离为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标． 25. 在等腰中，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．直线交直线于点． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，点恰好是的中点，连接，求证：； （3）如图3，将在同一平面内沿直线翻折，使得点落在点处，连接，若，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年学业质量测评（中学） 九年级（上）数学试题 （全卷大题三个，共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确的答案对应的方框涂黑． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式的顶点坐标为，即可得出结论． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标问题，掌握二次函数的顶点式的特征是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B. 成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C. “襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意； B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意； C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意； D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 5. 对于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 点(−2,1)在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 它的图象经过原点 D. 当x>0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小． 【详解】A. 把点(−2,1)代入反比例函数得2=−2不成立，故选项错误； B. ∵k=2>0，∴它的图象在第一、三象限，故选项错误； C. ∵x≠0，它的图象不经过原点，故选项错误； D. 当x>0时，y随x的增大而减小，故选项正确. 故选D. 【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握其性质. 6. 下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑥个图形中正方形的个数为（　　） A. 50 B. 48 C. 43 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键．根据题意得出第n个图形有个正方形，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知，第一个图形有8个正方形， 第二个图形有个正方形， 第三个图形有个正方形， … 观察发现，第n个图形有个正方形， 当时，个正方形． 故选：C． 7. 如果与关于点对称，且点的对应点依次为点，那么下列说法不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称的知识，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质．根据“中心对称的对称点的连线被对称中心平分，对应线段相等，对应角相等”，可以判断选项A、B、C；由与关于点对称，无法证明，即可判断选项D． 【详解】解：如下图， A.因为与关于点对称，点与点是对称点，所以，故本选项说法正确，不符合题意； B.因为与关于点对称，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，故本选项说法正确，不符合题意； C. 因为与关于点对称，可知与是对应角，所以，故本选项说法正确，不符合题意； D. 由与关于点对称，无法证明，故该说法错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理可得，再根据计算即可． 【详解】∵四边形内接于， ∴ ， 由圆周角定理得， ， ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可得，， ，， ，， ， ， 为的中点， 垂直平分， ， 设， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 中，，即， 解得， ， ， ， ， 故选：D． 10. 已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、方程有无数解的条件、因式分解等知识． ①代入，写出多项式、的表达式，对因式分解后，分析方程的解；只要其中一个因式为有实数解，即可判定方程有实数解． ②代入，将整理为关于的方程，根据“一元一次方程有无数解的条件是一次项系数为且常数项相等”，求出的值并判断． ③代入，写出的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式；结合为正整数的条件，判断的符号，从而确定方程是否有实数解． ④对等式变形为，代入、得到；再根据为正整数的条件，分析的正因数分解情况，统计符合条件的解的组数，进而确定多项式的个数． 【详解】解：①若，则，． 方程即． 因有解，故方程有实数解，①正确； ②若，且有无数解， 则，整理得． 方程有无数解的条件是系数为0，即，得，②正确； ③若，则． 要存在实数使，需判别式． ∵为正整数，， ∴，，方程无实数解，③错误； ④由变形得，其中，， 即. ∵均为正整数， ∴，． ∵9的正整数因数分解为、、， ∴只有，，则，， ∵为正整数，∴，； 因此满足条件的多项式仅1个，故④错误． 综上，正确的说法为①②，共2个． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，此时点刚好落在线段上，已知，则旋转角等于___________度． 【答案】39 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质和三角形内角和定理，根据旋转的性质得到，再根据计算即可； 【详解】∵绕点A旋转得到， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：39． 12. 如图所示的电路图中，当随机闭合、、，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 _____________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，画树状图，共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和时，灯泡能发光，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种， （能够让灯泡发光的概率） 故答案为： 13. 某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设年平均增长率为，根据增长问题模型，列出方程 ，再解方程求出，即可解题． 【详解】解：设年平均增长率为， 则． 化简得． 开平方得（舍去负值）， 所以． 故答案为：． 14. 已知关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，且二次函数的图象满足：当时，随的增大而减小．则所有满足条件的整数的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、二次函数的图象及性质、不等式的特殊解，关键是灵活应用知识点解题；首先解不等式组，得到解集范围，根据有且只有个整数解的条件确定参数的取值范围；再根据二次函数的性质，确定顶点横坐标需满足的条件，得到的另一取值范围；综合两者可得整数的值，并求其和即可． 【详解】解：解不等式组得：，， ∴解集为：， ∵有且只有个整数解，则整数解为和， ∴， 解得， ∵二次函数，开口向上，顶点横坐标为， 当时随的增大而减小， ∴顶点横坐标为非负数， 即，解得， ∴，整数为、、， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧分别交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式、等边三角形判定与性质、等腰三角形性质，关键是通过角度计算确定扇形圆心角，再用割补法求阴影面积． 【详解】解：在中，，，， ． 如图，取中点，连接，则． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 如图，连接． ∵，， 为等边三角形， ，， ，， ∴点是的中点， ∴. ，， . 故答案为：． 16. 若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的和乘以3，正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和倍数数”．比如：，满足，则为“和倍数数”；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的差乘以4，正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差倍数数”．比如：，满足，则为“差倍数数”．那么最小的“差倍数数”(其中是0到9内的整数)是___________；若一个“和倍数数”和一个“差倍数数”的个位数字均为，十位数字均为(，且，为0到9内的整数)，，若为整数时，记，则的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义的“和倍数数”与“差倍数数”的性质，关键是根据定义建立数的表达式，结合整数的整除性与代数式求值进行分析． （1）根据“差倍数数”的定义，个位数字为3，十位数字为，则等于千位与百位组成的两位数．要使四位数最小，需千位最小(为，且最小．通过分析的取值，确定最小的两位数，从而得，，，得到最小数为． （2）根据定义写出、的表达式，代入的化简式，利用整数整除性确定为的倍数，结合的范围找出所有符合条件的，再代入求值，比较得最大值． 【详解】解：“差倍数数”的个位为3，十位为，由定义得． 要使四位数最小，则千位． ∵为两位数，∴，即， 令，则，则，即， 故，，． 因此最小的“差倍数数”为； 设“和倍数数”， “差倍数数”． 代入， 化简得：． ∵为整数，故是的倍数， ∵，且，为0到9内的整数， ∴的可能值为， 对应的，分别为、或， 并且和的值均为两位数，满足题干条件四位数的条件． 当时，； 当时，； 当时，． 比较得的最大值为； 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17-18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 请用合适的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，关键是熟练应用恰当的方法解方程； （1）用公式法解方程即可； （2）先将方程化为一般形式，用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：原方程可化为：，即， ， ，． 18. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，点为中点． （1）用直尺和圆规完成基本作图：过点作的垂线，分别交，于点和，连接，(不写作法，不下结论，保留作图痕迹)； （2）在（1）所作图形中，猜想四边形的形状，并补全下面的证明过程验证你的猜想． 证明：四边形是平行四边形， ___________①． ． 点为中点， ___________②． 在和中， ， ， ___________．③ 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是④． 【答案】（1） 过点作的垂线如图所示． （2）①；②；③；④菱形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、尺规作图(过一点作已知直线的垂线)、全等三角形的判定与性质、菱形的判定．关键是利用平行四边形的性质得到角相等，结合中点条件证明三角形全等，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形完成判定． （1）分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两点得到直线，交于，交于，连接、． （2）先根据平行四边形的对边平行性质填①，再由中点定义填②；通过全等三角形的对应边相等填③；最后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”填④． 【小问1详解】 解：如图，分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两点得到直线，交于，交于，连接、． 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴①， ∴． ∵点为中点， ∴②． 在和中， ， ∴， ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形④． 19. 为了宣传垃圾分类从我做起活动，某校举行了垃圾分类相关知识竞赛．为了了解初一、初二两个年级学生的掌握情况，现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩均为整数）进行分析，将成绩分为以下4组，A组：，B组：，C组：，D组：．现将数据整理分析如下： 收集数据： 初一年级：61，70，71，72，75，75，75，75，75，76，77，79，79，80，81，83，85，86，87，93 初二年级在B组的成绩为：80，80，81，81，81，82，82，83，83，84，87． 整理数据： 分析数据： 平均数 众数 中位数 初一年级 78 c 78 初二年级 78 81 应用数据： （1）由上表填空：___________，___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对垃圾分类知识掌握的总体水平较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）该校初一有1500名学生和初二有2000名学生参加了此活动，请估计两个年级成绩达到80分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）60，6，75，81 （2）初二年级的学生对垃圾分类知识掌握的总体水平较好， 因为从中位数看，初二学生的成绩高于初一学生的成绩； （3）估计两个年级成绩达到80分及以上的学生约有1825人． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图、众数、中位数和用样本估计总体等．掌握众数、中位数的定义是解题的关键． （1）根据数据求得初一C组的人数，即可求得其百分比，从而得出a，根据众数和中位数的定义可求得c和d，初二用20减去其他组的人数即可求得b； （2）可从中位数的高低分析（也可根据众数的高低分析）； （3）根据样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：由数据可知，初一年级：共有12人， 则，故， 75出现的次数最多，故众数为， 初二年级：B组共有11人，C组有人，即， 中位数为从小到大排列第10个数和第11个数的平均数，A组有2人，B组从小到大排列如下：80，80，81，81，81，82，82，83，83，84，87． 中位数为：， 故答案为：60，6，75，81； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：估计两个年级成绩达到80分及以上的学生共有：（人）． 答：估计两个年级成绩达到80分及以上的学生约有1825人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在第二象限交于点，且与轴交于点．已知点的横坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）在轴上有一动点，且的面积为3，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、函数交点坐标的求解、利用函数图象解不等式等知识，核心是运用数形结合思想和几何图形的面积转化思想解决问题． （1）将点的横坐标代入反比例函数解析式，求出点的坐标，再结合已知的点坐标，利用待定系数法代入一次函数的解析式，求解出一次函数的未知系数，进而得到一次函数表达式． （2）联立一次函数与反比例函数的解析式，解方程组求出两个函数的所有交点横坐标，再结合函数的图象位置，判断出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的的取值范围，即为不等式的解． （3）求出直线与轴的交点的坐标，设出轴上点的坐标，利用面积差法表示出的面积，结合已知的面积值建立方程，求解方程得到点的横坐标，最终确定点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上，且横坐标为， ∴将代入，得， ∴点的坐标为． ∵一次函数过点， ∴． 将代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：联立，解得或， ∴两函数另一交点横坐标为6． 结合图象，当时，或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴的交点为，则点的坐标为，设点的坐标为. ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 21. 如图，中，，是边上一点，且．是边上的一点，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为的弦心距为1，求的周长． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵是⊙的半径，且， ∴是⊙的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、垂径定理、含的直角三角形的性质，关键是通过角度关系证明切线，利用弦心距求弦长，再结合含的直角三角形的性质求三角形各边长度． （1）连接半径，利用等腰三角形性质得，推出；结合已知，得；再由推出，从而证明是切线． （2）连接、作的辅助线，利用垂径定理得是中点，结合为中点，推出是的中位线，从而得到．接着，判定为等边三角形，得，，进而得到．之后在中，利用角所对直角边是斜边一半的性质得，算出；最后在中，由设、，通过勾股定理求出、，最终得到的周长为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过作于，则点是中点，是的中位线． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 设，则，由勾股定理： 代入得，解得， ∴，． ∴的周长为． 22. 某文具店以相同进价购进两批笔记本，第一批本，每本元出售；第二批本，每本元出售，两批笔记本全部售罄后，文具店共获利元． （1）求笔记本的进价是每本多少元？ （2）该文具店又以相同进价购进第三批笔记本本，计划两天卖完．第一天将笔记本涨价至每本元销售，仅卖出本；第二天，文具店决定在第一天售价的基础上降价促销，若每降价元，第二天的销量在第一天销量的基础上增加本；到闭店时，仍有部分笔记本未售出，店主将剩余笔记本赠予学校，第三批笔记本的利润恰好为元，求未售出的笔记本共有多少本？ 【答案】（1） 元 （2） 本 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程，一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键． （1）设笔记本的进价是每本元，利用两次获利共元列方程，再解方程即可得到答案； （2）设第二天文具店降价元销售，则第二天的销量为：本，再利用两天获利元列方程，再解方程即可. 【小问1详解】 解：设笔记本进价是每本元， ， 解得：， 答：笔记本的进价是每本元； 【小问2详解】 解：设第二天文具店降价元销售， ， 解得：（舍）， （本）， 答：未售出的笔记本共有本 23. 如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动．动点同时以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，当点到达点时，点，同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，点到直线的距离为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1） （2）根据题意可知，当时，点和在关于的函数图象所在的直线上，连接这两个点，即可作出时关于的函数图象；同理，可作出时，关于的函数图象．根据，列表如下，描点作图即可． ，的图象如图所示．当时，的值随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象及性质： （1）对于的函数解析式分两种情况：当时和当时；对于的函数解析式，根据，即可求得； （2）根据题意可知，当时，点和在关于的函数图象所在的直线上，连接这两个点，即可作出时关于的函数图象；同理，可作出时，关于的函数图象；根据，列表描点作图即可． （3）根据函数图象可知，当时，，当时，令，可得，求解即可． 【小问1详解】 根据勾股定理可得． 根据题意可知，． （Ⅰ）当时，如图所示，过点作的平行线，交于点，可知， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （Ⅱ）当时， ，即； 综上所述，； ∵， ∴； ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据函数图象可知，当时，． 当时，令，可得． 变形，得． 解得（舍去），． 根据函数图象可知，当时，． 因为， 所以． 所以． 所以当时，． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式可得，根据二次函数的对称轴可得，联立解方程组即可得； （2）先求出直线的解析式为，则，再设点的坐标为，则，利用二次函数的性质求出的值，然后作点关于直线的对称点，将沿方向向下平移1个单位长度得到，则，，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先求出平移后所得到的新抛物线的解析式为，则，，再过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，然后设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 联立，解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：将代入得：， 解得或， ∴， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上一点， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 由题意，设点的坐标为， ∵轴，交于点， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值， 如图，作点关于直线的对称点， 则，，即， 将沿方向向下平移1个单位长度得到， 则，， ∴， ∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为， 即的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后所得到的新抛物线的解析式为， 将代入得：， ∴，， 如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点， ∴，四边形和四边形都是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵线段被直线平分，且， ∴的中点的坐标为，且点在直线上， ∴， 解得或， 当时，； 当时，； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质、一次函数的应用、两点之间的距离公式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 25. 在等腰中，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．直线交直线于点． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，点恰好是的中点，连接，求证：； （3）如图3，将在同一平面内沿直线翻折，使得点落在点处，连接，若，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：过点作交于点，过点作交于点． ，， 为等腰直角三角形，，． 是的中点， ． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 又， ． 在和中，， ， ，． 点是的中点， ． ， ． 在和中，， ， ． 是等腰直角三角形，，即， . ， ． ， 是等腰直角三角形， ，故． ，是的中点， ， ． 在等腰中，， ，代入得，即． ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）作构造直角三角形，先利用等腰的性质求出、的长度；结合证得为等腰直角三角形，进而求出、、的长度；最后在中运用勾股定理计算的长． （2）作、，由且，可得为等腰直角三角形，结合是中点推出；利用旋转的性质得、，证明；由是中点且，证得，得出； 结合等腰直角三角形的边长关系，逐步推导得出结论． （3）根据翻折的性质得，确定点是以为圆心、为半径的圆上的动点；利用“两点之间线段最短”，得出、、共线时取得最小值；证明，结合三角函数求出；作垂线构造直角三角形，设未知数求出和的长度，最后代入三角形面积公式计算的面积． 【小问1详解】 解：作交于点，则． 在等腰中，， ，． 是的中点， ． ， ． ，， 是等腰直角三角形， ． ． 在中，由勾股定理得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由翻折的性质可知， ． 是的中点，， ，即点是以为圆心、为半径的圆上的点． 根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，的值最小． 在中，， ． 延长交于点， ，， ． 在和中，， ， ． 由，得， ． 过点作于点，过作于，则为等腰直角三角形， ． 在中，，， ∴， 故． 设，则． 在中，， ，解得． 由，设，则． 的面积． 代入，得． 【点睛】本题核心解题方法为构造辅助线，通过辅助线搭建已知与未知的桥梁；灵活运用旋转、翻折的性质实现线段和角的转化，借助全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质建立边的等量关系；在最短路径问题中精准定位动点轨迹，结合三角函数、勾股定理完成数值计算，充分体现了几何图形“转化”与“构造”的核心解题思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $