重庆九龙坡区2025-2026学年学业质量测评(中学) 九年级(上)数学试题

2025-2026学年学业质量测评（中学） 九年级（上）数学试题 （全卷大题三个，共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确的答案对应的方框涂黑． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B. 成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C. “襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D. 若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 点(−2,1)在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 它的图象经过原点 D. 当x>0时，y随x的增大而减小 6. 下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑥个图形中正方形的个数为（　　） A. 50 B. 48 C. 43 D. 40 7. 如果与关于点对称，且点的对应点依次为点，那么下列说法不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，连接，，，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，此时点刚好落在线段上，已知，则旋转角等于___________度． 12. 如图所示的电路图中，当随机闭合、、，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 _____________________ 13. 某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为___________． 14. 已知关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，且二次函数的图象满足：当时，随的增大而减小．则所有满足条件的整数的和为___________． 15. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧分别交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的和乘以3，正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和倍数数”．比如：，满足，则为“和倍数数”；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的差乘以4，正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差倍数数”．比如：，满足，则为“差倍数数”．那么最小的“差倍数数”(其中是0到9内的整数)是___________；若一个“和倍数数”和一个“差倍数数”的个位数字均为，十位数字均为(，且，为0到9内的整数)，，若为整数时，记，则的最大值为___________． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17-18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 请用合适的方法解方程． （1） （2） 18. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，点为中点． （1）用直尺和圆规完成基本作图：过点作的垂线，分别交，于点和，连接，(不写作法，不下结论，保留作图痕迹)； （2）在（1）所作图形中，猜想四边形的形状，并补全下面的证明过程验证你的猜想． 证明：四边形是平行四边形， ___________①． ． 点为中点， ___________②． 在和中， ， ， ___________．③ 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是④． 19. 为了宣传垃圾分类从我做起活动，某校举行了垃圾分类相关知识竞赛．为了了解初一、初二两个年级学生的掌握情况，现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩均为整数）进行分析，将成绩分为以下4组，A组：，B组：，C组：，D组：．现将数据整理分析如下： 收集数据： 初一年级：61，70，71，72，75，75，75，75，75，76，77，79，79，80，81，83，85，86，87，93 初二年级在B组的成绩为：80，80，81，81，81，82，82，83，83，84，87． 整理数据： 分析数据： 平均数 众数 中位数 初一年级 78 c 78 初二年级 78 81 应用数据： （1）由上表填空：___________，___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对垃圾分类知识掌握的总体水平较好，请说明理由（一条理由即可）； （3）该校初一有1500名学生和初二有2000名学生参加了此活动，请估计两个年级成绩达到80分及以上的学生共有多少人？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在第二象限交于点，且与轴交于点．已知点的横坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）在轴上有一动点，且的面积为3，求点的坐标． 21. 如图，中，，是边上一点，且．是边上的一点，以为直径的经过点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为的弦心距为1，求的周长． 22. 某文具店以相同进价购进两批笔记本，第一批本，每本元出售；第二批本，每本元出售，两批笔记本全部售罄后，文具店共获利元． （1）求笔记本的进价是每本多少元？ （2）该文具店又以相同进价购进第三批笔记本本，计划两天卖完．第一天将笔记本涨价至每本元销售，仅卖出本；第二天，文具店决定在第一天售价的基础上降价促销，若每降价元，第二天的销量在第一天销量的基础上增加本；到闭店时，仍有部分笔记本未售出，店主将剩余笔记本赠予学校，第三批笔记本的利润恰好为元，求未售出的笔记本共有多少本？ 23. 如图，在矩形中，，，动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动．动点同时以每秒个单位长度从点出发，沿方向运动，当点到达点时，点，同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点，的运动时间均为秒，记的面积为，点到直线的距离为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标． 25. 在等腰中，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．直线交直线于点． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，点恰好是的中点，连接，求证：； （3）如图3，将在同一平面内沿直线翻折，使得点落在点处，连接，若，当取最小值时，请直接写出的面积． 2025-2026学年学业质量测评（中学） 九年级（上）数学试题 （全卷大题三个，共150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确的答案对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 【11题答案】 【答案】39 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：（本大题共9个小题，第17-18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【17题答案】 【答案】（1） ， （2） ， 【18题答案】 【答案】（1） 过点作的垂线如图所示． （2）①；②；③；④菱形 【19题答案】 【答案】（1）60，6，75，81 （2）初二年级的学生对垃圾分类知识掌握的总体水平较好， 因为从中位数看，初二学生的成绩高于初一学生的成绩； （3）估计两个年级成绩达到80分及以上的学生约有1825人． 【20题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）或 【21题答案】 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵是⊙的半径，且， ∴是⊙的切线； （2） 【22题答案】 【答案】（1） 元 （2） 本 【23题答案】 【答案】（1） （2）根据题意可知，当时，点和在关于的函数图象所在的直线上，连接这两个点，即可作出时关于的函数图象；同理，可作出时，关于的函数图象．根据，列表如下，描点作图即可． ，的图象如图所示．当时，的值随的增大而减小． （3） 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【25题答案】 【答案】（1） （2） 证明：过点作交于点，过点作交于点． ，， 为等腰直角三角形，，． 是的中点， ． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 又， ． 在和中，， ， ，． 点是的中点， ． ， ． 在和中，， ， ． 是等腰直角三角形，，即， . ， ． ， 是等腰直角三角形， ，故． ，是的中点， ， ． 在等腰中，， ，代入得，即． ， ； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $