安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三上学期2月期末数学试题

高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={-2,-1,0,3},B={x|a<x<4},若A⊆B,则a的取值范围是 A.[-2,4) B.(-2,4) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2] 2.在一次数学测试中,某校学生的数学成绩与人数占比如下表所示: 分数段 占比 0-90 40% 90-120 30% 120-135 20% 135-150 10% 如果学生A在这次测试中数学得了110分,那么学生A的成绩可能是 A.第40百分位数 B.第60百分位数 C.第75百分位数 D.第80百分位数 3.已知函数f(x)=为奇函数,则实数a= A.-1 B.1 C.0 D.2 4.已知l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则 A.m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β B.m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α C.α∩β=l,m∥α,m∥β⇒m∥l D.m⊥n,m⊥α,α⊥β⇒n⊥β 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且{Sn}为递减数列,若a7=-5,则d的取值范围是 A.0, B.(-1,0) C.(-1,0] D.-,0 6.在△ABC中,AC=3,AB=2,BD=2DC,则= A. B.2 C.3 D. 7.已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为28π,则该三棱柱的表面积为 A.3+36 B.6+36 C.3+12 D.6+12 8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是圆O:x2+y2=a2+b2与双曲线C的一个公共点,∠PF2F1=,则双曲线C的离心率为 A.2 B.2 C. D.+1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9.已知虚部不为0的复数z1,z2互为共轭复数,则 A.z1+z2是实数 B.z1-z2是纯虚数 C.=z1z2 D.|z1|=|z2| 10.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,经过点F且倾斜角为α的直线l与抛物线C交于A,B两点,E(2,2),O为坐标原点,则下列说法正确的是 A.|AB|的最小值为4 B.△AEF的周长的最小值为4 C.若α=,则|AB|=8 D.若|AF|=4,则α= 11.对于x∈[0,1],f(x)满足f(x)+f(1-x)=2,f(x)=2f,且对于0≤x1≤x2≤1,恒有f(x1)≤f(x2),则 A.f=11 B.f=1 C.f(x)在[0,1]上单调递增 D.≤f≤ 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知向量a与b满足|a|=4,|b|=3,向量a与b的夹角为,a⊥(a-λb),则实数λ=　　　　.  13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且an+1=p+(q-1)Sn(q≠0),则p=　　　　.  14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ为常数)的图象如图所示(图象经过点,-1),则正整数ω=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)随着移动互联网技术的发展,直播带货已经成为一种热门的销售方式,某电商直播带货后从7月份到11月份每个月线上的销售量yi(万件)(i=1,2,3,4,5)的数据如下所示: 月份 7 8 9 10 11 月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y 2.2 2.5 2.7 3.1 3.5 (1)从这5个月中随机选取3个月,记月销售量不少于3万件的月份的个数为X,求随机变量X的分布列及期望E(X); (2)利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程,并预测当年12月份的月销售量. 附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 =,=-,xiyi=45.2. 16.(15分)已知函数f(x)=e2x+aex-2x2,f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为3x-y+b=0. (1)求实数a,b的值; (2)证明:当x≥0时,f(x)≥b. 17.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为边长为2的正三角形,PA⊥AC,PB=PC. (1)证明:平面PAB⊥平面ABC. (2)若二面角P-BC-A的大小为30°,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 18.(17分)已知直线l:y=(1-x)经过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F2和上顶点. (1)求E的方程; (2)点P(m,n)是E上的任意一点,直线PF2与直线3mx+4ny=0相交于点Q,求|PQ|的值. 19.(17分)设k是正整数,A是N*的非空子集(至少有两个元素),如果对于A中的任意两个元素x,y,都有|x-y|≠k,则称集合A具有性质P(k). (1)试判断集合B={5,10,15,20}和C={2,4,8,16}是否具有性质P(10),并说明理由. (2)若A={a1,a2,…,a12}⊆{1,2,…,20},证明:A不可能具有性质P(3). (3)若A⊆{1,2,…,241},且A具有性质P(4)和P(7),求A中元素个数的最大值. 参考答案 1.C 【解题分析】因为A⊆B,所以a<-2. 2.B 【解题分析】由表可知110分位于分数段90-120,故学生A的成绩可能是第60百分位数. 3.C 【解题分析】因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,化简得2x(x-a)=2x(x+a),所以x2-ax=x2+ax,a=0. 4.C 【解题分析】对于A,面面平行的判定定理要求m,n相交,若m∥n,则α,β可能相交,故A错误; 对于B,线面垂直的判定定理要求m,n相交,若m∥n,则推不出l⊥α,故B错误;C正确; 对于D,n与β可能平行,故D错误. 5.C 【解题分析】因为{an}为等差数列,且a7=-5,所以an=-5+(n-7)d.又数列{Sn}为递减数列,所以{an}从第二项开始,各项均为负数.由a2=-5+(2-7)d<0,得d>-1.因为an<0(n≥2)恒成立,所以数列{an}为常数数列或递减数列,所以d≤0.综上,d∈(-1,0]. 6.C 【解题分析】由正弦定理得=,=,因为∠ADB=π-∠ADC,所以sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC, 所以==,所以==3. 7.B 【解题分析】设外接球的半径为r,则4πr2=28π,解得r=.设正三棱柱的底面边长为a,根据题意可知侧棱长为a,则×a2+a2=r2, ∴a2=7,∴a2=12,则该三棱柱的表面积为2××a×a+3a2=×12+3×12=36+6. 8.D 【解题分析】因为点P在圆O:x2+y2=a2+b2上,所以PF1⊥PF2.因为∠PF2F1=,所以|PF1|==c,|PF2|=c.根据双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a,所以c-c=2a,则==+1,故双曲线C的离心率为+1. 9.ABD 【解题分析】设z1=a+bi,z2=a-bi(a,b∈R,且b≠0),则z1+z2=2a∈R,z1-z2=2bi,故A,B项正确;因为=a2-b2+2abi,z1z2=a2+b2,所以C项错误;因为|z1|==|z2|,所以D项正确. 10.AC 【解题分析】易知当α=0时,|AB|取得最小值,最小值为2p=4,A项正确;抛物线C的焦点为F(0,1),过点A作抛物线C的准线的垂线,垂足为Q,△AEF的周长为|AE|+|AF|+|EF|=|AE|+|AQ|+|EF|,当A,E,Q三点共线时,△AEF的周长取最小值,最小值为3+,B项错误;若α=,则lAB:y=x+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x,得y2-6y+1=0,y1+y2=6,|AB|=y1+y2+2=8,C项正确; 因为|AF|=y1+1=4,所以y1=3,x1=±2,则tan α==±,故α=或α=,D项错误. 11.ABD 【解题分析】将x=0代入f(x)+f(1-x)=2及f(x)=2f,得f(0)+f(1)=2, f(0)=2f(0),所以f(0)=0,f(1)=2.将x=代入f(x)+f(1-x)=2,得f=1, 得f=f1-=f+f1-=11,A正确; 由f(1)=2f,得f=1,因为对于0≤x1≤x2≤1,恒有f(x1)≤f(x2),f=f=1,所以当x∈,时,f(x)=1,故f=1,B项正确,C项错误; f=f=,f=f=,f=f=,因为f≤f≤f,所以≤f≤,D项正确. 12. 【解题分析】由题可知a·b=|a||b|cos=4×3×=6, 因为a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=a2-λa·b=0,λ===. 13.2 【解题分析】∵an+1=p+(q-1)Sn,∴当n≥2时,an=p+(q-1)Sn-1, 以上两式相减,得an+1-an=(q-1)an,即an+1=qan(n≥2). 又∵an+1=p+(q-1)Sn,∴当n=1时,a2=p+(q-1)S1=p+2(q-1)=2q+p-2, 又a2=qa1=2q,所以p=2. 14.3 【解题分析】根据图象知<<,又T=,所以<<,得到<ω<.又ω是正整数,所以ω=3. 15.【解题分析】(1)因为月销售量不少于3万件的月份有2个,所以X的所有可能取值为0,1,2, P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×+1×+2×=. 6分 (2)因为=3,==2.8,=55, 所以====0.32, =-=2.8-0.32×3=1.84,故y关于x的经验回归方程为=0.32x+1.84, 又当年12月份对应的月份代码为6,所以=0.32×6+1.84=3.76, 所以预测当年12月份的月销售量为3.76万件. 13分 16.【解题分析】(1)因为f'(x)=e2x+aex-4x,所以f'(0)=a+1,由题可知a+1=3,解得a=2,则f(x)=e2x+2ex-2x2,f(0)=+2=,故f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y-=3x,即3x-y+=0,所以b=. 7分 (2)令g(x)=f(x)-b=e2x+2ex-2x2-(x≥0),则g'(x)=e2x+2ex-4x,令h(x)=e2x+2ex-4x(x≥0),则h'(x)=2e2x+2ex-4=2(ex-1)(ex+2),因为x≥0,所以ex≥1,h'(x)≥0,h(x)单调递增,g'(x)≥g'(0)=1+2-0=3>0,可知g(x)单调递增,g(x)≥g(0)=+2-0-=0,即f(x)≥b,得证. 15分 17.【解题分析】(1)取BC的中点D,连接AD,PD,因为△ABC为边长为2的正三角形,所以AD⊥BC.因为PB=PC,所以PD⊥BC.因为PD∩AD=D,所以BC⊥平面PAD, 因为PA⊂平面PAD,所以PA⊥BC.因为PA⊥AC,AC∩BC=C,所以PA⊥平面ABC.因为PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC. 6分 (2)由(1)知AD⊥BC,PD⊥BC,可得二面角P-BC-A的平面角为∠PDA,则∠PDA=30°.因为△ABC为边长为2的正三角形,所以AD=,则PA=ADtan 30°=1.过点D作直线l∥AP,分别以DA,DB所在直线为x轴,y轴,l为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,0,0),P(,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0), =(0,2,0),=(-,1,-1),=(-,1,0). 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), 则⇒ 令x=1,则y=0,z=-,m=(1,0,-). 因为cos<m,>===-, 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为. 15分 18.【解题分析】(1)在直线l的方程y=(1-x)中,令x=0,得y=,令y=0,得x=1, 所以b=,a==2,所以E的方程为+=1. 6分 (2)因为点P(m,n)是E上的任意一点,所以3m2+4n2=12. ①当m=1时,P1,或P1,-. 当点P的坐标为1,时,直线PF2与直线x+2y=0相交于点Q1,-,此时|PQ|=2. 当点P的坐标为1,-时,直线PF2与直线x-2y=0相交于点Q1,,此时|PQ|=2. ②当m≠1时,直线PF2的方程为y=(x-1), 由可得所以Q,, 所以|PQ|2=m-2+n-2=2+2 =2+2== ===4,所以|PQ|=2. 综上所述,|PQ|=2. 17分 19.【解题分析】(1)因为B={5,10,15,20},又5∈N*,10∈N*,15∈N*,20∈N*, 但|20-10|=|15-5|=10,所以集合B不具有性质P(10). 因为C={2,4,8,16},又2∈N*,4∈N*,8∈N*,16∈N*, 但|4-2|=2,|8-2|=6,|16-2|=14,|8-4|=4,|16-4|=12,|16-8|=8, 所以集合C具有性质P(10). 4分 (2)将集合{1,2,…,20}中的元素分为如下11个集合: {1,4},{2,5},{3,6},{7,10},{8,11},{9,12},{13,16},{14,17},{15,18},{19},{20}. 要从集合{1,2,…,20}中选取12个元素,则前9个集合至少要选10个元素, 所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合,即存在两个元素的差为3, 所以A不可能具有性质P(3). 10分 (3)先说明连续11项中集合A中最多选取5项,以1,2,3,…,11为例. 构造抽屉{1,8},{2,9},{3,10},{4,11},{5},{6},{7}. ①5,6,7同时选,因为具有性质P(4)和P(7),所以选5则不选1,9,选6则不选2,10, 选7则不选3,11,则只剩4,8.故1,2,3,…,11中属于集合A的元素不超过5个. ②5,6,7中选2个,若只选5,6,则1,2,9,10,7不可选,又{4,11}中只能选1个元素,3,8可以选(4与8不能同时选),故1,2,3,…,11中属于集合A的元素不超过5个. 若选5,7,则只能从2,4,8,10中选,但4,8不能同时选,故1,2,3,…,11中属于集合A的元素不超过5个. 若选6,7,则2,3,10,11,5不可选,又{1,8}中只能选1个元素,4,9可以选,故1,2,3,…,11中属于集合A的元素不超过5个. ③5,6,7中选0个或只选1个,又四个集合{1,8},{2,9},{3,10},{4,11}每个集合至多选1个元素,故1,2,3,…,11中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知,连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个,如取1,4,6,7,9. 因为241=21×11+10,则把每11个连续自然数分组,前21组每组至多选取5项. 从232开始,最后10个数至多选取5项,故集合A的元素最多有22×5=110个. 给出如下选取方法:从1,2,3,…,11中选取1,4,6,7,9,然后在这5个数的基础上每次累加11,构造21次.此时集合A中的元素为1,4,6,7,9,12,15,17,18,20,23,26,28,29,31,…,232,235,237,238,240,共有110个元素,经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 17分 ( 第 3 页 共 10 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $