精品解析：云南昆明市外国语学校禄劝分校(禄劝民族中学)2025～2026学年高二上学期期末模拟考试数学试题

昆明市外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学） 2025~2026学年高二上学期期末模拟考试 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 6. 某博物馆是唯一一家集自然、历史、社教为一体的省级综合类博物馆．博物馆配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前4个小时消除了的污染物，那么前8个小时消除了污染物的（ ） A. B. C. D. 7. 已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 已知直线与抛物线相交于、两点，过线段的中点作一条垂直于轴的直线与直线交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 C. 图象的一个对称中心为点 D. 的单调递增区间为 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 11. （多选题）已知点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则的方程为和 B. 线段的长度的最小值为 C. 四边形的面积的最小值为 D. 直线过定点 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足：，，则________. 13. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______. 14. 若函数有个零点，则实数的取值范围是___________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若，边中线长为2，求的面积． 16. 一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的成绩在这一组的概率． 17. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2026项和． 18. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，点是棱上靠近端的三等分点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上位于轴同侧的两点，且直线与直线平行，若直线的斜率为1，求的长度； （3）设直线过点且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市外国语学校禄劝分校（禄劝民族中学） 2025~2026学年高二上学期期末模拟考试 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第3页，第II卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法将集合表示出来，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】， 因为， 所以. 故选：B． 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据复数的运算结合复数相等的条件，列式即可求解. 【详解】设，则， 由，得， 则，解得，即， 所以的虚部为1. 故选：A． 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数及对数函数的单调性判断大小关系，即可得. 【详解】因为， 因为在上单调递增， 所以，即； 因为在上递增， 所以， 所以，即， 所以. 故选：D 5. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，由等比数列下标和性质可求得结果. 【详解】是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 6. 某博物馆是唯一一家集自然、历史、社教为一体的省级综合类博物馆．博物馆配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）．如果前4个小时消除了的污染物，那么前8个小时消除了污染物的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入得到，再将代入求得，用即可求出答案. 【详解】由题意可得，解得， 则经过8个小时，废水的污染物数量为， 所以前个小时消除了污染物的. 故选：B． 7. 已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知直线过定点，结合圆的性质分析的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，即， 可知直线过定点， 则，可知点在圆内， 当且仅当时，取到最小值. 故选：C. 8. 已知直线与抛物线相交于、两点，过线段的中点作一条垂直于轴的直线与直线交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，可求出点的坐标，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】联立，解得或 即点、， 因为为线段的中点，则点，则， 所以的面积为. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 C. 图象的一个对称中心为点 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合周期公式可判断A；利用平移变换和偶函数定义可判断B；代入验证可判断C；利用整体代入法求单调递增区间可判断D. 【详解】对于A，由题意得， 所以的最小正周期，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的解析式为： ， 因为，所以该函数不是偶函数，故B错误； 对于C，因为，所以图象的一个对称中心为点，故C正确； 对于D，由，解得， 所以的单调递增区间为，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，数列是首项为9,公差为-3的等差数列，由此求得其通项公式和前n项和公式，并对选项逐一判断即可. 【详解】因为，所以，又所以数列是首项为9,公差为-3的等差数列. 记公差为d,则,所以,. 选项A：.所以选项A正确. 选项B：因为公差为-3，所以数列是递减数列.所以选项B错误. 选项C：当，即.所以选项C正确. 选项D：,所以在时单调递增，在时单调递减.因为,所以当或时，取得最大值，最大值为18.所以选项D正确. 故选：ACD. 11. （多选题）已知点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则的方程为和 B. 线段的长度的最小值为 C. 四边形的面积的最小值为 D. 直线过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，利用圆心到切线的距离等于半径求出切线斜率，进而得到切线方程；对于选项B，根据切线长公式，结合点到直线的距离公式求出切线长的最小值；对于选项C，根据四边形面积与切线长的关系，结合切线长的最小值求出四边形面积的最小值；对于选项D，先求出以为直径的圆的方程，再与圆的方程相减得到直线的方程，最后根据直线方程求出定点坐标. 【详解】对于A，圆的圆心，半径，由， 若切线的斜率不存在，可得方程为，与圆心的距离为2，成立； 若切线的斜率存在，设方程为，即， 由直线和圆相切的条件可得，解得， 所以切线方程为，故A错误； 对于B，由切线的性质可得切线长， 而的最小值为到直线的距离， 则的最小值为，故B正确； 对于C，四边形的面积为，故C错误； 对于D，设，由四点共圆，且以为直径，其方程为， 与圆方程，相减可得，即， 由，解得，即恒过定点，故D正确. 故选：BD 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足：，，则________. 【答案】21 【解析】 【分析】根据数列的递推公式求数列的项即可. 【详解】由题意：，，. 故答案为：21 13. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,， 圆 的圆心 , 半径为2， 双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ， 可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ， 可得 ， 即 . 故答案为：2. 14. 若函数有个零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的解析式可知，若函数有个零点，则在上有一个零点，在上有两个零点，在和分别讨论即可求出答案. 【详解】函数为增函数，至多一个零点， 函数为二次函数，至多两个零点， 所以若函数有3个零点，可得在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，令，得， 因为，故，即当时，在上有一个零点， 当时，令， 此时一元二次方程有2个正根， 则，解得， 综上，的取值范围是． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角； （2）若，边中线长为2，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式及诱导公式得到，根据的范围即可得答案； （2）由题意得，两边同时平方可得，再根据余弦定理可得，两式联立求出，再根据三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由，可得， 由正弦定理得，， 即， 即． 又由于， 所以， 又因为，所以， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 如图， 由题意可得， 将等式两边平方得， 因为，， 所以， 由余弦定理得， 因为，所以， 联立，解得， 可得． 16. 一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，以及样本的平均数； （2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的成绩在这一组的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图的性质即可求出，利用由频率分布直方图估计平均数的公式即可求出平均数； （2）根据分层抽样求出成绩在和的人数，利用列举法，根据古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为1， 所以， 解得， 则平均数为. 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数与的人数之比为， 现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 所以从成绩在的人中抽取4人，分别记为，从成绩在的人中抽取2人，分别记为， 所有可能的情况为 ，共种， 其中至少有1人的成绩在的情况有 ，共种， 故抽取的2人中至少有1人的成绩在这一组的概率． 17. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2026项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息得，根据等比数列的通项公式用表示，求出，结合等比数列的通项公式即可求解； （2）求出，利用裂项相消法即可求出答案. 【小问1详解】 因为是和的等差中项， 则， 设数列的公比为， 则， 又，所以，解得或（舍）， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 则， 所以 . 所以． 18. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，点是棱上靠近端的三等分点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以，， 又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 又，所以， 因为平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量法即可证明； （2）利用点到平面距离的向量求法即可求出答案； （3）求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 则点到平面的距离为． 【小问3详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 ， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上位于轴同侧的两点，且直线与直线平行，若直线的斜率为1，求的长度； （3）设直线过点且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息求出，即可得到答案； （2）延长交椭圆于点，根据对称性得，所以，联立椭圆方程与直线方程，利用弦长公式求即可得解； （3）直线，联立直线方程与椭圆方程，求得的面积，令，则，借助于对勾函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的定义可得，则， 设椭圆的半焦距为，因为，所以， 则， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 如下图，延长交椭圆于点，由对称性可知， ， 所以， 因为直线的斜率为1，且，则直线的方程为， 设， 联立，消得， 所以，， 所以， 所以的长度为． 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率存在，又直线经过， 设直线，，， 如图， 联立，消得， ， 令， 则， 又因为在单调递增， 所以当时，取最小值，面积取最大值， 此时，，即， 所以面积最大时，直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $