精品解析：天津市微山路中学2025-2026学年高一上学期12月份综合练习数学试题

高一年级12月份综合练习数学 一、单选题 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助函数单调性，分别解两个不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为函数在定义域上单调递增，所以由得， 因为函数在定义域上单调递增，所以由得， 若成立，则不一定成立，充分性不成立， 若成立，则一定成立，必要性成立， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数及单调性列出满足的条件求解即可. 【详解】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以，解得， 故选：A 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数函数性质分析当时，，判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断结论. 【详解】当时，，所以， 故，所以函数在上没有零点， 设，且， 则， 故，， 所以，故函数在上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 4. 已知 ，则， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性，确定的范围，由此比较大小即可. 【详解】因为函数为减函数，， 所以，即， 因为函数为增函数，， 所以，即， 因为为增函数，， 所以，即， 所以. 故选：C. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数值的符号以及单调性分析判断即可. 【详解】当时，，可得，故BC错误； 当时，可知在内单调递减，故D错误； 故选：A. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质化简即可. 【详解】因为， 所以 ， 故选：A. 7. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数过定点求出，再由三角函数的定义求出，代入计算即可. 【详解】由题意可得， 因为点A在角的终边上，所以， 所以. 故选：D. 8. 设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数，求出其单调递增区间，再结合集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，则，解得， 所以a的取值范围为. 故选：D. 9. 已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的零点分布可得，解不等式组即可求解. 【详解】二次函数的图象是一条抛物线， 开口向上，对称轴方程为， 若它的两个零点都在区间内， 只需满足，解得. 所以的取值范围为. 故选：C. 二、填空题 10. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】偶次根式被开方数不为负数，分母不为0，真数大于0，根据这些条件列出的不等式组，则此不等式组的解就是函数的定义域． 【详解】要使函数有意义 所以解得 函数的定义域为． 11. 已知幂函数的图象过点，函数的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】由点在图象上，应用待定系数法求解析式. 【详解】由题设，则. 故答案为： 12. 若扇形所对圆心角为2rad，且该扇形面积为 1cm²，那么该扇形的弧长为_____ cm. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式和弧长公式求解即可. 【详解】设弧长为，半径为，则，所以. 故答案为： 13. 的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求得结果. 【详解】 故答案为： 14. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】将指数式变为对数式，求出的值，然后利用换底公式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 所以， 故答案为：1. 15. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用函数单调性计算即可得. 【详解】令，则在上单调递增， 又，则不等式可化为， 故，即不等式的解集为. 故答案为：. 三、解答题 16. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则与对数恒等式化简运算即可； （3）根据对数运算法则结合对数恒等式与指数运算性质化简计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 17. 已知函数且，为实数. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 奇函数，证明：， 因为，解得，所以的定义域为， ， 所以为奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据结合对数的运算即可求解； （2）首先求出的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （3）利用换元法求出的范围，再利用一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， 令，，则， 因为在单调递减，在单调递增， 所以在单调递减. 因为，令， 则， 因为对任意，恒成立， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 18. 某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置. （1）正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？ （2）某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常. 附：，. 【答案】（1） （2）不正常 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，代入，整理结果并取自然对数得，再代入值求解即可. （2）求出两个阶段后的污染物含量的正常值，再跟污染物含量为对比即可. 【小问1详解】 令并代入，得，等式两边同取自然对数得，整理得 ∵， ∴， 所以污染物含量降低到初始值的一半大约需要. 【小问2详解】 由题知，先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，正常情况下，此时污染物含量应该为， ∵， ∴，所以； 因为，故当天废气处理系统的运行不正常. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级12月份综合练习数学 一、单选题 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，则， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 7 D. 8. 设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 函数的定义域为________． 11. 已知幂函数的图象过点，函数的解析式为______. 12. 若扇形所对圆心角为2rad，且该扇形面积为 1cm²，那么该扇形的弧长为_____ cm. 13. 的值为__________. 14. 已知，则______． 15. 不等式的解集为______. 三、解答题 16. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）. 17. 已知函数且，为实数. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若任意，恒成立，求实数的取值范围. 18. 某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置. （1）正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？ （2）某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常. 附：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $