精品解析：上海大学市北附属中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

上海大学市北附属中学2025学年第一学期期末考试 高二数学试卷 （2026.1） 答题时间：120分钟，满分：150分 一．填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 若一个球的体积是，则这个球的表面积是______． 2. 已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为________． 3. 某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环，数据均为整数）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为___________． 4. 同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率为___________. 5. 甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 6. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 7. 将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有__________种不同排法. 8. 已知空间向量，，，且，则 _____. 9. 从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______． 10. 若展开式中的系数与的系数相等，则__________. 11. 某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是______________． 12. 空间中有三个点，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种. 二．选择题（本大题共4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ） A. 3个都是男生 B. 至少有1个男生 C. 3个都是女生 D. 至少有1个女生 14. 如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是（ ） A. 利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元 B. 利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元 C. 收入最少的月份的利润也最少 D. 收入最少的月份的支出也最少 15. 已知、为两条不重合直线，、为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 16. 为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 三．解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 若，其中. （1）求的值； （2）求. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求证：平面． 19. 甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． （1）求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； （2）若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 20. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a、b的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 21. 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． （1）顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； （2）顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海大学市北附属中学2025学年第一学期期末考试 高二数学试卷 （2026.1） 答题时间：120分钟，满分：150分 一．填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 若一个球的体积是，则这个球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合体积求得球的半径，进而可求球的表面积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以这个球的表面积为. 故答案为：. 2. 已知圆柱的底面半径为3，高为4，则该圆柱的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的展开图和侧面积公式计算即可. 【详解】因为圆柱的侧面展开图为矩形，宽为圆柱的高，长为圆柱底面圆的周长， 所以该圆柱的侧面积为. 故答案为：. 3. 某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环，数据均为整数）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为___________． 【答案】97.1 【解析】 【分析】由茎叶图得到全部数据，然后由平均数的定义求得结果. 【详解】这组数据为：83,91,95,97,97,98,100,101,102,107， 所以这组数据的平均数为， 故答案为：97.1 4. 同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先列出随机试验的样本空间，确定基本事件总数，事件向上的点数之和为5所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求出向上的点数之和为5的概率． 【详解】随机试验连续抛掷两枚骰子的样本空间包含下列基本事件：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件，向上的点数之和为5包含的基本事件有4个，分别为： （1，4），（4，1），（2，3），（3，2）， 向上的点数之和为5的概率． 故答案为： 5. 甲、乙两人下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.8，则他们下成和棋的概率为________． 【答案】0.4 【解析】 【分析】设事件，分析事件的关系，即可求得结果. 【详解】“甲获胜”为事件，“甲、乙和棋”为事件， 则，∴ 所以 故答案为：0.4 6. 已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到，再利用正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故答案为：. 7. 将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有__________种不同排法. 【答案】12 【解析】 【分析】利用捆绑法，先将甲乙看成一个整体，再与剩余学生排列. 【详解】先将甲乙看成一个整体，共有种不同排法， 再与剩余学生排列，共有种不同排法， 所以共有种不同排法. 故答案为：12. 8. 已知空间向量，，，且，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用向量的垂直得出，，，再将平方即可求解. 【详解】，，，，，， ， ， . 故答案为：. 9. 从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______． 【答案】144 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 10. 若展开式中的系数与的系数相等，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用二项式定理及已知有，再解组合数方程求解. 【详解】由题设，，且，， 由题意，即，则， 所以，可得. 故答案为：8 11. 某批产品来自两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为． 现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品来自生产线”，“抽到的产品是次品”，则， ． 故答案为： 12. 空间中有三个点，且，在空间中任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有______种. 【答案】9 【解析】 【分析】分类讨论. 第一类为当为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面的同侧，；第二类当为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面的异侧. 【详解】如图所示，有两种情况： ①当为四棱锥的一个侧面时，其余两点在平面的同侧，若为底面棱有两种（平面左右两侧各一组），同理为底面棱时有各两种，故共有6种； ②当为四棱锥的一个对角面时，其余两点在平面的异侧，若为底面对角线则有一组，同理为底面对角线各有一组，故共有3种； 综上所述，共有9种. 故答案为：9 二．选择题（本大题共4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ） A. 3个都是男生 B. 至少有1个男生 C. 3个都是女生 D. 至少有1个女生 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解． 【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B． 14. 如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的差，即利润＝收入－支出，则下列说法正确的是（ ） A. 利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元 B. 利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元 C. 收入最少的月份的利润也最少 D. 收入最少的月份的支出也最少 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形统计图中的数据逐个分析判断即可. 【详解】对于AB，由统计图知1至12月份的利润分别为10，10，15，10，10，10，10，5，10，15，10，10万元， 所以利润最高的月份是3月份和10月份，利润最低的月份是8月份，所以AB错误， 对于C，由统计图可知收入最少的月份为5月份，而利润最低的月份是8月份，所以C错误， 对于D，由统计图可知收入最少的月份为5月份，支出最少的月份也为5月份，所以D正确. 故选：D 15. 已知、为两条不重合直线，、为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面关系、面面位置关系结合充分条件的定义判断可得出结论. 【详解】对于A选项，因为，，，则与可能平行，也可能相交，因此A中条件不是的充分条件； 对于B选项，因为，，所以，结合，知，因此B中条件是的充分条件； 对于C选项，由，知或，结合， 知与可能平行，也可能相交，因此C中条件不是的充分条件； 对于D选项，由，知或，结合，知， 所以D中条件不是的充分条件． 故选：B． 16. 为研究不同性别学生对“deep seek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deep seek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解deep seek的学生的人数为X，则当取得最大值时的（）值为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，，抽取男生和女生各50名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令，解得， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：B 三．解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 若，其中. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，列式即可求得. （2）利用赋值法，令代入计算即可求得. 【小问1详解】 因为展开式的通项为， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，令，得， 令，得， 所以 . 18. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱的中点． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）证明： 连接，与交于点， 则为中点，又为中点， ∴，又平面，不在平面内， ∴平面． 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，从而得到异面直线与所成角的平面角，然后由余弦定理求得结果； （2）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行. 【小问1详解】 取中点，连接， ∵是的中点，∴，∴就是异面直线与所成的角（或其补角）， 在△中，，，所以异面直线与所成的角的大小为； 【小问2详解】 略. 19. 甲、乙、丙三名射击运动员进行射击比赛，比赛中甲、乙、丙三人各射击一次．已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，丙中靶的概率为．假设比赛中三人射击的结果互不影响． （1）求甲、乙两人恰好有一人中靶的概率； （2）若甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分解互斥情况，再利用独立事件的乘法公式计算每种情况的概率，最后计算求和； （2）利用对立事件概率公式结合已知条件列方程求解． 【小问1详解】 甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，甲、乙互不影响， “甲、乙恰有一人中靶”包括两种情况：①甲中乙不中，；②乙中甲不中，， “甲、乙恰有一人中靶”的概率为． 【小问2详解】 “甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶”的对立事件为“甲、乙、丙三个人均未中靶”，设“甲、乙、丙三个人均未中靶”的概率为， 则， 甲、乙、丙三个人中至少有一人中靶的概率为， ，即，化简得，解得． 20. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a、b的值； （2）从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1），； （2）； （3）平均数为88，方差为19. 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图，应用频率和为1及等比中项性质列方程求参数； （2）根据分层抽样的等比例性质有来自的分别为2人、5人，结合组合数及古典概型的概率求法求概率； （3）由平均数、方差公式求剔除数据后的平均数和方差. 【小问1详解】 由题设，且， 所以且，故， 所以，. 【小问2详解】 由题图知：在两个小组内的学生人数比为， 所以抽取7名学生中，来自的分别为2人、5人， 随机选出2人，两人恰好来自不同小组的概率. 【小问3详解】 由题设得，， 假设剔除的两个为，则平均值为， 此时方差为. 21. 为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． （1）顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； （2）顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 【答案】（1） （2） ①实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为； ②选择方案 【解析】 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，求解在第一次摸到红球后，从7个球中不放回摸2个球的情况和摸出两球为红球和一红一蓝两种情况的种数，即可求解； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，由二项分布即可求解；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，根据超几何分布求得均值，比较随机变量和的均值即可判断. 【小问1详解】 设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球， 享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况， 从7个球中不放回摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种， 摸出1红1蓝的情况有种， 所以； 【小问2详解】 ①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元， 从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为 ； ②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以， 所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理. 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