精品解析：江苏省常州市2026届高三第一学期期末质量调研数学试题

常州市2025-2026学年第一学期高三期末质量调研 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合间的子集运算性质求解． 【详解】由，得或， 得或， 经检验，不合题意，故实数的取值集合为， 故选：C 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，不妨取,,此时,所以不能推出， 若等价于,因为，所以, 即能推出, 综上，“”是“”的必要且不充分条件， 故选：B 3. 现有位同学参加劳动操作技能比赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前位的同学才能进入决赛．若参加该比赛的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这位同学的预赛积分的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】利用中位数的概念判断即可. 【详解】因为位同学积分，中位数是第名，所以知道中位数即可判断是否在前名. 故选：B. 4. 已知两个非零向量．若，则锐角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为两个非零向量．且， 所以，因为不为0， 所以,则锐角， 故选:A 5. 某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的性质可得，，从而得出的最大值. 【详解】因为产品质量指标服从正态分布，， 且质量指标介于96至104之间的产品为良品，良品率达到99.73%， 所以，， 解得， 所以不超过， 故选：D 6. 已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 7. 在半径为2的圆中，弧所对的圆心角为为弧上异于的点，过作的垂线，垂足为．若的面积大于，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用三角形的面积公式，列不等式，结合三角恒等变换的化简解得，解三角形即可. 【详解】如图，设， ， ，则， . 当时，为等边三角形，所以； 当时，为等腰三角形， 由余弦定理得 ， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 8. 棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值， 作出对角线及球心，所在的截面，建立对角线与两个球的半径的等量关系式即可求解. 【详解】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值， 设正方体为，球，的半径分别为，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图所示， 正方体的棱长为，， 在直角中，， ，， ，， ， ，解得， 即正方体的棱长的最小值为， 所以 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 任意正整数，展开式的各项系数的和恒为0 B. 存在正整数，使得展开式中含有常数项 C. 若，则该展开式中二项式系数和为32 D. 若，则该展开式中的系数为10 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项式定理逐项计算判断即可. 【详解】对于A，令，则，所以任意正整数，展开式的各项系数的和恒为0， 所以A正确； 对于B，展开式的通项为. 令指数为0，即，解得. 当时，，满足条件，此时展开式中含有常数项，B正确； 对于C，二项式系数和为，当时，和为，C错误； 对于D， 当时，通项为. 令，解得，代入系数为，D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简得，然后逐个分析判断即可 【详解】 ， 对于A项，根据周期公式可得的周期为.所以A项正确； 对于B项，，得， 而在上单调递减，则在区间上单调递减，故B项错误； 对于C，D项，，的图象关于直线对称，故D项正确，C项错误， 故选:AD 11. 已知数列的前项和满足（为常数），且，若，则（ ） A. B. 等差数列 C. 有最小值 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由化简得出，可求出的值，可判断A选项；当时，由得，两式作差结合等差数列的定义可判断B选项；分、两种情况讨论，结合等差数列单调性可判断C选项；利用可得出，代入，参变分离得出，求出的范围可判断D选项. 详解】对于A选项，由题意，整理可得，解得，A错； 对于B选项，由A选项可知，所以， 当时，由①，得②， ①②得，化简得， 所以数列是公差为的等差数列，B对； 对于C选项，当时，由于数列为递增数列， 由，可得， 取（其中为不超过的最大整数）， 则当时，，当时，，此时为的最小值； 当时，对任意的且，，此时数列单调递增，为的最小值， 综上所述，有最小值，C对； 对于D选项，因为，可得， 由得，所以， 即，可得对任意的恒成立， 故，D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，然后由可求得结果. 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以， 所以离心率， 故答案为： 13. 已知复数的模长，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数的图象上存在6个不同的点，使得每个点的横坐标都满足，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为有三个不等的正根，即有三个不等的正根，利用实根分布即可求解. 【详解】因为的图象上存在6个不同的点使得， 设，则关于的方程有三个不等的正根， 即有三个不等的正根， 即有三个不等的正根， 化简得或， 方程最多有两个正根，故方程有一个正根，故. 由知，解得， 故方程在内有两个不等的根，且. 设，则 即， 解得.又，， 且不是方程的根得，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）取中点，连接，可得是二面角的大小的平面角，从而求得线段的长. 【小问1详解】 取中点，连结，三角形中，为中点， 所以，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，， ，，所以四边形为矩形， 所以，， 所以，又因为，则， 所以，即. 因为平面平面， 所以， 所以是二面角的大小的平面角，则. 所以. 16. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，结合等差数列、等比数列的通项公式可得出数列、的通项公式； （2）利用错位相减法求出，计算得出，结合的单调性可得结果. 【小问1详解】 设数列的公差为，的公比为， 由，，可得，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以单调递增， 因为①， ②， ①②得， 所以， 因为，，所以， 故满足的最大正整数为. 17. 已知20个电子元件中含有个不合格品，从中一次任取10个． （1）当时，设取出的10个产品中不合格品数为，求； （2）求“取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的概率计算即可. （2）先求出“取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率，然后判断其性质，进而确定最值. 【小问1详解】 的可能取值为0，1，2，3，所以“”与“”互为对立事件， 所以. 【小问2详解】 “取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率． ， 令，得， 所以当或3时，；当时，. 所以当时，“取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率的最大值为． 18. 开口向右的抛物线以坐标原点为顶点，以轴为对称轴．已知到的准线的距离为．是以为直径的圆，是上一点． （1）求的标准方程； （2）经过点的直线与相切于点，当的面积取最大值时，求的纵坐标； （3）经过点的三条直线与抛物线分别交于两点在下方．若的纵坐标成等差数列，比较与的大小． 【答案】（1） （2）-1或3. （3）. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的几何性质求解； （2）由直线与抛物线的位置关系求解； （3）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理及弦长公式求解. 【小问1详解】 设的方程为， 因为到的准线的距离为3，所以，所以， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 由题得，设点到的距离为， 则，当且仅当时，最大，即最大， 令的纵坐标为，则，直线的方程为，即， 所以，所以或3，即的纵坐标为-1或3. 【小问3详解】 设直线的方程为， 则，所以， ． 其中， 所以，即. 19. 已知函数，其中，且． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）将转化为，利用导数研究的单调性，分类讨论、、、时，的零点情况即可； （3）易知当时不符合题意；当时，原不等式转化为，令，利用导数研究的性质，结合计算即可. 【小问1详解】 当时，， ， 所以，即. 【小问2详解】 函数等价于，则即， 令，则转化为的解的个数，， 当时，单调递增；当时，单调递减． 则在处取得极大值，也是最大值， 当时，；当． 当时，，解得，1个零点； 当时，与有1个交点，此时1个零点； 当时，与有2个交点，此时2个零点； 当时，与有2个交点，此时2个零点； 综上，当或时，1个零点；当或时，2个零点． 【小问3详解】 恒成立恒成立． 当时，，不符合题意； 当时，，因为曲线与关于直线对称， 所以. 令， 令，又因为单调递增， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以时，取极小值点，也是最小值， 所以的最小值为，其中， 由，得，即，所以． 综上可得，所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市2025-2026学年第一学期高三期末质量调研 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值集合为（ ） A B. C. D. 2. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 现有位同学参加劳动操作技能比赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前位的同学才能进入决赛．若参加该比赛的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这位同学的预赛积分的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 4. 已知两个非零向量．若，则锐角（ ） A. B. C. D. 5. 某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在半径为2的圆中，弧所对的圆心角为为弧上异于的点，过作的垂线，垂足为．若的面积大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 任意正整数，展开式的各项系数的和恒为0 B. 存在正整数，使得展开式中含有常数项 C. 若，则该展开式中二项式系数和32 D. 若，则该展开式中的系数为10 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 已知数列的前项和满足（为常数），且，若，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 有最小值 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为_____________. 13. 已知复数模长，则的取值范围为___________． 14. 已知函数的图象上存在6个不同的点，使得每个点的横坐标都满足，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为，求线段的长． 16. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 17. 已知20个电子元件中含有个不合格品，从中一次任取10个． （1）当时，设取出的10个产品中不合格品数为，求； （2）求“取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率的最大值． 18. 开口向右的抛物线以坐标原点为顶点，以轴为对称轴．已知到的准线的距离为．是以为直径的圆，是上一点． （1）求的标准方程； （2）经过点的直线与相切于点，当的面积取最大值时，求的纵坐标； （3）经过点三条直线与抛物线分别交于两点在下方．若的纵坐标成等差数列，比较与的大小． 19. 已知函数，其中，且． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的零点个数； （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $