专题07因式分解寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题07因式分解寒假预习讲义 · 吃透因式分解核心定义，分清与整式乘法的逆运算关系，不混淆！ · 掌握提公因式法步骤，秒找各项公因式，提完无残留～ · 解锁平方差公式因式分解，精准判断适用题型，套公式超顺手！ · 能独立完成基础因式分解题，做到步骤规范、结果正确✅ · 初步尝试简单综合题，培养因式分解的解题思维，为新课蓄力！ 预习必备 知识点梳理 1.因式分解的定义 2.提公因式法 3.公式法 4.因式分解的一般步骤 5.核心易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.判断是否为因式分解 2.由因式分解结果求参数 3.公因式的概念与确定 4.提公因式法分解因式 5.判断因式分解能否用公式法 6.平方差公式分解因式 7.完全平方公式分解因式 8.公式法分解因式的综合应用 9.提公因式与公式法综合运用 10.因式分解在简算中的应用 11.实数范围内的因式分解 12.十字相乘法分解因式 13.分组分解法分解因式 14.因式分解的实际应用 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.因式分解的定义】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 ✅核心关系：因式分解与整式乘法是互逆运算 关键：结果必须是整式相乘，不能有加减运算。 【知识点02.提公因式法】 1. 公因式的定义 多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2. 公因式的确定方法（三取） 系数：取各项系数的最大公约数； 字母：取各项都含有的相同字母； 指数：取相同字母的最低次幂。 3. 提公因式法的步骤 确定多项式各项的公因式； 提取公因式，将多项式写成公因式 × 另一个多项式的形式。 4. 重要注意事项 提公因式要彻底，不能漏提； 若多项式首项为负，先提取 “−” 号，提取后括号内各项都要变号； 提公因式后，另一个多项式的项数与原多项式一致。 例：−4x2+2x=−2x(2x−1)（首项负提负号，括号内变号） 【知识点03.公式法(核心考法)】 1. 平方差公式 因式分解公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 公式适用条件（缺一不可）： 1 多项式是二项式； 2 两项都能写成平方的形式（系数为完全平方数、字母指数为偶数） 3 两项符号相反（一正一负）。 例：4x2−9=(2x)2−32=(2x+3)(2x−3)。 2. 完全平方公式 因式分解公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2−2ab+b2=(a−b)2 公式适用条件（缺一不可）： 1 多项式是三项式； 2 其中两项是两个数（或式）的平方，且符号相同； 3 第三项是这两个数（或式）积的 2 倍（或−2倍）。 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央。 【知识点04.因式分解的一般步骤】 这是因式分解的通用解题思路，必须严格遵循，确保分解彻底： 一提：先看多项式各项是否有公因式，有公因式先提公因式（优先步骤）； 二套：提取公因式后，观察剩余多项式的结构，匹配平方差 / 完全平方公式继续分解； 三检查：检查分解结果，确保分解彻底（分解后的因式不能再分解）、因式为最简整式。 例：分解2x2−8 步骤：2x2−8=2(x2−4)（一提：提公因式 2）=2(x+2)(x−2)（二套：套平方差公式），检查后无继续分解的因式，完成。 【知识点05.核心易错点总结】 1.混淆因式分解和整式乘法：因式分解是和化积，整式乘法是积化和，结果形式不同； 2.提公因式不彻底：漏提系数的最大公约数、相同字母的最低次幂； 3.首项为负处理错误：未提负号，或提负号后括号内项不变号； 4.公式套用错误：平方差公式两项符号相同、完全平方式缺 “首尾两倍项”； 5.分解不彻底：提取公因式后，剩余多项式仍可套公式 / 提公因式却停止； 6.完全平方公式忽略中间项符号：如a2−2ab+b2错写成(a+b)2。 【题型1.判断是否为因式分解】 【典例】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的概念，根据题意逐项判断即可． 【详解】A、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意； B、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意； C、的右边不是因式相乘的形式，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 【跟踪专练2】下列分解因式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法因式分解，以及公式法因式分解，因式分解首先要提取公因式，再根据公式特点进行分解即可． 【详解】解：A. ，原式不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；      B. ，原式因式分解错误，故该选项不正确，不符合题意； C. ，原式因式分解不彻底，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型2.由因式分解结果求参数】 【典例】把分解因式得，则常数的值为（  ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘以多项式；根据多项式乘以多项式法则计算，再对比原多项式即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故，， 则． 故答案为：1． 【跟踪专练2】关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，负整数指数幂，利用多项式乘以多项式的法则将展开，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选C． 【题型3.公因式的概念与确定】 【典例】多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式为 ，其两项分别为 和， 的系数为1， 的系数为，故公因式的系数部分为1； 含字母的2次幂， 含字母的1次幂，取公共字母的最低次幂为1，即 ， ∴多项式中各项的公因式是， 故选：C． 【跟踪专练1】多项式与多项式的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 分别将两个多项式进行因式分解，即可找到公因式． 【详解】解：，， 公因式为． 故答案为：． 【跟踪专练2】多项式与多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，公因式，掌握知识是解题的关键． 先利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解，再确定两个多项式的公因式即可． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是． 故选A． 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．利用提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．将提取得，然后代入求值即可． 【详解】解：， 把，代入得： 原式． 故选：A． 【跟踪专练2】若，，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】此题考查因式分解，由已知等式变形得，再变形，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型5.判断因式分解能否用公式法】 【典例】下列多项式能用公式法进行因式分解的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用乘法公式分解因式，平方差公式分解因式的形式为，完全平方公式分解因式的形式为和，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式可以用平方差公式分解因式，符合题意； B、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； C、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； D、不能用乘法公式分解因式，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 【跟踪专练2】下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断各式有公因式的即可． 【详解】能用提公因式法因式分解的是x2-2x=x（x-2）， 故选B． 【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 【题型6.平方差公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．直接应用公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（   ） A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据平方差公式分解因式，可得：，可知一定是的倍数． 【详解】解： ， 一定是的倍数． 故选：B． 【跟踪专练2】若，，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，平方差公式因式分解，解二元一次方程组．根据平方根的定义求得 ，则，得到，由此得到或，据此求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由题意得或， 解得或， ∴， 故答案为：． 【题型7.完全平方公式分解因式】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练1】整式可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 根据完全平方公式的特征进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【跟踪专练2】若x、y满足的，则m的最小值 ． 【答案】66 【分析】依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键． 【详解】解：由题意得， ，， 的最小值为66； 故答案为：66． 【题型8.公式法分解因式的综合应用】 【典例】分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先用完全平方公式进行分解，再用平方差公式进行分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练2】分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【题型9.提公因式法与公式法综合运用】 【典例】因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式再用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【跟踪专练1】将下列多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解，根据提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式进行计算即可． 【详解】解：A．，故错误； B．，故错误； C．，故正确； D．，故错误； 故选：C． 【跟踪专练2】分解因式 ；若a是整数，则一定能被一个常数整除，这个常数的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了因式分解的应用，数的整除，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是注意两个连续整数中必有一个是偶数． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可，再根据三个连续的整数的积的性质求解． 【详解】解：， a是整数，则，，是三个连续的整数， ∴能被、整除， ∴也能被整除， ∴最大的常数是6， 故答案为：，6． 【题型10.因式分解在简算中的应用】 【典例】简便计算： ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解在有理数简算中的运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据题意，将改写成，运用完全平方和公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：25 ． 【跟踪专练1】计算 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，， ∴， 计算 ． 【答案】145 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式和平方差公式将原式变形为计算即可． 【详解】解： ； ∴原式 ． 故答案为： 【题型11.实数范围内的因式分解】 【典例】下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 【跟踪专练1】在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先提取公因数2，再由平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型12.十字相乘法分解因式】 【典例】下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B：，等式右边是乘积形式，且展开后和左边相等，故是因式分解，符合题意； C：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D：，等式右边是乘积形式，但展开后和左边不相等，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则的值为（  ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：∵， ， 解得：， 则， 故选：A． 【题型13.分组分解法分解因式】 【典例】分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了利用分组分解法进行因式分解；先把前两项、后两项结合，前两项利用平方差公式分解因式，则可提取公因式，即可分解因式． 【详解】解： ； 故答案为：． 【跟踪专练1】下列分解因式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法、公式法等因式分解的方法． 对每个选项逐一进行因式分解，判断其正确性． 【详解】A、对提取公因式5a，可得，故选项因式分解正确； B、在实数范围内不能因式分解，故该选项因式分解错误； C、对分组分解，，故选项因式分解正确； D、先对中前三项用完全平方公式，，再用平方差公式可得，故选项因式分解正确． 故选：B． 【跟踪专练2】分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 【详解】解： 故答案为：． 【题型14.因式分解的实际应用】 【典例】对任意整数都能（　　） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式分解因式，即可判断． 【详解】解： ， 由于m为整数，则为4的倍数，从而能被4整除； 故选：A． 【跟踪专练1】如果把多项式分解因式得，那么 ． 【答案】400 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后进行化简，进而可得m、n的值，最后代值求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为400． 【跟踪专练2】设实数满足，若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解的应用，幂的乘方逆运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意得，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ，，， ． 故选：C． 1．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题的关键． （）直接利用完全平方公式分解因式即可； （）直接利用完全平方公式分解因式即可； （）直接利用完全平方公式分解因式即可； （）先完全平方公式分解因式，然后利用利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．因式分解： (1)； (2) (3)； (4) (5)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)25 【分析】本题主要考查了分解因式，根据分解因式的方法分解因式即可． （1）提公因式以及公式法分解因式即可． （2）提公因式以及公式法分解因式即可． （3）利用十字相乘分解因式即可． （4）利用公式法分解因式即可． （5）利用公式法分解并计算即可. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解 （5）解： 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确利用平方差公式进行因式分解． 利用平方差公式进行因式分解，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 4．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是解题关键． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【详解】（1） （2）等边三角形，理由如下： ， ， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ， ． 的形状是等边三角形． 5．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】(1)， (2)另一个因式是，a的值是2 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题07因式分解寒假预习讲义 预习目标 吃透因式分解核心定义，分清与整式乘法的逆运算关系，不混淆！ 掌握提公因式法步骤，秒找各项公因式，提完无残留 ● 解锁平方差公式因式分解，精准判断适用题型，套公式超顺手！ 能独立完成基础因式分解题，做到步骤规范、结果正确口 初步尝试简单综合题，培养因式分解的解题思维，为新课蓄力！ 预习内容概览 1.因式分解的定义 2.提公因式法 预习必备 3.公式法 4.因式分解的一般步骤 知识点梳理 5.核心易错点总结 1.判断是否为因式分解 2.由因式分解结果求参数 3.公因式的概念与确定 4提公因式法分解因式 5.判断因式分解能否用公式法 6.平方差公式分解因式 常考题型 7.完全平方公式分解因式 8.公式法分解因式的综合应用 精讲精炼 9.提公因式与公式法综合运用 10.因式分解在简算中的应用 11.实数范围内的因式分解 12.十字相乘法分解因式 13.分组分解法分解因式 14.因式分解的实际应用 强化巩固 (解答题5题) 3 知识点梳理 【知识点01.因式分解的定义】 试卷第1页，共3页 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解 因式)。 核心关系： 因式分解与整式乘法是互逆运算 关键：结果必须是整式相乘，不能有加减运算。 【知识点02.提公因式法】 1.公因式的定义 多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2.公因式的确定方法（三取） 系数：取各项系数的最大公约数； 字母：取各项都含有的相同字母： 指数：取相同字母的最低次幂。 3.提公因式法的步骤 确定多项式各项的公因式： 提取公因式，将多项式写成公因式×另一个多项式的形式。 4.重要注意事项 提公因式要彻底，不能漏提： 若多项式首项为负，先提取“-”号，提取后括号内各项都要变号； 提公因式后，另一个多项式的项数与原多项式一致。 例：-4x2+2x=-2x(2x-1)(首项负提负号，括号内变号) 【知识点03.公式法（核心考法）】 1.平方差公式 因式分解公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 公式适用条件（缺一不可）： ①多项式是二项式： ②两项都能写成平方的形式（系数为完全平方数、字母指数为偶数） ③两项符号相反（一正一负）。 例：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) 2.完全平方公式 因式分解公式：a2+2ab+b2-(a+b)2 试卷第1页，共3页 公式适用条件（缺一不可）： ①多项式是三项式： ②其中两项是两个数（或式）的平方，且符号相同： ③第三项是这两个数（或式）积的2倍（或-2倍)。 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央。 【知识点04.因式分解的一般步骤】 这是因式分解的通用解题思路，必须严格遵循，确保分解彻底： 提：先看多项式各项是否有公因式，有公因式先提公因式（优先步骤）； 二套：提取公因式后，观察剩余多项式的结构，匹配平方差/完全平方公式继 续分解； 三检查：检查分解结果，确保分解彻底（分解后的因式不能再分解）、因式为最 简整式。 例：分解2x2-8 步骤：2x2-8=2(x2-4)(一提：提公因式2)=2(x+2)x-2)(二套：套平方差公式)， 检查后无继续分解的因式，完成。 【知识点05.核心易错点总结】 1.混淆因式分解和整式乘法： 因式分解是和化积，整式乘法是积化和，结果形式 不同： 2.提公因式不彻底： 漏提系数的最大公约数、相同字母的最低次幂： 3.首项为负处理错误： 未提负号，或提负号后括号内项不变号； 4.公式套用错误：平方差公式两项符号相同、完全平方式缺“首尾两倍项”： 5.分解不彻底：提取公因式后，剩余多项式仍可套公式/提公因式却停止： 6.完全平方公式忽略中间项符号：如a2-2ab+b2错写成(a+b)2。 常考题型精讲精练 【题型1.判断是否为因式分解】 【典例】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为() A.a+3)a-3)=a2-9 B.a(x+y)=ax+ay 试卷第1页，共3页 C.a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 D.10x2-5x=5x(2x-1 【跟踪专练1】下列从左到右的变形：①x产+3x+1=xx+3+:②(a+b1a-b)=a2-b ;③15x2y=3x·5xy;④a2-2a+1=(a-1)2;其中是因式分解的是 【跟踪专练2】下列分解因式正确的是() A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2-a-1=a(a-1) C.6x2y-2xy2=xy(6x-2y) D.x2-2xy+y2=(0y-x)2 【题型2.由因式分解结果求参数】 【典例】把x2-4x+c分解因式得x-5)(x+1),则常数c的值为() A.4 B.-4 C.5 D.-5 【跟踪专练1】已知二次三项式x2+px+q因式分解的结果是(x-2)(x-3),则 p+g=」 【跟踪专练2】关于x的代数式3x2+x-8分解因式得x-2)(nx+4),则nm的值为() 1 A.3 B.9 C.9 D.-2 【题型3.公因式的概念与确定】 【典例】多项式x2-2x中各项的公因式是() A.2 B.2x C.x D.x2 【跟踪专练1】多项式4a2-2ab与多项式4a2-b2的公因式为 【跟踪专练2】多项式x2-9与多项式x2+6x+9的公因式是() A.x+3 B.x-3 C.(x+3)2 D.(x-3)2 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】分解因式：a2-a=一 【跟踪专练1】若a+b=-5,c=2,则-ac-bc等于() A.10 B.-10 C.3 D.-3 【跟踪专练2】若m=2+1,n=4+2,用含m的代数式表示n,则n=_ 【题型5.判断因式分解能否用公式法】 试卷第1页，共3页 【典例】下列多项式能用公式法进行因式分解的是()· A.-x2+1 B.x2+y2 C.x2+2x-1 D.x2+4x+2 【跟踪专练1】下列多项式能用公式法分解因式的有() 0a-2a-1:@-r-y,@-r+:@-a+1:@a-4b+46 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练2】下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是() A.x2-y B.x2-2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2 【题型6.平方差公式分解因式】 【典例】分解因式：x2-9y2= 【跟踪专练1】当n为正整数时，两个连续奇数2n+1和2n-1的平方差是() A.10的倍数B.8的倍数 C.5的倍数 D.3的倍数 【跟踪专练2】若a2-b=12,(a+b)2=4,ab的值为 【题型7.完全平方公式分解因式】 【典例】分解因式：x2-6x+9= 【跟踪专练1】整式(a-3b2-4(a-3b)c+4c2可以写成() A.(a-3b+2c2B.(a-3b-2c2 C.(a+3b+2c2 D.(a+3b-2c2 【跟踪专练2】若x、y满足m=x2-6xy+10y2-4x+6y+79的，则m的最小值 【题型8.公式法分解因式的综合应用】 【典例】分解因式：a2+2ab+b2-1=」 【跟踪专练1】分解因式：x2-y2-4x+4=一 【跟踪专练2】分解因式a-2a2+1的结果是() A.(a-1 B.(a+1) C.(a+1)2(a-1)2D.(a+1)(a-1 【题型9.提公因式法与公式法综合运用】 【典例】因式分解：2x2-8x+8= 【跟踪专练1】将下列多项式进行因式分解，正确的是() 试卷第1页，共3页 A.a3-4a2=a(a+2)(a-2) B.4a3-4a=4a(a+2)(a-2) C.a2-4a2b+4a2b2=a2(2b-1)2 D.a3-4a2b+4ab2=a(ab-2)2 【跟踪专练2】分解因式a3-a=_；若a是整数，则a3-a一定能被一个常数整除， 这个常数的最大值是一 【题型10.因式分解在简算中的应用】 【典例】简便计算：3.52+7×1.5+1.52=一 【跟踪专练1】计算(-2)224+(-2)22等于（) A.-22024 B.-22025 C.22024 D.-2 【跟踪专练2】已知a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-b2=(a+b)(a-b), .n+4=n4+4×n2+4-4×n2=n2+2-(2n2, 34+4)7+4)114+4 计算 (14+4)(54+4)(94+4) 【题型11.实数范围内的因式分解】 【典例】下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是() A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x3+x D.a2-4 【跟踪专练1】在实数范围内因式分解：2m2-4= 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式：x-9=」 【题型12.十字相乘法分解因式】 【典例】下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是() A.（x+3)(x-3)=x2-9 B.x2-x-6=（x+2)(x-3 C.x2-x-2=xx-1-2 D.x2+2x-1=(x-12 【跟踪专练1】因式分解：3ma2-6mab-9mb2= 【跟踪专练2】若x2-px+q=(x-2)(x+3),则p-9的值为() A.5 B.7 C.-7 D.-5 【题型13.分组分解法分解因式】 试卷第1页，共3页 【典例】分解因式：x2-y2+y-x= 【跟踪专练1】下列分解因式错误的是() A.15a2+5a=5a(3a+1) B.-x2-y2=-(x+y)(x-y) C.ax+x+ay+y=(a+1)(x+y) D.4x2+4xy+y2-16=(2x+y+4)(2x+y-4) 【跟踪专练2】分解因式：x3+x2-4x-4=一 【题型14.因式分解的实际应用】 【典例】对任意整数m,2m-1)2-25都能() A.被4整除 B.被5整除 C.被6整除 D.被7整除 【跟踪专练1】如果把多项式x2-8x+m分解因式得(x-10)(x+n),那么m”= 【跟踪专练2】设实数x满足x3=x+1,若x=ax2+bx+c,则a+b+c的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 5 强化巩固通关 1.把下列各式分解因式： (1)-x2+2x-1: 阅++ (3)4x2+4x+1: (4)a-2a2+1. 2.因式分解： (1)2x2-8; (2)-3x2+6xy-3y2 (3)x2+2x-15; (4)x4-8x2y2+16y 试卷第1页，共3页 (⑤)计算：2.132+2×2.13×2.87+2.872. 3.计算：112-122+132-142+152-162+172-182+192-202. 4.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法 就无法分解，如x2-2y+y2-16.我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方 公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解. 过程如下：x2-2xy+y2-16 =(x-y)2-16 =（x-y+4)x-y-4. 这种分解因式的方法叫分组分解法. 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：16m2-4x2+4xy-y2. (2)已知a、b、c分别是ABC三边的边长且满足2a2+b2+c2-2ab-2ac=0,请判断 ABC的形状，并说明理由 5.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n), 则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, n+3=-4 (m=3n’ 解得：n=-7,m=-21. :另一个因式为(c-7),m的值为-21 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)己知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值. (2)已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是(2x+a,a是正整数，求另一个因式以及a 的值。 试卷第1页，共3页