专题09分式寒假预习讲义（2）(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题09分式寒假预习讲义(2) 预习目标 ● 类比分数运算，理解分式乘除、乘方的核心法则，能口述法则内容。 掌握分式加减的两类运算，会找最简公分母，能完成通分操作。 能进行简单的分式乘除、加减运算，结果化为最简分式或整式。 了解分式混合运算的顺序，尝试解决基础的混合运算题。 学会用因式分解辅助分式约分、通分，提升运算简洁性。 预习内容概览 预习必备 1.分式的乘除运算 2.分式的乘方运算 3分式的加减运算 4.分式的混合运算 知识点梳理 5.核心易错点 1.分式的乘法运算 2.分数到除法运算 3.分式的乘除混合运算 4.分式的乘方运算 常考题型 5.同分母分式的加减法 6.异分母分式的加减法 7由分式恒等式确定分子分母 8.分式的加减混合运算 精讲精炼 9.分式加减的实际应用 10.分式的加减乘除混合运算 11.分式的化简与求值 12.最简公分母的确定 13.分式的通分方法 强化巩固 (解答题7题) 知识点梳理 知识点01：分式的乘除运算 乘法法则： a c ac b d bd (分子相乘作分子，分母相乘作分母) 除法法则： Q÷c_a.cad b db d bc (除以分式=乘其倒数) 关键步骤：先因式分解，再约分，结果化为最简分式/整式。 知识点02：分式的乘方运算 法则：(？)ba”(n为正整数，分子分母分别乘方) 试卷第1页，共3页 注意：乘方与乘除混合时，先算乘方，再算乘除。 知识点03：分式的加减运算 1.同分母分式相加减 法则： a,b_a±b (分母不变，分子相加减) CC C 2。异分母分式相加减 步骤： ①找最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积）； ②通分，化为同分母分式： ③按同分母法则计算，最后约分。 知识点04：分式的混合运算 1运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减：有括号先算括号内的。 2核心技巧：全程结合因式分解（提公因式、平方差等），简化约分和通分。 3.最终要求：运算结果必须化为最简分式或整式，分母不含括号/因式。 知识点05：核心易错点 1乘除运算中，漏对多项式因式分解直接约分； 2.异分母加减，未找最简公分母导致通分复杂； 3乘方运算中，分子或分母是多项式时，漏加括号整体乘方； 4.混合运算中，运算顺序混乱，忽略括号优先级。 常考题型精讲精练 【题型1.分式的乘法运算】 2x 2y 【典例】计算： y2 x 【跟踪专练1】计算 、aJ 的结果是() A. B. 【跟踪专练2】定义两种运算：Q6b=1 Q+b,a*b=、 b a2-b2,则m△n÷m*n)= 试卷第2页，共3页 【题型2.分式的除法运算】 2x 1 ÷_ =M 【典例】已知x2-y2x-y ,则M等于() 2x x+y 2x x-y A.x+y B.2x C.x-y D.2x 【(跟踪专练1】计算30-3动÷。2-b 10256的结果等于一 【跟棕专练2】已知M=。”)+。”3,关于甲、乙的说法，下列判斯正琉的是() 2 1 甲：M可化为最简分式a+3:乙：当a=3时，M= A.甲、乙都正确B.甲、乙都不正确C.只有甲正确 D.只有乙正确 【题型3.分式的乘除混合运算】 【典例】计算x÷1 yx的结果是(). A.1 B.xy C.x D.y 【跟踪专练1】1.2-2a+1,1 a-l a 二÷二的结果是一 a 【跟踪专练2】某商店有小、B两箱水果，A箱水果重量为α+1)千克，B箱水果重量为 (。-千克（其中a>1),两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价 的() a+1 A.a-1 B.a+1 D. a-1 C. a-1 a+1 【题型4.分式的乘方运算】 【典例】化简 的结果是() 试卷第3页，共3页 A.6 B.s C.ys D.xpo 【跟踪专练1】下列分式运算，结果正确的是() 2a）24a2 a c ad A.（a-b-a2-b2 B.bd bc m n m ”=b C.nm n D.aa" 【跟踪专练2】下列计算正确的是() A. a2.a=a2 B.a÷a2=a 3 9 8a3 D.a'b-2ba2=-a'b 【题型5.同分母分式的加减法】 2a2 【典例】计算： a-1a-1- 【跟踪专练1】若x-1 则口中的数是() A.-1 B.-2 C.-3 D.任意实数 Ax+B 5x 3x-1 【跟踪专练2】若x-3x-33-x,则A=一’B=— 【题型6.异分母分式的加减法】 4x-3y x-2v 【典例】化简x2-y2y2-x2的结果是() 5 5 5 3x+y A.x-y B.x+y C.x2-y2 D.x2-y2 【跟踪专练1】化简： a2-4 +a+2= a+2 -3 【跟踪专练2】观察如图佳佳计算产-4+2-x的过程：则下列说法正确的是() 十 试卷第4页，共3页 r-3 1 x-3 1 x2-42-x(x+2)(x-2)x-2 ① x-3 x+2 (x+2)(x-2)'(x+2)(x-2) ② =x-3-x-2 ③ =-5 ④ A.运算完全正确 B.第①②两步都有错 C.只有第③步有错 D.第②③两步都有错 【题型7.由分式恒等式确定分子分母】 5x-7 A B 【典例)】若-4r一5x中十x-5,则A、B的值为（） A.A=3,B=-2 B.A=2,B=3 C.A=3,B=2 D.A=-2,B=3 【跟踪专练1】已知 6x+10x Ax+B Cx+D +++中1-x中，其中A'B'C'D 常数，则 A+B+C+D=_. A B 2x+8 【跟踪专练2】已知x-2+x+2=产-4，且A、B为常数，则4+3B=一· 【题型8.分式的加减混合运算】 【典例】若一()小2 1-x，则()中的数是() A.-1 B.1 C.-2 D.任意实数 银踪专练】照相机成像应用了一个重要原理，用公式子十≠八表示，其中表 示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.已知 ∫y,则u=() -v A.f-v B. D. fv v-f fv 试卷第5页，共3页 D=- 十…十 1 【跟踪专练2】若Pn(n+3)(n+3)(n+6) （n+12)(n+15),则使p最接近10的正 整数n是() A.3 B.4 C.5 D.6 【题型9.分式加减的实际应用】 【典例】小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为akm/h,回来时速度为bkm/h,则她 往返家里和图书馆的平均速度是_km/h. 【跟踪专练1】.照相机成像时，照相机镜头的焦距f物体到镜头的距离，胶片（像）到 11,1 镜头的距离，满足fuv(v≠∫)(u>∫>0).已知f,山，则v=（) fu f-u fu u-f A.f-u B.fi C.u-f D.fu 【跟踪专练2】汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加 两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固 定：乙方案：每次所加的油量固定.若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑 其他因素影响，则() A.甲方案实惠 B.乙方案实惠 C.哪种方案实惠需由两次油价决定 D.两种方案一样实惠 【题型10.分式的加减乘除混合运算】 a2-2a+1.1 【典例】当a=2时， a 的值为() A.2 B.-2 C.2 D.-2 【跟踪专练1】A地在河的上游，B在下游，若船从A地开往B地速度为”，从B地返回A 地速度为”，则A、B两地往返一次的平均速度为一·（用含”和”的代数式表示） 试卷第6页，共3页 a-2.a2-4 【跟踪专练2】下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：a+32a+6()已 3 知该题化简的结果是一a+2,则括号内的式子为(） 5 3 5 A.a+2 B.a+2 C. a+2 D.不能确定 【题型11.分式的化简与求值】 a b c a+b+c 【典例】若2F3-4且abc≠0，则 a-b+c 12x-5y 【跟踪专练1】若4x-5y=0且y≠0，则12x+5y的值() 5 12 A.12 B.5 c.3 D.不能确定 【跟踪专练2】已知二+ Q+b=0,则+长+的值为一 +少+2=1，x”y> a b c 【题型12.最简公分母的确定】 1 1 1 1 【典例】找最简公分母：(1)3ab与2ac一，(2)2x+2与2+x一. 1 1 【跟踪专练1】分式2(m+)与m+1的最简公分母是() 2m+2 B.m+2 C.m+1 D. m2-1 A. 2y-3z2z-3x4y-7x 【跟踪专练2】(1)分式2z、3zx、6xy的最简公分母为 a-3b-2,c-5 (2)分式3a6、2ab6与8rbc的最简公分母是 【题型13.分式的通分方法】 【典例】下列各式计算正确的是() 试卷第7页，共3页 -21 m2-9 B.2x-21-x =m+3 1+x1 A. C.3-m D.x+1 xx+1 【跟踪专练1】将分式a2-9和3a-9进行通分时，分母。2-9可因式分解为一，分母 3a-9可因式分解为一，因此最简公分母是一· -12 【跟踪专练2】将3a+6a+2a+1(a+1a+2)通分后，各分式的分子之和为() 2a2+7a+11 B. a2+8a+10 A. 2a2+4a+4 C. D.4a2+1la+13 强化巩固通关 1.计算： m-3,m+1 ()m-1m-1 2x2 (2)x+1x+1 2.计算： x2-4x-2 2)2+2x+1x+1 3.通分： 3a 7c (0562c与10a2b 1 (2)2+2x与x2-x· （4」 x2-2x 4.化简求值.先化简(x-2x+2 x2-4x+4,再从0,1,2，中选择一个合适的数代 试卷第8页，共3页 入并求值 5.甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克a元和b元 (a≠b),甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油 ()若甲两次加油的平均单价为每千克2元，乙两次加油的平均单价为每千克2元.则： 2=92= (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由. 11x A,B 6.己知-3x2-14x+24x+6+4-3x,求A'B的值. 7.在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的 次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与 真分式的和的形式，如：2x+3_2x++1 1 =2+ x+1x+1 x+1 (I)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）， =1+ 1 a2+3a+3 ①x-1 x-1();②a+1 =a+2+2 +1(). 4a+3 ②)若分式a-1的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值： 3x+6.1 3)若分式3一2x和x的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值. 试卷第9页，共3页 专题09分式寒假预习讲义（2） · 类比分数运算，理解分式乘除、乘方的核心法则，能口述法则内容。 · 掌握分式加减的两类运算，会找最简公分母，能完成通分操作。 · 能进行简单的分式乘除、加减运算，结果化为最简分式或整式。 · 了解分式混合运算的顺序，尝试解决基础的混合运算题。 · 学会用因式分解辅助分式约分、通分，提升运算简洁性。 预习必备 知识点梳理 1.分式的乘除运算 2.分式的乘方运算 3.分式的加减运算 4.分式的混合运算 5.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.分式的乘法运算 2.分数到除法运算 3.分式的乘除混合运算 4.分式的乘方运算 5.同分母分式的加减法 6.异分母分式的加减法 7.由分式恒等式确定分子分母 8.分式的加减混合运算 9.分式加减的实际应用 10.分式的加减乘除混合运算 11.分式的化简与求值 12.最简公分母的确定 13.分式的通分方法 强化巩固 (解答题7题) 知识点01:分式的乘除运算 乘法法则：（分子相乘作分子，分母相乘作分母） 除法法则：==（除以分式 = 乘其倒数） 关键步骤：先因式分解，再约分，结果化为最简分式 / 整式。 知识点02:分式的乘方运算 法则：()n=bnan（n为正整数，分子分母分别乘方） 注意：乘方与乘除混合时，先算乘方，再算乘除。 知识点03:分式的加减运算 1. 同分母分式相加减 法则：±（分母不变，分子相加减） 2. 异分母分式相加减 步骤： ①找最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积）； ②通分，化为同分母分式； ③按同分母法则计算，最后约分。 知识点04:分式的混合运算 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 2.核心技巧：全程结合因式分解（提公因式、平方差等），简化约分和通分。 3.最终要求：运算结果必须化为最简分式或整式，分母不含括号 / 因式。 知识点05:核心易错点 1.乘除运算中，漏对多项式因式分解直接约分； 2.异分母加减，未找最简公分母导致通分复杂； 3.乘方运算中，分子或分母是多项式时，漏加括号整体乘方； 4.混合运算中，运算顺序混乱，忽略括号优先级。 【题型1.分式的乘法运算】 【典例】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法．根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方与乘法运算，掌握这两个运算法则是关键；先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练2】定义两种运算：，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键． 先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2.分式的除法运算】 【典例】已知，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的乘除法的法则进行运算即可． 【详解】解：， M= ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【跟踪专练1】计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握除法法则是关键；先把分子、分母分解因式，再利用除法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 【题型3.分式的乘除混合运算】 【典例】计算的结果是（    ）． A．1 B．xy C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法，解题的关键是把除法转化成乘法、以及约分． 先把除法转化成乘法，再进行约分计算即可． 【详解】解：原式， 故选：C． 【跟踪专练1】的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算．把分式的分子因式分解，同时把除法变为乘法，进行约分即可． 【详解】解： 故答案为： 【跟踪专练2】某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的除法，熟练掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【题型4.分式的乘方运算】 【典例】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 【跟踪专练1】下列分式运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘方，分式乘法分别进行判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误；     B. ，故该选项错误； C. ，故该选项正确；     D. ，故该选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的乘方及分式的乘法，解题关键是掌握相关的运算法则． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，分式的乘方，合并同类项等知识，按照各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型5.同分母分式的加减法】 【典例】计算： ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2． 【跟踪专练1】若，则□中的数是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，将左边分式拆解，化为一个常数与一个分式的和，即可确定□中的数，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴□中的数为， 故选：B． 【跟踪专练2】若，则 ， ． 【答案】 2 1 【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案． 【详解】解： ∴A=2，B=1 故答案为：2，1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则． 【题型6.异分母分式的加减法】 【典例】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 【跟踪专练1】化简： ． 【答案】 【分析】原式第一项分子利用平方差公式分解因式，约分后合并即可得到结果． 此题考查了分式的加减法，分式的加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（   ）         ①     ②         ③         ④ A．运算完全正确 B．第①②两步都有错 C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是需正确进行通分和符号处理，并保持分母的存在． 先进行通分再进行同分母分式的加减运算即可． 【详解】解： ① ② ③ ④ 综上，第②步和第③步均存在错误， 故选：D． 【题型7.由分式恒等式确定分子分母】 【典例】若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 【跟踪专练1】已知，其中，，，为常数，则 ． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 【跟踪专练2】已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 【答案】0 【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∵＝，且A、B为常数， ∴， ∴， 解得：， ∴A+3B＝3+3×(-1)=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键． 【题型8.分式的加减混合运算】 【典例】若，则（    ）中的数是（    ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 【跟踪专练2】若，则使最接近的正整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先利用“裂项法”对已知分式变形化简，再分别将n取3，4，5和6代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴ ， ∴当n=3时，， 当n=4时，， 当n=5时，， 当n=6时，， 显然，， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练运用“裂项法”对已知分式变形化简是解题的关键． 【题型9.分式加减的实际应用】 【典例】小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的应用；本题需先根据题意设出未知数，再列出式子化简整理即可求出平均速度． 【详解】解：设从家到图书馆的路程为千米， 则从家到图书馆的时间为小时，返回的时间为小时， 则她往返家里和图书馆的平均速度为， 故答案为：． 【跟踪专练1】.照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．利用分式的基本性质，把等式（）变形即可求解． 【详解】解：（）， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案：甲方案：每次加油的总金额固定；乙方案：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（   ） A．甲方案实惠 B．乙方案实惠 C．哪种方案实惠需由两次油价决定 D．两种方案一样实惠 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较法在不等式大小比较中的应用，设两次加油的油价分别为a，且将两次加油的平均油价分别用a，b表示出来，作差即可比较大小． 【详解】解：设两次加油的油价分别为a，且， 甲方案：设每次加油总金额为W，则平均油价； 乙方案：设每次加油量为N，则平均油价， 则， 因为，a，且， 所以，，， 所以，， 所以，，甲方案实惠． 故选：A． 【题型10.分式的加减乘除混合运算】 【典例】当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对分式进行化简，再将给定的值代入计算． 【详解】解：①化简原式： 原式 ． ②代入求值： 当时，． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解和分式的乘除运算． 【跟踪专练1】A地在河的上游，B在下游，若船从A地开往B地速度为，从B地返回A地速度为，则A、B两地往返一次的平均速度为 ．（用含和的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查分式的实际应用，根据平均速度总路程总时间来解答． 【详解】解：设，两地的距离为S，则往返一次行驶的总路程为， 总时间为：， 因此往返一次的平均速度为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了分式混合运算，括号内的式子为，进行分式混合运算，即可求解；能熟练进行分式混合运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 【题型11.分式的化简与求值】 【典例】若且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，根据题意，设，依次可得，，的值，即可求出． 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若且，则的值（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．把变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键． 设，，．可得，，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：设，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 故答案为：1． 【题型12.最简公分母的确定】 【典例】找最简公分母：（1）与 ，（2）与 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】解：（1）与的最简公分母为； 故答案为：； （2），， 与的最简公分母为． 故答案为：． 【跟踪专练1】分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 根据最简公分母的定义即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：A． 【跟踪专练2】（1）分式、、的最简公分母为 ； （2）分式、与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】（1）取所有分母的系数的最小公倍数，字母的最大指数的乘积作为最简公分母； （2）取所有分母的系数的最小公倍数，字母的最大指数的乘积作为最简公分母． 【详解】解：（1）分式、、的最简公分母为， 故答案为：； （2）分式、与的最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】此题考查分式分母的最简公分母：取所有分母的系数的最小公倍数，字母的最大指数的乘积作为最简公分母，熟记确定方法是解题的关键． 【题型13.分式的通分方法】 【典例】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质以及分式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质以及分式的混合运算法则，熟练掌握分式的约分、通分是解本题的关键． 【跟踪专练1】将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，通分，熟练掌握通分的方法，是解题的关键，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解，再利用三定法确定最简公分母即可． 【详解】解：分母可因式分解为；分母可因式分解为，因此最简公分母是； 故答案为：，， 【跟踪专练2】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据分式的加减法的运算法则计算即可． （2）根据分式的加减法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，然后将分式的除法转化为分式乘法，最后进行约分化简； （2）先将分式分子、分母进行因式分解，同时将除法转化为乘法，最后进行约分化简； 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了通分，解题的关键是找出两个分式分母的最小公倍数． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）找出两分母的最简公分母，通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母为， ；． （2）解：最简公分母为， 故；． 4．化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，0 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 本题先将括号里面的式子通分并进行计算，然后将因式分解，然后按照加减运算法则进行计算，然后即可求解． 【详解】解： 原式 ； 当时，； 5．甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)乙的平均单价更便宜，见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，弄清平均价格是解本题的关键． （1）利用两次加油的价格以及购买的质量与钱数得出即可； （2）根据总钱数除以总千克数求出甲乙两人加油的平均价格，利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，， （2）解：， ， ， ，， 即， 答：乙的平均单价更便宜． 6．已知，求，的值． 【答案】A的值为，的值2． 【分析】此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．此题还考查了二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握． 首先根据通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组，再解方程组，求出A、B的值是多少即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得． 答：A的值为，的值2． 7．在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解：， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $