精品解析：江西宜春市2024-2025学年上学期2023级12月学业调研 数学试卷

2024—2025学年上学期2023级12月学业调研数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方的定义和同类项的定义及合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、与不能合并，故不符合题意． 故选：C． 2. 如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】边上的高是指过点B作直线的垂线段，即可得出答案． 【详解】解：边上的高是指过点B作直线的垂线段，则为边上的高线， 故选：C． 【点睛】本题考查高线的识别，正确理解题意是解题的关键． 3. 如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 4. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 5. 已知中，，将，按照如图所示折叠，若，则的度数是（ ） A. 245 B. 255 C. 265 D. 275 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，注意“三角形的内角和是”、“四边形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠知． ∵， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 6. 已知等式（为正整数），则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵为正整数， ∴ ∴或或或， ∴的值不可能是， 故选：． 7. 如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图， 平分，， ， 点E是射线上的动点， 的最小值为， 故选：C． 8. 如图，在中，平分，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线，交于点I，连接，以下说法错误的是（ ） A. I到边的距离相等 B. 平分 C. I到三点的距离相等 D. I是三角形三条角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，三角形的角平分线的性质，根据作图先判断平分，再由三角形角平分线的性质解答即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图和角平分线的性质． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， 到，边的距离相等，故选项A正确，不符合题意； 平分，三角形三条角平分线交于一点，故选项D正确，不符合题意； 平分，故选项B正确，不符合题意； 到边，，的距离相等，不是到，，三点的距离相等，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 9. 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，将原式乘以之后，连续使用平方差公式进而得出答案． 【详解】解： ， 故选：D． 10. 如图，、是的角平分线，，，，垂足分别为，，．下列说法：①平分；②；③当时，；④是的中点；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质逐项判断即可 【详解】解： 是的角平分线，，， ，， ， ，即平分，故①正确； 反例：如图，当时，点可以重合，此时， 也不能判断是的中点，故②④错误； 延长交于点， ，是的角平分线， ， ， ，， 同理可证 ， , ， ， ， 是的角平分线， ， ， ，故③正确； 反例：若 是的角平分线，， ， ， ， ，故⑤不正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 如果 表示， 表示，那么 ________．（用含有，的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【详解】本题主要考查单项式乘以单项式，新定义，理解题目给出运算规定是解题的关键．先根据定义列出代数式，然后再利用单项式乘法法则计算即可．根据新定义列出整式是解答本题的关键． 解：根据题意： × ． 故答案为：． 12. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出二次一次方程组，求出的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：点关于轴对称， 解得 ． 13. 如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 _______ 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别平分和， ∴点O到的距离都相等， ∵的周长是22，于D，且， ∴． 故答案为：33． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ． 故答案为：． 15. 若，则a、b、c的大小关系是___________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂运算的性质，根据幂运算的性质把它们变成相同的指数，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为__________． 【答案】15° 【解析】 【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，利用等边三角形的性质证得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，PD=BP，根据两点之间线段最短得出当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，根据等边对等角证得∠CBP1=∠CDP1=∠CAD，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1， ∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点， ∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE， ∴CE为线段BD的垂直平分线， ∴PD=BP， ∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD， ∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值， 连接BP1，则BP1=DP1， ∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC， ∴∠CBP1=∠CDP1， ∵AC=BC=CD， ∴∠CDP1=∠CAD，即 延长AC至Q， ∵∠ACB=90°，∠BCD=60°， ∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1， ∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°， ∴当的值最小时，=15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算： （1）先计算单项式乘以单项式，再计算积的乘方，接着计算单项乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案； （2）先根据完全平方公式、单项式乘以多项式的计算法则展开，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若，，求的大小． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先利用面积法求出的长，然后根据三角形的中线定义即可求解； （）先通过三角形的外角性质，从而求出，由角平分线的定义得，最后通过外角性质和直角三角形的性质即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是掌握知识点的应用． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. （1）如图1，A、B是两个蓄水池，都在河岸a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站M，将河水送到A、B两地，问该站M建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）如图2，写出的各顶点坐标，并画出关于y轴的对称图形，并直接写出关于x轴对称的三角形的各顶点坐标． 【答案】 （1）如图所示，点M即为所求； （2）， 即为所求； 关于x轴对称的三角形的各顶点坐标分别为 【解析】 【分析】（1）作点A关于直线a的对称点，连接交直线a于点M，即为所求； （2）根据坐标系直接得出各点的坐标，然后再确定关于y轴对称的图形，利用关于x轴对称的点的特点得出各顶点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查轴对称的性质及作图，坐标与图形，理解题意，掌握轴对称图形的性质是解题关键． 20. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． （1）若，则的度数是___________度； （2）若．的周长是， ①求的长度； ②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解； （2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是．，即可求的长度；②依据，，即可得到当P与M重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①， 的周长是， 即 ， ， ， ． ∴的长度为． ②当P与M重合时，的周长最小． 理由：∵，， ∴当P与M重合时，，此时最小值等于的长， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． 21. 图1是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线将这个长方形均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于______； （2）观察图2，写出代数式，，之间的等量关系______： （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，则______． ②若，，求的值． 【答案】（1） （2） （3）①32；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，列代数式： （1）根据图形之间的关系列式求解即可； （2）图2中阴影部分的面积是边长为的正方形，图2中阴影部分的面积是边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，分别用这两种方式表示出正方形面积即可得到答案； （3）根据（2）的结论列式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，图2中的阴影部分的正方形的边长等于； 【小问2详解】 解：图2中阴影部分的面积是边长为的正方形面积，则其面积为， 图2中阴影部分的面积是边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，则其面积为， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴ 22. 如图，四边形中，，过点D作，与C交于点D，与交于点H． （1）求证：为等腰三角形； （2）若E为中点，猜想，与三者的数量关系．并证明之 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2） ，理由如下： 如图，延长，使得， ∵为的中点， ∴ 在与中， ， ∴（SAS）， ∴， 又∵， ∴， ∴，即： 即：． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，利用其性质可得，根据进而可得，从而可得为等腰三角形； （2）如图，延长，使得，可证明，可得，即，再利用线段和差关系即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用中点倍长中线构造全等三角形是解决问题的关键． 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图①，点C的横坐标满足，求点B的坐标； （2）如图②，将摆放至x轴恰好平分交x轴于点M，过点C作x轴于点D，求的值； （3）如图③，若，分别以为直角边在第一，第二象限作等腰和等腰，连接交y轴于点P，当点B在y正轴上移动时，线段的长度是否发生改变，若不变，请直接写出的值；若变化，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）不变， 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，根据余角的性质，得出，证明，得出，即可得出答案； （2）分别延长相交于点，根据“”证明，得出，根据等腰三角形的性质，得出，即可得出答案； （3）作轴于G，证明，得到，，证明，得到，得到答案． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 轴， ， （同角的余角相等）， 轴， ， （两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）， （全等三角形的对应边相等）， ， 点的横坐标为， ， ∴， 点的坐标是． 【小问2详解】 解：分别延长相交于点，如图所示： 轴， ，， ， （等角的余角相等）， ， （两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）， （全等三角形的对应边相等）， 平分轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ． 【小问3详解】 解：的长度不变，理由如下： 作轴于G，如图所示： ∵点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，等腰三角形的性质，余角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期2023级12月学业调研数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，于点E，于点F，于点D，则中边上的高是线段（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 5. 已知中，，将，按照如图所示折叠，若，则的度数是（ ） A. 245 B. 255 C. 265 D. 275 6. 已知等式（为正整数），则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 8. 如图，在中，平分，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线，交于点I，连接，以下说法错误的是（ ） A. I到边的距离相等 B. 平分 C. I到三点的距离相等 D. I是三角形三条角平分线的交点 9. 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，、是的角平分线，，，，垂足分别为，，．下列说法：①平分；②；③当时，；④是的中点；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 11. 如果 表示， 表示，那么 ________．（用含有，的代数式表示） 12. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为_______． 13. 如图，已知的周长是22，分别平分和，于D，且，的面积是 _______ 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是__________． 15. 若，则a、b、c的大小关系是___________．（用“”连接） 16. 如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若，，求的大小． 19. （1）如图1，A、B是两个蓄水池，都在河岸a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站M，将河水送到A、B两地，问该站M建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）如图2，写出的各顶点坐标，并画出关于y轴的对称图形，并直接写出关于x轴对称的三角形的各顶点坐标． 20. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接． （1）若，则的度数是___________度； （2）若．的周长是， ①求的长度； ②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 21. 图1是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线将这个长方形均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于______； （2）观察图2，写出代数式，，之间的等量关系______： （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，则______． ②若，，求的值． 22. 如图，四边形中，，过点D作，与C交于点D，与交于点H． （1）求证：为等腰三角形； （2）若E为中点，猜想，与三者的数量关系．并证明之 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图①，点C的横坐标满足，求点B的坐标； （2）如图②，将摆放至x轴恰好平分交x轴于点M，过点C作x轴于点D，求的值； （3）如图③，若，分别以为直角边在第一，第二象限作等腰和等腰，连接交y轴于点P，当点B在y正轴上移动时，线段的长度是否发生改变，若不变，请直接写出的值；若变化，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $