1.4《垂直平分线》第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第4节 垂直平分线 第2课时 与垂直平分线有关的尺规作图 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过回顾线段垂直平分线的尺规作法与性质,学会用尺规作出“已知底边和底边上的高”的等腰三角形,掌握作图步骤与几何原理. 2.通过探究“过直线外一点作已知直线垂线”的尺规作图方法,体会转化思想在几何作图中的应用. 3.通过对作图分析的过程,能够运用类比和转化思想解决相关几何作图问题，提升逻辑推理能力. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境导入：校园等腰三角形花坛设计 项目背景 教学楼前空地计划建造等腰三角形花坛，底边4米，高2.5米。施工师傅需用粉笔和卷尺画出轮廓。 回顾旧知：用尺规作线段垂直平分线的具体步骤是什么？ 关联新知：结合“三线合一”，顶点应在底边何处？与垂直平分线有何关系？ 实践思考：如何用卷尺和粉笔模拟尺规，确定顶点位置并画出花坛？          情境启航：校园等腰三角形花坛设计 实践思考：如何用卷尺和粉笔模拟尺规,确定顶点位置并画出花坛？ 项目背景 教学楼前空地计划建造等腰三角形花坛,底边4米,高2.5米.施工师傅需用粉笔和卷尺画出轮廓. 回顾旧知：用尺规作线段垂直平分线的具体步骤是什么？ 关联新知：结合“三线合一”,顶点应在底边何处？与垂直平分线有何关系？ 4 问题构建 问题1:已知三角形的一条边及这条边上的高,你能画出满足条件的三角形吗？ 满足条件的三角形有无数个,当边确定时,高可以画无数个;当高确定时,底可以沿着某条直线移动，也有无数个底，所以这样的三角形能画无数个. 5 问题构建 问题2:回顾等腰三角形有哪些基础性质？ 两腰相等、两底角相等、三线合一. 追问1:你能借助圆规快速画出两边相等的三角形吗？ 1.以O为圆心，任意长为半径画圆. 2.在圆上任取两点A、B，连接OA、OB、AB. 3.如图，△OAB即为等腰三角形且OA=OB. 问题构建 问题3:借助三线合一的性质,我们也能快速画出一个等腰三角形,这里主要借助了哪个基础图形的性质？ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,这样可以快速得到无数个等腰三角形. 追问1:你还记得作出一条线段垂直平分线的一般步骤吗？ 画一条线段AB，分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，交于C、D两点，连接CD即为线段AB的垂直平分线. 问题构建 问题4:已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？与同伴进行交流. 刚才的作图过程中,我们确定了底边确定的等腰三角形. 在刚才作图的基础上,我们需要确定底边上的高就能得到所需的等腰三角形,可以作出两个. 追问:梳理上述作图过程,请你总结“已知底边和底边上的高,用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤. 1.作一条线段等于已知底边长度； 2.作该线段的垂直平分线； 3.在垂直平分线上截取一段等于已知底边上的高. 问题构建 如图,已知线段a,h,用尺规作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h. 请按照给出的作法作出相应的图形： 作法 图形 1.作线段BC,使BC=a. 2.作线段BC的垂直平分线，交BC于点D. 3.在上作线段DA,使DA=h. 4.连接AB,AC.△ABC就是所要作的等腰三角形. 协作破冰 问题5:还记得用尺规过直线上一点P作的垂线的方法吗？ 1.以P为圆心，任意长为半径画弧交直线于A、B两点. 2.分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，交点为CD 3.连接CD，CD⊥ . 追问1:借助哪个知识构造了垂直？ 线段的垂直平分线 协作破冰 追问2:上述作图中是怎样转化作图的？ 直线的垂线问题 线段的垂直平分线问题 问题6:如果点P在直线外呢？此时,还能运用这种转化的方法吗？请你试一试,并与同伴进行交流. 可以继续用同样方法转化，只需要在直线上构造一条线段就可以. 追问1:任意选取一条线段就可以吗？ 不能任意选取，必须借助点P构造任意线段，本质是借助了等腰三角形“三线合一”的性质. 作法 图形 1.任取一点Q，使点Q与点P 在直线两旁. 2.以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧,交直线于点A和点 B. 3.作线段AB的垂直平分线PC. 协作破冰 如图,已知直线和外一点P,用尺规作的垂线,使它经过点P. 请按照给出的作法作出相应的图形： 协作破冰 问题7:刚才的作图中，为什么直线PC一定经过了点P？ 因为前两步的作图中，本质是构造了等腰三角形，而点P为等腰三角形的顶点，等腰三角形具有三线合一的性质.作了底边的垂直平分线后，一定经过顶点. 已知：如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线 PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P.求证：边AC的垂直平分线经过点P. 要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件？已知的两条垂直平分线相交于点P,由此你能得到哪些相关的结论？ 教师示范 要证明点P在AC的垂直平分线上,只需满足： PA=PC（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 已知P在AB、BC的垂直平分线上,可得到： PA=PB且PB=PC,进而推出PA=PB=PC. 证明：如图,连接PA，PB，PC ∵ 点P在边AB的垂直平分线上 ∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） 同理,PB=PC. ∴ PA=PB=PC ∴ 点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上），即边AC的垂直平分线经过点 P. 教师示范 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 三角形三边垂直平分线交于一点，区别在于： 锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部； 直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点上； 钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部； 巩固拓展 课本P38第7题:某市打算修建一个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置到该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离应相等. （1）根据上述建议,试在图（1）中画出体育中心G的位置. （2）如果这三个城镇中心的位置如图（2）所示，∠RPQ 是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应建在什么位置？ 巩固拓展 （1）作线段 PQ、PR（或任意两边）的垂直平分线,其交点即为体育中心G的位置. （2）当∠RPQ为钝角时,体育中心G应建在△RPQ的外部（即 PQ、PR两边垂直平分线的交点,位于三角形外） 当堂检测 第1题图 1.如图，在中，分别以点和点 为圆心，大于 的长为半径画弧两弧相交于点，.作直线 ， 交于点，交于点，连接.若 ， ，则 的长为( ) C 11 B. 12 C. 13 D. 14 当堂检测 2.如图，若想建一个货物中转仓，使其到，， 三地的距离相等， 则如何选择中转仓的位置？请用尺规作图的方法设计出中转仓的位置 .（保留作图痕迹，不用说明理由） 解：如图，点 即为所求. 当堂检测 双垂直平分线模型 如图，在中， ，边 的垂直平分线 分别交，于点,，边的垂直平分线分别交,于点, ， 则 或 . 当堂检测 【例】 如图，在四边形中， ， . （1）在,上分别找一点,，使 的周长最小. 解：如图，分别作点关于和 的对称 点，，连接，交于点，交 于点，则点， 即为所求. （2）在（1）的条件下， ______. 反思总结 1.回顾本节课的作图与证明过程,你用到了哪些前几节课学过的线段垂直平分线或等腰三角形的相关知识？请举例说明. 2.对比“作已知底边和高的等腰三角形”与“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图思路,它们在方法上有什么共性？ 3.从尺规作图到逻辑证明的过程中,你体会到了哪些数学思想方法？这些方法对你后续学习几何有什么启发？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第37页 第1题 二、素养类作业 课本P37页 第2题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $