第十九章 二次根式（章节复习）课件-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次根式的概念、性质、运算及应用，通过导图指引和知识点梳理构建知识网络，串联最简二次根式、同类二次根式等核心概念与乘除加减运算法则，帮助学生形成完整知识体系。 其亮点在于采用“题型精讲-变式训练-分层提升”模式，如通过雨滴下落时间计算培养数学眼光，结合数轴化简二次根式训练数学思维，设置基础夯实与培优拔高分层练习，助力学生巩固知识，教师可精准教学提升复习效率。

第十九章 二次根式 人教版数学八年级下册章节复习培优精讲练 目录 CONTENTS 导图指引 01 知识点梳理 02 重点难点考点讲练 03 真题实战演练 04 难度分层训练 05 导图指引 01 PART 导图指引 知识点梳理 02 PART 形如 的式子叫做二次根式， 如 等式子，都叫做二次根式. 二次根式 二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式， 才有意义. 易错点拨 二次根式的性质 （1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），如 （ ）. （2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义. （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. （4） 与 的异同 不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数； = ， = （ ）. 相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = . 易错点拨 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 （1） （2） （3） （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 最简二次根式 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 易错点拨 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 易错点拨 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式. （1）乘除法法则： 乘除法 知识点梳理02：二次根式的运算 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法   积的算术平方根化简公式：   二次根式的除法   商的算术平方根化简公式：   【易错点拨】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 . （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 加减法 知识点梳理02：二次根式的运算 【易错点拨】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如 . 重点难点考点讲练 03 PART 题型1：求二次根式的值 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． （1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 题型1：求二次根式的值 【变式训练】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 解：∵， ∴， 故答案为：． 题型2：求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 解：∵是一个整数， ∴是一个平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 题型2：求二次根式中的参数 【变式训练】（24-25八年级下·河南许昌·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 题型3：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（23-24八年级下·四川内江·月考）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（      ） A． B． C． D． 解：∵由图可知，，， ∴ ． 故选：D． 题型3：利用二次根式的性质化简 【变式训练】（24-25八年级下·广东江门·月考） ． 解：． 故答案为：． 题型4：二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）估算的值在（      ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 解：， ， ， ， 的值在1和2之间， 故选：A． 题型4：二次根式的乘法 【变式训练】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．人们发现两个无理数的和，积，商不一定是无理数．已知一个无理数与的商是有理数．这个数可以是 ． 解：当这个无理数与的商是2时， 这个数为：， 故答案为：．（答案不唯一） 题型5：二次根式的除法 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 解：选项A：和不是同类二次根式，不能直接相加， ，不符合题意； 选项B：，，不符合题意；    选项C：，，不符合题意； 选项D：， 符合题意； 故选：D． 题型5：二次根式的除法 【变式训练】（23-24八年级下·河南濮阳·期中） ． 解：． 故答案为：3． 题型6：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 题型6：二次根式的乘除混合运算 解：如图，延长交于点， ∵， ∴与为直角三角形， ∵， ∴， ∴与为等腰直角三角形， ∴，， 假设， 则根据勾股定理得， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为， 故答案为：46． 题型7：最简二次根式的判断 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 解： A． ，不是最简二次根式，故错误； B． ，不是最简二次根式，故错误； C． ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误； D． 被开方数3是质数，无平方因子，故正确； 故选：D． 题型7：最简二次根式的判断 【变式训练】（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 解：A、 ，可化简，不是最简二次根式； B、 ，可化简，不是最简二次根式； C、，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、 ，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 题型8：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 解：A．，即该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B．，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选D． 题型8：化为最简二次根式 【变式训练】（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 解：． 故答案为： 题型9：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 题型9：已知最简二次根式求参数 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 题型10：同类二次根式 【典例精讲】（23-24八年级下·福建泉州·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：． 题型10：同类二次根式 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3． 题型11：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 解： A： 与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B： ，故本选项不符合题意； C：，故本选项符合题意； D： ，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型11：二次根式的加减运算 【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）计算： (1)； (2)． （1）解：原式． （2）解：原式． 题型12：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： (1)； (2)． （1） ； （2） 题型12：二次根式的混合运算 【变式训练】（23-24八年级下·吉林·期末）计算：． 解： ． 题型13：分母有理化 （2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 当时，原式． 解： ， 题型14：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”） 解：在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由三角形三边的关系可得，， ∴， 故答案为：． 题型14：比较二次根式的大小 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小： （填“＞”、“＜”或“=”）． 解：，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 题型15：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． （1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为： ． （2）解：长方体盒子的体积为：． （3）解：长方体盒子的侧面积为：． 题型15：二次根式的应用 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如果一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 解：长方形的面积为． 题型16：复合二次根式的化简 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：． 解：设，由二次根式的非负性可得， ∴ ． 真题实战演练 04 PART 1．（2024·湖南长沙·中考真题）化去式子根号内的分母，结果为（    ） A． B． C． D． 解：． 故选：D． 中考真题 2．（2024·全国·中考真题） 计算： ； ． 中考真题 ． 解： ． 3．（2024·四川南充·中考真题）计算：． 解： ． 中考真题 难度分层训练 05 PART 基础夯实 1．（23-24八年级下·重庆江津·期末）估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在6和7之间， 故选：D． 分层训练 基础夯实 2．（2025·山西大同·一模） ． 解：， 故答案为：． 分层训练 基础夯实 3．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算：． 解： ． 分层训练 培优拔高 1．（24-25八年级下·全国·月考）若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　） A． B． C． D．或 解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于， 所以不满足三角形的三边关系； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，， 由于 所以满足三角形的三边关系，此时周长为 综上可知，三角形的周长为． 故选：A． 分层训练 培优拔高 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：，则 ． 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 分层训练 培优拔高 3．（24-25八年级下·云南红河·期中）计算：． 解： ． 分层训练 谢谢大家 $