第9章 因式分解（章节复习检测基础卷）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册章节复习检测卷

2025-2026学年苏科版数学八年级下册章节复习检测基础卷（新教材） 第9章 因式分解 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级下·全国·周测）若多项式的公因式是，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【思路引导】公因式的确定需要取各项系数的最大公约数，以及各项都含有的相同字母的最低次幂．本题中，公因式是，说明在多项式中，的最低次幂是，因此的次数必须不小于． 【完整解答】解：A、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； B、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； C、当时，的次数为，小于，此时公因式中的次数应为，不符合题意； D、当时，的次数为，不小于，此时公因式中的次数应为，符合题意． 故选：D． 【考点再现】本题考查了知识点公因式的确定方法，解题关键是明确公因式中相同字母的指数取各项中最低的那个，因此需要保证． 2．（25-26八年级上·山东淄博·月考）把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了利用提公因式法进行多项式因式分解，先通过变形将多项式中互为相反数的因式化为相同形式，再提取公因式，最后对剩余部分继续分解因式，再分析各选项的正误即可． 【完整解答】解： ． 故选：A． 3．（24-25八年级下·广东揭阳·月考）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【思路引导】本题考查了提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 先对代数式因式分解，再求得，进而代值解题即可． 【完整解答】解：， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【完整解答】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 5．（25-26八年级下·全国·周测）对于任意整数，多项式都能（    ） A．被3整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】A 【思路引导】本题考查了平方差公式因式分解，整除的性质，掌握因式分解是判断代数式整除性的关键． 将多项式利用平方差公式因式分解，提取公因式后可知该表达式恒含有因子3，因此能被3整除． 【完整解答】解：∵ = = = =， ∴对于任意整数，该多项式均含有因子，故能被整除 其他选项不一定成立，例如当时选项B无意义；当时选项C不成立；当时选项D不成立． 故选：A． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【思路引导】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【完整解答】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【完整解答】解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 8．（24-25八年级下·广东河源·期末）若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【完整解答】题目主要考查因式分解的应用，三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解题关键 根据平方差公式和提取公因式即可得，再由三角形三边关系得出，得，即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴，     ∴， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 故选：B． 9．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题主要考查的因式分解，利用因式分解将已知条件化简，再通过展开目标表达式并合并同类项，发现其与已知条件中的代数式相等，从而得出结果． 【完整解答】已知 化简 由已知条件可知该式值为3 故选：C． 10.（24-25七年级下·浙江温州·月考）因式分解：，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查用平方差公式因式分解．先将用平方差公式因式分解得，再结合题意，即可求解． 【完整解答】解：∵， 又∵， ∴， 故选：D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【完整解答】解： ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知，，则多项式的值为 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解和代数式求值．将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题． 【完整解答】解： ， ，， 原式， 故答案为：． 13．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．根据找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母，进而得出答案． 【完整解答】解：将多项式分解因式时，应提取的公因式是：． 故答案为：． 14．如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为 ． 【答案】 【思路引导】本题需要计算一个无盖长方体纸盒的底面积与侧面积的差，并进行因式分解．主要用到的概念有面积计算和因式分解． 【完整解答】解：由图可知，底面积为，侧面积为， ， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·全国·周测）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，因式分解简化计算，掌握观察式子结构并构造平方差的方法是解题的关键． 通过观察，该表达式可以运用平方差公式进行简化计算． 【完整解答】解：原式 = = = 计算得：， 因此原式 = = = 5.08． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键． 经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案． 【完整解答】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积， 而这个大长方形的长为，宽为，面积为， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键． 【完整解答】解： 可分解因式为，， 则， 故． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，均为正整数，且，．若，则的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，代数式求值，由题意得，则有，然后通过的正整数因数对为和，列出方程组，然后解方程组，再代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的正整数因数对为：和， ∴或， 解得：或， 综上所述，或， 故答案为：或． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题的关键； （1）利用提公因式法分解因式； （2）利用提公因式法分解因式． 【完整解答】（1）解： （2）解： ． 20．（本题6分）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：； 即， ∴； 即，， ∴，． 问题：若，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式、非负数的性质、负整数指数幂、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．仿照例题的方法将式子变形为，再利用非负数的性质求出的值，代入即可求解． 【完整解答】解：， 即， ∴， 即，， ∴，， ∴． 21．（本题8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)A (2) (3) 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形与交叉约分的技巧是解题的关键． （1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【完整解答】（1）解：图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． （2）解：，， ， ． （3）解：原式 22．（本题8分）（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3）[知识运用]  因式分解：． 【答案】（1）；（2）；；；（3） 【思路引导】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件找到因式分解的公式进行求解． （1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图3的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图4的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式； （3）根据（2）中公式直接因式分解即可； 【完整解答】解：（1）根据如图1、如图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于的等式， （2）如图3中的几何体的体积为； 图4的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：； （3）根据（2）中结论可得． 23．（本题8分）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形，卡片②是长为b，宽为a的长方形，卡片③是边长为b的正方形． (1)小明用2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，观察图形，通过面积的等量关系，发现代数式可以因式分解为 ； (2)小刚用1张卡片①，4张卡片②，4张卡片③无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长．（请用因式分解的方法解答） 【答案】(1) (2)正方形的边长为7.2 【思路引导】本题考查了因式分解法，数形结合思想，用不同方式表示矩形面积是解题关键． （1）图2面积可以用表示，即可得到，问题得解； （2）正方形的面积为，即可得到正方形的边长为，把代入即可求解． 【完整解答】（1）解：图2面积可以用表示， ∴． 故答案为：； （2）解：根据题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 当时，， ∴正方形的边长为7.2． 24．（本题8分）（23-24八年级下·四川巴中·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2)；；； (3) 【思路引导】本题考查了平方差公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值，利用提公因式法分解因式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，由此即可得； （2）分别表示出长方体的长宽高，从而根据长方体的体积公式分别表示出对应的体积，最后利用大正方体的体积减去小正方体的体积等于三个长方体的体积之和，并利用提公因式法因式分解即可； （3）由（）的结论结合完全平方公式因式分解，然后代入求值即可． 【完整解答】（1）解：图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为， 拼图前后图形的面积不变， ， 即因此可得一个多项式的因式分解为． 故答案为：． （2）解：如图所示，则得到的几何体的体积为：； ，，， 长方体的体积为， ，，， 长方体的体积为， ， 即可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为． 故答案为：；；；． （3）解：由（）可知，， ∵，， ， ． 25．（本题10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)如图①，观察可以发现代数式能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为_________． ②若，利用上面的规律求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题主要考查因式分解的应用，掌握该知识点并认真观察图形是解题的关键； （1）根据图①可知可表示为长，宽为的长方形面积，据此可以得出因式分解后的结果； （2）①通过不同的方法计算这个正方体的体积，等号连接即可；②根据题意得到，计算求解即可． 【完整解答】（1）解：根据图①可知可表示为长，宽为的长方形面积，那么有 ； （2）解：①这个正方体的体积可以表示为：， 也可以表示为， ∴， 故答案为：． ②因为， 所以． 26．（本题10分）阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为24 【思路引导】本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后按照例题的解题思路，进行计算即可解答． 【完整解答】（1）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是35， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为24． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学八年级下册章节复习检测基础卷（新教材） 第9章 因式分解 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（25-26八年级下·全国·周测）若多项式的公因式是，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（25-26八年级上·山东淄博·月考）把多项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东揭阳·月考）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 4．（24-25八年级下·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·周测）对于任意整数，多项式都能（    ） A．被3整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 8．（24-25八年级下·广东河源·期末）若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 9．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10.（24-25七年级下·浙江温州·月考）因式分解：，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ． 12．（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知，，则多项式的值为 13．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 14．如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为 ． 15．（25-26八年级下·全国·周测）计算： ． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解 ． 17．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，均为正整数，且，．若，则的值为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)． 20．（本题6分）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：； 即， ∴； 即，， ∴，． 问题：若，求的值． 21．（本题8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 22．（本题8分）（23-24八年级下·甘肃酒泉·期末）（1）[知识再现]  在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（），如图1，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式：_____________． （2）[知识迁移]  在棱长为a的正方体上挖去一个棱长为b（）的小正方体后余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）． 图3中的几何体的体积为_____________， 图4中的几何体的体积为_____________， 根据它们的体积关系得到关于a，b的等式_____________（结果写成整式的积的形式）． （3） [知识运用]  因式分解：． 23．（本题8分）在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形，卡片②是长为b，宽为a的长方形，卡片③是边长为b的正方形． (1)小明用2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，观察图形，通过面积的等量关系，发现代数式可以因式分解为 ； (2)小刚用1张卡片①，4张卡片②，4张卡片③无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长．（请用因式分解的方法解答） 24．（本题8分）（23-24八年级下·四川巴中·期中）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们可用此思想，来探索因式分解的一些方法． (1)探究一：将图的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的因式分解______． (2)探究二：类似地，我们借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图所示，则得到的几何体的体积为______．再将图中的几何体分割成三个长方体、、，如图所示，则根据图中的数据，长方体的体积为．类似地，表示出长方体的体积为______，长方体的体积为______．当用两种不同的方法表示图中几何体的体积时，就可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为______． (3)问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知，，求的值． 25．（本题10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)如图①，观察可以发现代数式能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为_________． ②若，利用上面的规律求的值． 26．（本题10分）阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $