专题9.5 高频易错题题型训练（第九章 因式分解）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题9.5 高频易错题题型训练 （第九章 因式分解） 【苏科版八下●新教材】 易错题型一 判断是否是因式分解 1．（23-24八年级上·河南信阳·月考）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【完整解答】解：．等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； ．等式左右不相等，故本选项不符合题意； ．等式左右不相等，故本选项不符合题意； ．等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意； 故选：． 2．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【完整解答】解：、，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意． 故选：． 【考点再现】此题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，解题的关键是正确理解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 3．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据因式分解：把一个整式化为几个因式的积的形式，从而可以得到答案． 【完整解答】解：A．没有把化成因式的积的形式，故A选项错误； B．从左到右，不是把一个整式化为几个因式的积的形式，故B选项错误； C．没有把化成因式的积的形式，故C选项错误； D．是把化为几个因式的积的形式，是因式分解，故D选项正确； 故选：D． 【考点再现】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的定义是解题关键． 易错题型二 已知因式分解的结果求参数 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【思路引导】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 5．（23-24八年级上·湖南怀化·开学考试）【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则________； (2)若有一个因式是，求的值及另一个因式． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】（1）将展开，再根据题干的方法即可求解； （2）设多项式另一个因式为，利用题干给出的待定系数法求解即可． 【完整解答】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设多项式另一个因式为， 则 ，，， ，， ，即另一个式子为：． 【考点再现】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键． 6．仔细阅读下面例题，解答问题 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得， 另一个因式为，的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值： (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为5 (2)另一个因式为，的值为6 【思路引导】（1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【完整解答】（1）解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：， 另一个因式为，的值为5； （2）解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：， 另一个因式为，的值为6． 【考点再现】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 易错题型三 公因式 7．（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【完整解答】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 8．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【完整解答】解：， 故选：A． 【考点再现】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 9．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是 ． 【答案】2x 【思路引导】按照公因式的提取方法提取公因式即可． 【完整解答】解： 多项式的公因式为2x． 故答案为：2x． 【考点再现】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 易错题型四 提公因式法分解因式 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可； （2）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【思路引导】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【完整解答】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 12．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【完整解答】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 【考点再现】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 易错题型五 判断能否用公式法分解因式 13．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提取公因式4，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案； （2）应用平方差公式进行求解即可得出答案． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： 【考点再现】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法与公式法进行求解是解决本题的关键． 14．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据完全平方公式的特点判断即可； 【完整解答】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【考点再现】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 15．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【完整解答】解：A、是x2与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、两项的符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； D、去括号后结果为x2，不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； 故选：C． 【考点再现】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点． 易错题型六 平方差公式分解因式 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)A (2) (3) 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形与交叉约分的技巧是解题的关键． （1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【完整解答】（1）解：图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． （2）解：，， ， ． （3）解：原式 17．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)为等腰三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． （1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解； （2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解． 【完整解答】（1）解：①； ② （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 18．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则________． ②计算：． ③计算： 【答案】(1) (2)①；②；③ 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式、灵活变形是解题的关键． （1）根据两个图形的面积相等即可得到答案； （2）①根据平方差公式解答即可； ②先把所求式子中的数据两两结合运用平方差公式，再计算加法即可； ③先将每一项利用平方差公式分解因式，再计算乘法即得答案． 【完整解答】（1）图①阴影部分的面积是，图②阴影部分的面积是， 因为两个阴影部分的面积相等， 所以上述操作能验证的等式是； 故答案为：； （2）①∵，， ∴ ； 故答案为： ② ； ③ ． 易错题型七 完全平方公式分解因式 19．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：； 即， ∴； 即，， ∴，． 问题：若，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式、非负数的性质、负整数指数幂、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．仿照例题的方法将式子变形为，再利用非负数的性质求出的值，代入即可求解． 【完整解答】解：， 即， ∴， 即，， ∴，， ∴． 20．（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【思路引导】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【完整解答】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 21．（24-25八年级下·广东梅州·月考）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 易错题型八 综合运用公式法分解因式 22．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 23．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： ，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【完整解答】（1）解： （2）解：． 24．（24-25八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)9 (3) (4)，，16 【思路引导】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，完全平方公式的应用， （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质可得，，进而可得的值； （3）用减得，利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可； （4）利用配方法将多项式转化为完全平方式，然后利用非负数的性质进行解答即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∴，即； （4）解： ， ∴当且时，有最小值16， 此时得：，， ∴，时，多项式有最小值为16． 易错题型九 综合提公因式和公式法分解因式 25．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）分解因式= ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 26．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 27．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，90 (3) 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【完整解答】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）有图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 易错题型十 因式分解在有理数简算中的应用 28．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【思路引导】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【完整解答】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 29．（23-24七年级下·北京昌平·期末）观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)写出第4个等式：_______； (2)用含n的等式表示你的猜想并证明； (3)计算： =_______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【思路引导】（1）通过观察可得第4个式子； （2）通过观察可得第n个式子，根据完全平分公式进行换算即可证明答案； （3）利用规律逆向计算，再利用平方差公式进行计算即可． 【完整解答】（1）解：第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：猜想用含n的等式表示为：， 证明： ， 故用含n的等式表示为：； （3）解： ， 故答案为：． 【考点再现】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键． 30．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；② (2)2024 【思路引导】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键． （1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可； ②利用换元法进行因式分解即可； （2）设，，则原式，整体代入计算即可． 【完整解答】（1）①该同学没有完成因式分解； 设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ． ∴最后的结果为． ②设， 原式 ． ； （2）设，， 则， ， 原式 ． 易错题型十一 十字相乘法 31．（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【思路引导】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【完整解答】（1）解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 32．（24-25八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查了已知因式分解的结果求参数，十字相乘法分解因式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． （1）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出另一个因式． 【完整解答】（1）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 33．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）利用换元法即可得出结果； （2）模仿上述方法逐步进行因式分解即可． 【完整解答】（1）解：设，则原代数式化为， 故答案为：； （2）解：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 易错题型十二 分组分解法 34．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）9． 【思路引导】（1）根据题意，得，提取公因式解答即可； （2）根据题意，得，后因式分解解答即可； （3）根据题意，得，根据非负性，确定a，b的值，再利用三角形三边关系定理，结合边长为正整数的属性，解答即可． 本题考查了分组分解法分解因式，实数的非负性，三角形三边关系定理，正整数的属性，熟练掌握因式分解，非负性，三角形三边关系定理是解题的关键． 【完整解答】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：由得， 故， 解得， 故c的取值范围为即， 由的三边长、、都是正整数， 故， 故的周长为． 35．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式3，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先把第一项和第二项用平方差公式分解因式，把第三项和第四项提公因式2，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． 【完整解答】（1）解： ． （2）解： ． 36．（24-25七年级下·河北承德·期末）通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【完整解答】（1）解： （2）解： 因为， 所以； （3）解： 易错题型十三 因式分解的应用 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）李老师在黑板上写下一道题目： 先因式分解，再计算求值： ，其中． 李华看到题目马上说：“没有给出的值，不能算出最终结果．”杨力反驳道：“不用给出的值就可以计算出最终结果．”他们两人谁说的对？请说明你的理由． 【答案】杨力说的对，理由见解析 【思路引导】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握分组分解和提取公因式的方法是解题的关键，当因式分解后出现含已知值的因子为时，结果与其他变量无关． 对多项式分组并提取公因式，因式分解后，代入观察结果是否与无关，从而判断两人说法的对错． 【完整解答】解：杨力说的对．理由如下： 原式 ． ， ， 原式， 杨力说的对． 38．阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求n的值． 解法：设（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知多项式有一个因式是，求m的值． (2)已知多项式有因式和，求m和n的值． 【答案】(1) (2)，． 【思路引导】本题考查了因式分解的实际应用，解一元一次方程，解二元一次方程组，首先应该仔细分析题干内容，理解解决这类高次多项式求参数的通用方法，再运用方程的思想进行解题，读懂题意是解题关键． （1）设（A为整式），然后代入，解方程即可； （2）设（A为整式），分别代入和，然后联立解方程组即可得出答案． 【完整解答】（1）解：设（A为整式） 取， 则， 解得：； （2）解：设（A为整式） 当时，可得① 当时，可得  ② 联立①②得， 解得： 故，． 39．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【思路引导】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【完整解答】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【考点再现】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.5 高频易错题题型训练 （第九章 因式分解） 【苏科版八下●新教材】 易错题型一 判断是否是因式分解 1．（23-24八年级上·河南信阳·月考）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 易错题型二 已知因式分解的结果求参数 4．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 5．（23-24八年级上·湖南怀化·开学考试）【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成， 展开等式右边得：， 恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即， 解得， ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则________； (2)若有一个因式是，求的值及另一个因式． 6．仔细阅读下面例题，解答问题 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得， 另一个因式为，的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值： (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 易错题型三 公因式 7．（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 8．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 9．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是 ． 易错题型四 提公因式法分解因式 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 12．下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 易错题型五 判断能否用公式法分解因式 13．分解因式： (1)； (2)． 14．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 15．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（         ） A． B． C． D． 易错题型六 平方差公式分解因式 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 17．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 18．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示）． (1)上述操作能验证的乘法公式是________． (2)请应用（1）中的等式完成下列各题： ①已知，，则________． ②计算：． ③计算： 易错题型七 完全平方公式分解因式 19．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求m和n的值． 解：； 即， ∴； 即，， ∴，． 问题：若，求的值． 20．（24-25八年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 21．（24-25八年级下·广东梅州·月考）我们把多项式 和 叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 ． 例如：求多项式 的最小值，由 可知，当时，多项式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值． 易错题型八 综合运用公式法分解因式 22．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 23．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式： ，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 24．（24-25八年级上·四川乐山·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 例如：求代数式的最小值．可知 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)若满足，求的值； (3)已知,（为任意实数），比较的大小； (4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 易错题型九 综合提公因式和公式法分解因式 25．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）分解因式= ． 26．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 27．（24-25八年级上·云南迪庆·期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 易错题型十 因式分解在有理数简算中的应用 28．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 29．（23-24七年级下·北京昌平·期末）观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)写出第4个等式：_______； (2)用含n的等式表示你的猜想并证明； (3)计算： =_______． 30．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 易错题型十一 十字相乘法 31．（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 32．（24-25八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 33．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 易错题型十二 分组分解法 34．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）七年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）已知的三边长、、都是正整数，满足，求的周长． 35．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”． 请在这种方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 36．（24-25七年级下·河北承德·期末）通过学习，我们因式分解的目的是把一个多项式变成几个整式的积的形式，常用的方法有提公因式法和公式法，其实某些特殊的多项式还会有下面的方法．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 易错题型十三 因式分解的应用 37．（25-26八年级下·全国·课后作业）李老师在黑板上写下一道题目： 先因式分解，再计算求值： ，其中． 李华看到题目马上说：“没有给出的值，不能算出最终结果．”杨力反驳道：“不用给出的值就可以计算出最终结果．”他们两人谁说的对？请说明你的理由． 38．阅读材料： 已知多项式有一个因式是，求n的值． 解法：设（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算取，则，解得． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知多项式有一个因式是，求m的值． (2)已知多项式有因式和，求m和n的值． 39．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $