专题9.4 因式分解（章节复习）导图+知识梳理+十三大题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

专题9.4 因式分解（章节复习） 【解析版】 知识点一 平方差公式 平方差公式： 知识点二 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点三 完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 知识点四 拓展、补充公式 ；； ；. 知识点五 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 知识点六 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点七 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点八 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点九 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 知识点十 十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0)中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即a  a1  a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 题型一 判断是否是因式分解 【典例精讲】（23-24八年级下·江西抚州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查分解因式的定义，解题的关键是理解：因式分解就是把一个多项式写成几个整式的乘积的形式．据此分析即可． 【完整解答】解：A．从左边到右边的变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B．从左边到右边的变形是因式分解，故此选项符合题意； C．等式的左右两边不相等，应改为，故此选项不符合题意； D．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【完整解答】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意； 、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意； 、该式从左边到右边是因式分解，符合题意； 、该式左边不能因式分解，不合题意； 故选：． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【思路引导】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【完整解答】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南长沙·月考）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【完整解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 题型三 公因式 【典例精讲】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【完整解答】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 【变式训练】单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式； 【完整解答】与的公因式是， 故选：D． 【考点再现】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 题型四 提公因式法分解因式 【典例精讲】．（25-26八年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【完整解答】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，利用因式分解求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握提取公因式将代数式转化为含已知条件的形式是解题的关键． 观察代数式结构，提取公因式，化简后转化为含和的形式，再代入已知条件求值． 【完整解答】解：原式． ，， 原式． 题型五 判断能否用公式法分解因式 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【完整解答】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【完整解答】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 题型六 平方差公式分解因式 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）请阅读以下因式分解的过程： ． 这种因式分解的方法叫做配方法．请用配方法分解因式： 【答案】 【思路引导】本题主要考查因式分解，仿照题干利用配方法进行因式分解． 【完整解答】解： ． 【变式训练】（24-25八年级下·山西太原·月考）教科书中这样写道：“我们把多项式与叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如： ； ，则当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)，最大值是11 【思路引导】本题考查用配方法进行因式分解、非负数的性质，熟练掌握用配方法进行因式分解和非负数的性质是解题的关键． （1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法可得，即可求解； 【完整解答】（1）解： ， ， 故答案为： ； （2）解： ， 则当时，多项式有最大值，最大值是11； 题型七 完全平方公式分解因式 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解…”． (1)请用公式法因式分解； (2)若一个多项式为，请用题干中的方法因式分解此多项式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）令，利用完全平方公式分解因式即可； （2）令，整理后利用完全平方公式分解即可． 【完整解答】（1）解：令， ， 把代入，得原式． （2）解：令， ， 把代入，得原式． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填序号）； A．提取公因式法                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)第四步的结果还______（填“能”或“不能”）继续因式分解，如能，直接写出结果：______； (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； (4)借鉴以上方法求方程的解． 【答案】(1)C (2)能， (3) (4)或． 【思路引导】题目主要考查利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握整体思想和乘法公式分解因式是解题关键． （1）由题意可直接得出结果； （2）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （3）仿照例题利用完全平方公式进行因式分解即可． （4）设，利用完全平方公式进行因式分解即可求出y的值，再将代入，再进行因式分解即可得出x的值． 【完整解答】（1）解：第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：能， 故答案为：能；； （3）解：设， ∴ （4）解：设 即， 整理得： ， ∴， ∴， 即 ∴或． 题型八 综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业． 因式分解：． 小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式． 张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目． (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）分组后然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （3）将看成整体，令，进行因式分解，再将“B”还原代入，再次因式分解即可． 【完整解答】（1）解： （2）解： ； （3）解：令， 则 ． 将代入，得 原式． 【变式训练】（24-25八年级上·河南许昌·期末）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数_____； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，有最大值，最大值是5 【思路引导】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． （1）先将配方得，然后根据是一个完全平方式得，由此即可得出的值； （2）先配成完全平方，再用平方差公式分解； （3）先配方，再求最值． 【完整解答】（1）解： ， 是一个完全平方式， ， ， 故答案为：4； （2）解： （3）解：． ． 当时，有最大值，最大值是5． 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·周测）因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）综合提公因式以及公式法分解因式即可； （3）将 看作整体，结合符号转化，构造完全平方公式分解因式即可． 【完整解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【考点再现】本题主要考查了分解因式，选择合适的方法进行因式分解是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级下·河南郑州·期末）（1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）（2） 【思路引导】（1）先观察多项式各项是否存在公因式，提取公因式后再看是否能用公式继续分解． （2）观察式子特点，发现式子中两项都含有，可利用提取公因式法将提取出来，然后对括号内式子使用平方差公式进行计算． 本题主要考查了因式分解（提取公因式法和公式法）以及利用因式分解进行计算，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题的关键． 【完整解答】解：（1）原式 . （2）原式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．由题意利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【完整解答】解：∵ ， ∵，， ∴， 故选：D． 【变式训练】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【思路引导】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【完整解答】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 题型十一 十字相乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1)； (2)①；② 【思路引导】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）直接根据材料1，仿照例题即可求解； （2）①令，仿照例题即可求解； ②令，先计算乘法，再因式分解即可． 【完整解答】（1）解：； （2）解：①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式． 【变式训练】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）5或7或或（3） 【思路引导】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，进行两次因式分解解答即可． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，此时； ，此时； ，此时； ，此时； 则整数m的所有可能值是5或7或或． （3）解： ． 题型十二 分组分解法 【典例精讲】阅读理解： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 解决问题： (1)分解因式：； (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形． 【思路引导】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义． （1）先将前三项分为一组，运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解即可； （2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 【变式训练】阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【思路引导】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 题型十三 因式分解的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下所示的练习本上书写的是一个正确的因式分解，但其中一部分因被墨水污染而看不清了． (1)求被墨水污染的部分； (2)若被墨水污染的部分的值等于2，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了因式分解的定义和整式的运算，解一元一次方程等知识点，能够求出被墨水污染的一次式是解此题的关键． （1）根据题意得出被墨水污染的一次式是，去括号，合并同类项即可； （2）根据题意得出方程，解方程求出即可． 【完整解答】（1）解：被墨水污染的部分是 ； （2）解：根据题意，得， 解得． 【变式训练】（24-25八年级上·福建泉州·期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)84 【思路引导】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． 【演练1】（2024·辽宁丹东·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 【演练2】（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【完整解答】解：． 故选：A 【演练3】（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【完整解答】解：∵，， ， 故答案为：2． 【演练4】（2024·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【完整解答】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【考点再现】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【演练5】（2024·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】(1) (2) (3)，9 【思路引导】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，，整体代入得出答案即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ∴根据题意得，， ∴原式． 【考点再现】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． 基础夯实 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路引导】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键． 将每一组因式分解，找到公因式即可得到答案． 【完整解答】解：A、，，有公因式，不符合题意； B、多项式与没有公因式，符合题意； C、由，得，有公因式，不符合题意； D、，有公因式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东淄博·月考）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用． 利用平方差公式因式分解，并代入已知条件计算． 【完整解答】解：∵， ∴ ． 故选：B． 3．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可． 【完整解答】解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、，不属于因式分解，该选项不符合题意； D、，是因式分解，该选项符合题意； 故选：D． 4．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题重点考查因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法和公式法（如平方差公式、完全平方公式）是解题的关键． 利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答． 【完整解答】A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误， 故选：B． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果把多项式因式分解得，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，正确的计算是解题的关键． 通过展开因式分解后的表达式，比较系数，求出和的值，然后计算它们的乘积． 【完整解答】解：展开 得 ， 与 比较系数，得 和 ， 解得 ，， 所以 ． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则表示的多项式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 将等式左边提取公因式，然后化简得到． 【完整解答】解：左边： 其中 ， 右边： ， 因此， 故答案为：． 7．分解因式： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【完整解答】解： 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2)有最大值，最大值为 【思路引导】本题主要考查了完全平方式的定义，用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键． （1）根据“完全平方式”的特点逐个判断即可； （2）利用完全平方公式把原代数式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【完整解答】（1）解：①②④都不是完全平方式，，则③是完全平方式； （2）解： ， ， ∴ ． 有最大值，最大值为． 9．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】本题考查了完全平方式，配方法，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，即添上一个常数项为； （2）理解题意，模仿做题过程，得，即可作答． 【完整解答】（1）解：依题意，， 故是完全平方式， 即添上一个常数项为； （2）解：依题意， ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)A (2) (3) 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形与交叉约分的技巧是解题的关键． （1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【完整解答】（1）解：图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． （2）解：，， ， ． （3）解：原式 培优拔高 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有一条信息，信息中，，，，，分别对应下列六个字：春、爱、我、宜、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．宜春游 C．我爱宜春 D．美我宜春 【答案】C 【思路引导】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 先对给定表达式进行因式分解，提取公因式后利用平方差公式分解，得到四个因式，再根据密码手册中的对应关系找出对应的汉字，组合后与选项对比． 【完整解答】解：∵ 原式   ， 又∵ 对应“我”， 对应“爱”， 对应“宜”， 对应“春”， ∴ 结果呈现的密码信息为“我爱宜春”， 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 【答案】A 【思路引导】本题考查利用平方差公式进行因式分解的应用，熟练进行因式分解，再结合三角形的三边关系，判断每个因式的符号，进而判断积的符号是解题的关键． 将代数式因式分解为平方差形式，利用三角形三边关系判断每个因式的正负，从而确定整个式子的符号. 【完整解答】解：∵ = = 又∵ 为三角形的三边， ∴ ，，， ∴ ，且 ， ∴ ∴ 代数式的值一定为负数. 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了二项式□（“□”表示漏抄的部分）中前的式子．若该二项式能因式分解，则“□”不可能是（   ） A． B．4 C．－4 D．16 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案． 【完整解答】解：A、，该二项式能因式分解，故此选项不符合题意； B、，该二项式能因式分解，故此选项不符合题意； C、，该二项式不能因式分解，故此选项符合题意； D、，该二项式能因式分解，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·周测）词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律．李华令，，，，，分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼．现请你将因式分解，结果呈现的词牌名可能为（    ） A．乌江夜 B．啼西月 C．西江月 D．乌夜啼 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解，掌握因式分解的步骤是解题的关键． 将给定的多项式因式分解，得到 ，然后根据每个因式对应的字组合成词牌名． 【完整解答】解：∵ ， ∴对应“乌”，对应“夜”，对应“啼”， ∴结果呈现的词牌名为“乌夜啼”， 故选：D． 5．（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【完整解答】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 6．（25-26八年级下·全国·周测）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 【答案】111353（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握因式分解的步骤是解题的关键． 对多项式进行因式分解，然后代入数值计算各因式的值，组合成密码． 【完整解答】解：多项式 提取公因式得 ，再利用平方差公式分解为 当 ， 时， ， 因此产生的密码可以是 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： ． 【答案】 【思路引导】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式进行因式分解，化简后再提公因式即可． 【完整解答】解：原式 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键． 经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案． 【完整解答】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积， 而这个大长方形的长为，宽为，面积为， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解的平方差公式，以及多项式的展开与合并同类项，掌握识别平方差形式和先化简再分解的技巧是解题的关键． （1）将式子看作平方差形式，把和分别视为和，再用平方差公式分解； （2）先展开多项式，合并同类项后得到平方差形式，再用平方差公式分解． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 10．阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了完全平方公式，平方差公式，因式分解，根据公式合理变形是求解的关键．先将变形为，再将代入可得，根据非负数的性质即可得证． 【完整解答】解：已知，则， ∵， 即， ， ， ， 则， ∴， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4 因式分解（章节复习） 【原卷版】 知识点一 平方差公式 平方差公式： 知识点二 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点三 完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 知识点四 拓展、补充公式 ；； ；. 知识点五 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 知识点六 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点七 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点八 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点九 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 知识点十 十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0)中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即a  a1  a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 题型一 判断是否是因式分解 【典例精讲】（23-24八年级下·江西抚州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南长沙·月考）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 题型三 公因式 【典例精讲】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 题型四 提公因式法分解因式 【典例精讲】．（25-26八年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，利用因式分解求的值． 题型五 判断能否用公式法分解因式 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 题型六 平方差公式分解因式 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）请阅读以下因式分解的过程： ． 这种因式分解的方法叫做配方法．请用配方法分解因式： 【变式训练】（24-25八年级下·山西太原·月考）教科书中这样写道：“我们把多项式与叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如： ； ，则当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 题型七 完全平方公式分解因式 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把‘’看作一个整体，就能用公式法分解…”． (1)请用公式法因式分解； (2)若一个多项式为，请用题干中的方法因式分解此多项式． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： (1)该同学第二步到第三步的变形运用了______（填序号）； A．提取公因式法                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)第四步的结果还______（填“能”或“不能”）继续因式分解，如能，直接写出结果：______； (3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解； (4)借鉴以上方法求方程的解． 题型八 综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业． 因式分解：． 小明：将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，可以得到原式． 张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做法完成下列题目． (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)因式分解：． 【变式训练】（24-25八年级上·河南许昌·期末）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：；，则当时，有最小值，最小值是－8． 任务： (1)若多项式是一个完全平方式，则常数_____； (2)用配方法分解因式：； (3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·周测）因式分解： (1) ． (2)． (3)． 【变式训练】（24-25八年级下·河南郑州·期末）（1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：． 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，则代数式的值是（　　） A．2 B． C．15 D． 【变式训练】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 题型十一 十字相乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且．则可以把因式分解成，例如： ①； ②． 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式． 上述解题用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【变式训练】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现： 形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）， 即（p，q为整数）． 反之，（p，q为整数）． 由于因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以形如（p、q为整数）的多项式，可因式分解成．例如： 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是 ； 【拓展应用】（3）分解因式：． 题型十二 分组分解法 【典例精讲】阅读理解： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 解决问题： (1)分解因式：； (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 【变式训练】阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 题型十三 因式分解的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下所示的练习本上书写的是一个正确的因式分解，但其中一部分因被墨水污染而看不清了． (1)求被墨水污染的部分； (2)若被墨水污染的部分的值等于2，求的值． 【变式训练】（24-25八年级上·福建泉州·期中）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【演练1】（2024·辽宁丹东·中考真题）分解因式： ． 【演练2】（2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【演练3】（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【演练4】（2024·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【演练5】（2024·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】 (1)请用分组分解法将因式分解； 【挑战】 (2)请用分组分解法将因式分解； 【应用】 (3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 基础夯实 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25九年级上·山东淄博·月考）已知，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A． B． C． D． 4．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果把多项式因式分解得，那么 ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则表示的多项式为 ． 7．分解因式： ． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 9．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料： 用配方法因式分解：． 解：原式． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________． (2)用配方法因式分解：． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 培优拔高 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有一条信息，信息中，，，，，分别对应下列六个字：春、爱、我、宜、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．宜春游 C．我爱宜春 D．美我宜春 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了二项式□（“□”表示漏抄的部分）中前的式子．若该二项式能因式分解，则“□”不可能是（   ） A． B．4 C．－4 D．16 4．（25-26八年级下·全国·周测）词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律．李华令，，，，，分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼．现请你将因式分解，结果呈现的词牌名可能为（    ） A．乌江夜 B．啼西月 C．西江月 D．乌夜啼 5．（24-25八年级下·广东深圳·期中）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 6．（25-26八年级下·全国·周测）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解 ． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． 10．阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①；②．现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：，这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平方差公式．灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解． 例如：因式分解： 解：原式 你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？ 已知实数，，满足且，求证： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $