精品解析：天津市耀华中学2025-2026学年度高一年级第一学期期末学情调研数学学科试题

天津市耀华中学2025-2026学年度第一学期期末学情调研 高一年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟． 第I卷（选择题共56分） 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合第一象限角锐角小于90°的角，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题：是第二象限角或第三象限角，命题：，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 11 6. 若点关于y轴的对称点仍然在函数的图象上，称点是函数的“好点”.函数的“好点”有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 若不等式在上有解，则的取值范围是（ ） A. B. ． C. D. 8. 已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A B. C. D. 9. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数（）值域为（ ） A. B. C. D. 12. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 点是函数图象的对称中心 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上的值域是 13. 已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 14. 设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共44分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上 15. 已知，不等式成立的角x的集合是_______． 16. ___________ 17. 一个扇形弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 18. 函数的定义域为___________． 19. 已知，，则______． 20. 已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共3小题，共26分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 21. 已知函数. （1）化简； （2）已知都是锐角，，求的值. 22. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时x的值； （3）当时，求的单调递增区间． 23. 已知函数，． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，讨论方程的根的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2025-2026学年度第一学期期末学情调研 高一年级数学学科 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟． 第I卷（选择题共56分） 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1. 已知集合第一象限角锐角小于90°的角，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出三个集合的范围，进而结合特殊角度判断ABC，根据判断D. 【详解】由题知第一象限角， 锐角，小于90°的角 对于A，三个集合的范围完全不同，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，，但，故错误； 对于D，，故正确. 故选：D 2. 命题：是第二象限角或第三象限角，命题：，则是的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】若是第二象限角或第三象限角，则，举反例得到不必要性，得到答案. 【详解】若是第二象限角或第三象限角，则； 若，取，，此时不是第二象限角或第三象限角； 综上所述：是的充分不必要条件. 故选：C. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据函数值的符号，可排除C. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除AB； 当时，，故排除C. 故选：D 4. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的范围，分别求得的范围，即可比较大小. 【详解】∵， ∴，∴； ，∴； ，∴， ∴. 故选：B. 5. 已知角满足，则（ ） A. B. C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】利用正余弦的齐次式化为的代数式，代入值即可求解. 【详解】因为角满足，所以的终边不在坐标轴上，所以， 所以 . 故选：A. 6. 若点关于y轴的对称点仍然在函数的图象上，称点是函数的“好点”.函数的“好点”有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由好点新定义，结合函数图像的对称即可求解； 【详解】解：因为的图象与的图象关于y轴对称， 所以“好点”的个数即方程解的个数， 在同一直角坐标系中，作出函数、的图象， 由图知有两个交点，所以函数有两个“好点”. 故选：C 7. 若不等式在上有解，则的取值范围是（ ） A. B. ． C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，分类讨论，结合函数单调性和函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递增， 可得， 故不等式在上有解，满足要求； 若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 同一坐标系内画出和在的图象，如下： 要想在上有解，需满足 ，即，解得， 故的取值范围为. 故选：C 8. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由题知，，，再待定系数求解即可. 【详解】由题知，周期满足， 所以，解得， 又因为，即 所以，即 又，所以， 所以. 故选：D 9. 函数的零点所在区间为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理，即可求得函数的零点所在的区间. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 当时，， ， ， 因为，所以， ， 所以，所以的零点所在区间为. 故选：C． 10. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求出函数的周期及其在区间上的表达式即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴，∴的周期为4， 当时，，则， 又∵为奇函数，∴，∴当时，， 又∵，且， ∴， 故选：B. 11. 函数（）的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 12. 将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 点是函数图象的对称中心 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上的值域是 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的平移变换得到，进而结合正弦函数的性质判断各选项即可. 【详解】将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得到函数的图象， 再向左平移个单位，可得的图象. 对于A，， 则直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，， 则点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上有增有减， 所以函数在上有增有减，故C错误； 对于D，当时，， 则，即，故D正确. 故选：D 13. 已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 12 B. 10 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由得函数周期是，又偶函数，且在时，，因此可得，作出的图象，及时的图象，观察其交点个数，再由对称性得结交点个数，从而可得所求零点个数． 【详解】解：由得函数周期是，又偶函数， 且在时，，因此可得， 是偶函数，作出函数与时，的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有5个交点. 又函数与均为偶函数， 所以函数的零点个数是10.， 即函数的零点个数是10． 故选：B． 【点睛】本题考查求函数零点个数，解题关键是由周期性，偶函数，及一个区间上的表达式确定出的解析式，然后作出函数和的图象，得函数图象交点个数，得函数零点个数． 14. 设函数且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，确定的范围并求出的范围，结合方程的根把目标式表示为的函数，再求出函数值域即可. 【详解】依题意，当时，，当时，为方程， 即的两个根，则， 又当时，，当且仅当时取等号， 作出函数的图象，观察图象知，当且仅当时，方程恰有3个不同的实根， 由，得， ，而当或时，， 因此，所以的取值范围是. 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题共44分) 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上 15. 已知，不等式成立的角x的集合是_______． 【答案】或. 【解析】 【分析】结合特殊点函数值，得到不等式解集. 【详解】，有， ，故或， 故解集或. 故答案为：或. 16. ___________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系切化弦及两角和差的正弦公式、二倍角公式即可化简计算. 【详解】原式 ． 故答案为：8. 17. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 18. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式，利用正切函数的图象和性质即可求出定义域. 【详解】由函数，得，即， 由的定义域为 ， 函数在每个区间内单调递增，且当时，解得. 故可解得. 故答案为：. 19. 已知，，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先将已知条件的两个等式分别平方，再相加，利用三角函数的平方关系和两角和的正弦公式化简求解. 【详解】， 整理得： 化简得：. 故答案为：. 20. 已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分析函数的性质，再结合方程的解的个数来确定的关系，进而求出的取值范围. 【详解】的定义域为， ，是偶函数， 又当时，；当时，， ，则的图象如下： 令，， 关于的方程恰有6个不同实数解， 而为偶函数，， 结合的图象可知，方程有两个根，其中，， 又，，即，， ，，，即， 的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，共26分，将解题过程及答案填写在答题卡上． 21. 已知函数. （1）化简； （2）已知都是锐角，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式､二倍角公式化简即可； （2）根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出，最后根据及两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为角为锐角，且，所以. 因为，所以， 又因为，所以， 所以 . 22. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的最大值及取得最大值时x的值； （3）当时，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2）的最大值为，取得最大值时x的值为 （3）， 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式化简，然后利用最小正周期的公式计算可得结果； （2）根据正弦函数的最值求解即可； （3）根据正弦函数单调性计算可得结果. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 令，解得， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为，取得最大值时x的值为. 【小问3详解】 令，解得，， 当时，，当时，， 所以当时，的单调递增区间为，. 23. 已知函数，． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，讨论方程的根的个数． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义即可求得参数； （2）利用分离参变量思想，即可求得参数范围； （3）把方程的解构造成函数的零点，再换元，得到二次函数，利用分类讨论可求得零点个数. 【小问1详解】 为奇函数，且定义域为，， 即，也即，． 【小问2详解】 恒成立，即： 恒成立， 所以， 又，， 在上恒成立， 又，，即的取值范围是． 【小问3详解】 ， 设， 令，则，当且仅当取到等号， ， 设且， 令，得， 令，则在，上单调递减， ， 当或时，与无交点，无零点，无零点，方程无根； 当时，，或（舍， 只有一个解， 只有一个零点，方程有一个根； 当时，在上有零点， 先证在上单调递增， 任取且，所以 ， ，， ，在上单调递增， 又为偶函数，在上单调递减， 有两个互为相反数的根， 此时有2个零点，方程有两个根． 综上，当或时，方程无根； 当时，方程有一个根； 当时，方程有两个根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $