精品解析：江苏省镇江中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

江苏省镇江中学2024级高二上学期期末考试 数学 2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三个数成等比数列，的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 2. 已知圆和，则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 3. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知曲线，则（ ） A. 的长半轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. （多选）下列求导正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且只有一个零点 B. 若，则 C. 若有两个极值点，则 D. 若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若两条直线和互相垂直，则实数m的值等于_________． 13. 若直线是曲线的一条切线，则__________. 14. 已知椭圆的上，下焦点分别为，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的直线交椭圆于两点，最小值为，则的值为___________，点是该抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则的值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程： （2）求函数的极值． 16. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相切，一个切点为，求切线长； （3）已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 17. 已知等差数列的前项和为，数列的前项和为， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 注：（2）结果形式： 18. 已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆相交于两点，椭圆右顶点为． （1）求的方程； （2）直线经过椭圆上顶点，且斜率为时，求的面积； （3）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19. 函数． （1）已知，求的值； （2）讨论的单调性； （3）时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江中学2024级高二上学期期末考试 数学 2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 三个数成等比数列，的值为（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项求解即可. 【详解】因为三个数成等比数列， 所以，解得， 故选：C 2. 已知圆和，则两圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】由题意，知圆的圆心，半径. 圆的方程可化为，则其圆心，半径. 因为两圆的圆心距，故两圆外切. 故选：C. 3. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，解出即可. 【详解】由题意有：， 所以. 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 5. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 6. 若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 7. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，进而得数列是以为公比，首项为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由有：， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以， 所以. 故选：A. 8. 已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，根据渐近线和中位线可知，即可得离心率. 【详解】由题意可知：， 设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 则点到直线的距离， 可得， 又因为分别为的中点，则， 即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知曲线，则（ ） A. 的长半轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的性质逐项验证即可求解. 【详解】由题意得曲线，所以，即，， 所以的长半轴长为4，故A正确； 所以的离心率为，的焦点坐标为. 又，所以的渐近线方程为，故B错误； 又， 所以，所以的离心率为，即， 所以与的离心率互为倒数，的焦点坐标为，故C正确，故D正确； 故选：ACD. 10. （多选）下列求导正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，结合选项依次求导即可. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确； 故选：BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且只有一个零点 B. 若，则 C. 若有两个极值点，则 D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用零点存在定理即可判断，对于B，令，判断在的单调性即可判断，对于C，令，得，令，利用导数研究单调性进而作出函数图像，利用数形结合即可判断，对于D，由在上恒成立，即，令，即在上恒成立，即，利用导数研究单调性进而求最小值即可判断. 【详解】对于A，由已知有：当时，，当时，，又， 根据零点存在定理得函数有且只有一个零点，故A正确； 对于B，令，所以，由，得， 所以在单调递增，即在不单调，故B错误； 对于C，由，所以， 令，所以， 令，所以， 令，所以，由， 所以在单调递增，在单调递减，所以， 作出函数的函数图像： 由图可知：，即，故C正确； 对于D，由在上恒成立，所以， 令，即在上恒成立，即， 又，令，即， 由， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若两条直线和互相垂直，则实数m的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判断方法列方程，求解即得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的一条切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线与曲线的切点，根据曲线在点处导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率列出方程即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于，则； 所以，解得，所以； 又，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知椭圆的上，下焦点分别为，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的直线交椭圆于两点，最小值为，则的值为___________，点是该抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与轴的交点为，若，则的值为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意得当轴时，取最小值，进而解出，利用导数的几何意义求出切线方程，进而得，即数列是以为公比，首项为的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解. 【详解】由题意得：当轴时，取最小值为，所以， 所以，所以，所以， 又抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，所以，即， 所以抛物线，即，所以，所以，， 所以切线方程为：，即，令， 解得，所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知函数， （1）求曲线在点处的切线方程： （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）利用导函数首先求得切线的斜率，然后利用点斜式求得曲线的切线方程即可； （2）对函数求导，结合导函数的性质求函数的单调性，由函数的单调性确定函数的极值即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令解得或， 由下表所示 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的极大值为，极小值为. 16. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相切，一个切点为，求切线长； （3）已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）直线的方程为：或 【解析】 【分析】（1）根据题意先求圆心，再求半径，利用圆的标准方程即可求解； （2）由，利用两点间距离公式求，再利用勾股定理即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得：圆与轴相切于点，所以圆心在直线， 所以，解得，所以，所以半径为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由题意有：，又， 所以， 所以， 所以切线长为； 【小问3详解】 由已知有：当直线斜率不存在时，直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为，满足题意， 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离为， 由直线被圆截得的弦长为， 解得，即，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为：或. 17. 已知等差数列的前项和为，数列的前项和为， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和 注：（2）结果形式： 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求，利用与的关系求即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，且， 设的公差为，所以，解得， 所以； 因为①， 所以当时，，又，所以， 当时，②，由①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以③， ④， ③④得 ， 所以. 18. 已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆相交于两点，椭圆右顶点为． （1）求的方程； （2）直线经过椭圆上顶点，且斜率为时，求的面积； （3）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点， 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，解出即可求解； （2）由已知得直线的方程，与椭圆方程联立，解出点坐标，利用两点间距离公式得，由点到直线的距离公式得点到直线的距离，进而由即可求解； （3）分直线的斜率是否为0，当直线斜率不为0时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理，结合，可探索的关系，得到直线过定点. 【小问1详解】 由题意有：，解得， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 由题意有：，椭圆的上顶点为，过点斜率为的直线的方程为：， 所以，消元化简得：，解得或， 当时，，所以， 所以， 又点到直线的距离为： ， 所以； 【小问3详解】 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 所以，消元整理得：， 所以，即， 设点， 所以， 所以， 由，即， 化简整理得：， 所以， 化简整理得：，解得或， 当时，直线的方程为：恒过定点为，即点，不满足题意， 当，直线的方程为：，所以直线恒过定点， 当直线的斜率为时，此时直线的方程为， 所以，即， 所以， 所以， 所以不满足题意， 综上所述，当时，直线恒过定点. 19. 函数． （1）已知，求的值； （2）讨论的单调性； （3）时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且． 【答案】（1） （2） 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增 （3） 由（2）有：当时，在单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为， 由极大值， 当， 所以存在唯一的零点，满足，即， 所以， 所以， 令， 所以， 由有：，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以存在唯一的零点，且. 【解析】 【分析】（1）先求导得，再由即可求解； （2）由，根据的情况分类讨论即可求解； （3）根据已知先表示出，再令，利用导数分析函数的单调性，可得有最小值，即可证明. 【小问1详解】 由题意有：，所以， 解得； 【小问2详解】 由， 当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，令，解得或， 当时，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 当时，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $