精品解析：福建福建省同安第一中学等校2025-2026学年八年级上学期 期末数学试题

2025－2026学年第一学期八年级期末阶段练习 数学 （满分：150分 时长：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3.全卷共三大题，25小题，试卷共6页． 4.可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. 盘长纹 B. 喜字纹 C. 如意纹 D. 祥云纹 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形据此逐项判断即可． 【详解】解：A、盘长纹：无对称轴，不是轴对称图形； B、喜字纹：有竖直的对称轴，折叠后两边完全重合，是轴对称图形； C、如意纹：无对称轴，不是轴对称图形； D、祥云纹：无对称轴，不是轴对称图形． 故选：B． 2. 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚1nm（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：D． 3. 下列给出的线段中，能构成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两较短线段的长度之和是否大于最长线段的长度，即可得出结果． 【详解】解：A、，能构成三角形，符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选A 4. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，对应边所夹的角，即为，再根据全等三角形对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵两个三角形全等，对应边所夹的角，即为，对应第一个三角形中的角， ∴． 故选：D． 5. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 在数轴上表示时，数字处为实心圆点，并向数轴正方向延伸． 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是熟整式的运算法则． 【详解】解：A、 不是同类项，不能合并，故不正确； B、，原计算不正确； C、，原计算正确； D、，原计算不正确； 故选C． 7. 根据表格信息，m的值等于（ ） x的值 3 m 分式的值（a，b为常数） 无意义 0 2 A. B. 7 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式无意义时分母为零和分式值为零时分子为零的条件，解分式方程，求出常数a和b，再根据分式值为2列方程求解m． 本题考查了分式无意义的条件，分式的值为0的条件，求分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式的值为0的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴，即， ∴； ∵当时，分式值为0， ∴，即， ∴， ∴该分式为. 当时，分式值为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是角平分线的尺规作图，坐标与图形的性质，解题关键是了解第一象限的角平分线上点的特征． 根据作图方法可得点在第一象限的角平分线上，根据第一象限的角平分线上点的特征即可得解． 【详解】解：依题意得，点在第一象限的角平分线上， 点的横坐标、纵坐标相等， ， 即． 故选：． 9. 人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 101214 B. 101410 C. 141212 D. 121416 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式x，再利用平方差公式分解得出，代入，计算各因式的值得到因式码，再按从小到大顺序排列形成密码，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ ， 当时，， 即因式码为14、12、16，把因式码按从小到大顺序排列形成密码121416． ∴他设置的密码可能是121416． 故选：D 10. 如图，设，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式与图形面积、分式约分化简，解题关键结合判断约分后分式的取值范围． 先分别表示出甲图及乙图中的阴影部分面积，再利用分式约分可得的值，由确定的取值范围，进而得解． 【详解】解：由题意得，甲图中阴影部分面积， 乙图中阴影部分面积， ， ， 又， ， 即， ， ， ， ， 即， ， ， 只有在的可能取值范围内． 故选：． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为________． 【答案】（-2，1） 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x,y）关于y轴的对称点的坐标是（-x,y）即可得到点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标． 【详解】解：点M（2，1）关于y轴的对称点的坐标是（-2，1）， 故答案为：（-2，1）． 【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 12. 已知是等腰三角形，顶角，则______． 【答案】 ##50度 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题关键是利用三角形内角和定理求解等腰三角形底角角度． 根据等腰三角形的性质，底角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在等腰中，顶角， 则底角， 设，则， 根据三角形内角和定理得， 即， ， 解得， 即． 故答案为：． 13. 若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂的逆运算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，且．若，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，坐标系中点的坐标特征，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．过点作轴于点，过点作交的延长线于点，证明，得到，，根据点的坐标特征分别表示出、、、的长，列式得到，，结合已知的，可求得的值，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点，点在第四象限， ，，，， ，， ，， ， ，即， 解得或， ， ， ， 点的坐标是． 故答案为：． 15. 如图，，，于点，点在的延长线上，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键，在上作，连接，证明，可得的面积为，再利用底边长之比得到面积比即可解答． 【详解】解：如图，在上作，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ， 故答案为：. 16. 如图，在锐角中，，，，，点M，P，N分别在线段，，上运动（均不与点A，B，C重合），则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作点P关于直线的对称点E，点P关于直线的对称点F，连接交于点G，交于点D，连接，，根据对称的性质，得，，当点M与点G，点N与点D重合时，点E，G，D，F四点共线时，的周长最小，然后根据等边三角形的性质和含30度角直角三角形的性质解答即可． 本题考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题． 【详解】解：作点P关于直线的对称点E，点P关于直线的对称点F， 连接交于点G，交于点D，连接， 根据对称的性质，得，， 当点M与点G，点N与点D重合时，点E，G，D，F四点共线时，的周长最小， ∴的周长为：， 根据对称的性质，得，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 过点C作于点Q， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂和二次根式，熟练掌握零指数幂和二次根式的定义是解题的关键． 先根据零指数幂、二次根式、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： 18. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简分式，再代入值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … （1）请你按照上面4个等式的规律写出第5个等式； （2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解本题的关键． （1）根据规律直接写出第5个等式即可； （2）归纳规律写出第n个等式，检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立． 【小问1详解】 解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 故答案为： 【小问2详解】 解：由题意得：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， 即． 21. 如图，中，，点是边延长线上一点，且． （1）尺规作图：过点作，与交于点，交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的条件下，，为中点．求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）由外角性质可得，以点为圆心，适当的长为半径分别交、于点、，再以点为圆心，相同的长为半径画弧交于点，连接，以点为圆心，为半径交弧于点，连接并延长交于点，交于点，即为所求； （2）结合中点定义、等角对等边、含的直角三角形特征得，，再结合等边三角形的判定与性质可得，由求出，最后由是含的直角三角形即可求出的长． 【小问1详解】 解：是的外角， ； 【小问2详解】 解：如图， 为中点， ， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 即， ，， ， ． 故的长为． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图作相等角、等角对等边、含的直角三角形特征、外角性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握尺规作图作相等角． 22. 2026年1月11日，厦门马拉松赛热烈开跑，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是一场文明与城市精神的“双向奔赴”．马拉松线上赛分为5大项目、、、半程马拉松、全程马拉松．小安准备和校田径队的队员桐桐分别参加和的线上赛． （1）若训练过程中，小安跑完的平均速度与桐桐跑完的平均速度相等，且小安所用时间比桐桐少18分钟．小安跑完需要多少分钟？ （2）经过一段时间的训练，两人的速度都有一定提升，设小安跑完用时y分钟．最终桐桐跑完用时比小安跑完多分钟，且．两人谁的平均速度快？请说明理由． 【答案】（1） （2）小安的平均速度快 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式运算的实际应用． （1）设小安跑完需要x分钟，根据“小安跑完的平均速度与桐桐跑完的平均速度相等”，列出方程，即可求解； （2）根据题意可得到小安的平均速度为，桐桐的平均速度为，再利用作差法解答即可． 【小问1详解】 解：设小安跑完需要x分钟，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：小安跑完需要分钟； 【小问2详解】 解：小安的平均速度为，桐桐的平均速度为， ∵， ∴小安的平均速度为，桐桐的平均速度为， ∵，， ∴， ∴， 即小安的平均速度快． 23. 已知a，b是两个连续整数（），． （1）我们知道，一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他正因数，这样的数就是合数．代数式是合数吗？请说明理由； （2）设，求n的值． 【答案】（1） 是合数，理由如下： ∵a，b是连续整数，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是大于1的整数，且有两个大于1的因数， 即有两个大于1的因数， 因此，是合数； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）根据题意可知，则，因式分解得到，根据可知有两个大于1的因数，即可作答； （2）由题意可知，，则、分别可因式分解为、，根据可知，，进而开平方即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵a，b是连续整数，且， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 24. 是等边三角形，点在边上运动（不与点重合）． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若，点与点关于直线对称，交于点，交的延长线于点． ①求证； ②请探究线段，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ①证明：连接， ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴根据垂直平分线的性质，可得， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 设， ∴， 由轴对称：， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ②，证明：在上截取， ∵点与点关于直线对称，交于点， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即：． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质(对称轴垂直平分对应点的连线，对应线段相等)、线段垂直平分线的性质、三角形外角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，以及角度的推导与线段关系的转化，整体围绕几何图形的对称与角度、线段的逻辑推理展开． （）首先利用等边三角形的性质，得出其内角和都为；接着结合已知的，运用三角形外角定理(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)，推导出； （）连接，利用点与关于直线对称的性质，得出垂直平分，从而得到；结合是等边三角形，推出 ，确定为等腰三角形，接着设，通过角度的推导，分别求出和，最终计算得出； （）首先利用点与关于直线对称的性质，得到且；结合是等边三角形的条件，以及上一问的角度结论，推导出和，进而得到；在上截取，接着通过证明，得到；再，，根据外角定理推出，从而证明，得到，最终推导出线段关系． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 ①略 ②略 25. 在平面直角坐标系中，若满足，且，则称为“关于点的等腰三角形”，简称为“等腰三角形”． （1）如图，已知，，，请判断是否为“等腰三角形”，并说明理由； （2）如图，已知，，，点在直线上．若存在为“等腰三角形”，求的取值范围； （3）如图，点，，点在轴正半轴上，满足．若存在点使为“等腰三角形”，求点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】（1） 是“等腰三角形”，理由如下： 作轴，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为，， ∵，， ∴， ∴、都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴是“等腰三角形”； （2）或 （3），且 【解析】 【分析】（1）作轴，垂足为，根据所给的点的坐标，容易证明和是等腰直角三角形，则也是等腰直角三角形，因此得证； （2）以为斜边向上和向下构造等腰直角三角形，结合题干对于“等腰三角形”的定义，可判断出点在线段上，因此点在线段上，且和端点以及中点都不重合； （3）先以为边向上和向下构造等边和等边，类比（2）可得，点要在线段上，且不与中点重合．以为边向上构造等边三角形，通过证明，可判断出、、三点共线．在直角和直角使用含的直角三角形的性质，依次计算出、、，进而求出点的纵坐标．使用中点公式，求出的中点的纵坐标，容易证明出点也是的中点，从而计算出点的纵坐标，最终得出点的纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，在的垂直平分线上取两点、，使得， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理，，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是“等腰三角形”， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段上， ∴直线在直线和直线之间， ∴点在线段上， ∵， ∴ 当时，点与点重合，故舍去； 当时，点与点重合，故舍去； ∴的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，以为边向上作等边，向下作等边，取的中点，连接，， ∵，是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴、、三点共线，即， ∴是线段的垂直平分线， ∵是“等腰三角形”， ∴，且， ∴点在线段上，且不与点重合， 如图，以为边向上作等边，连接，作轴，垂足为， ∵、都是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在直角中，， ∴，， ∴， ∵， ∴、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即点为的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上，且不与点重合， ∴，且． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质并构造对应的等腰三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期八年级期末阶段练习 数学 （满分：150分 时长：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3.全卷共三大题，25小题，试卷共6页． 4.可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. 盘长纹 B. 喜字纹 C. 如意纹 D. 祥云纹 2. 近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚1nm（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列给出的线段中，能构成三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 根据表格信息，m的值等于（ ） x的值 3 m 分式的值（a，b为常数） 无意义 0 2 A. B. 7 C. D. 8 8. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（ ） A. B. C. D. 9. 人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 101214 B. 101410 C. 141212 D. 121416 10. 如图，设，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，若点M（2，1）关于y轴对称的点的坐标为________． 12. 已知是等腰三角形，顶角，则______． 13. 若，，则_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，且．若，则点的坐标是______． 15. 如图，，，于点，点在的延长线上，，，，则______． 16. 如图，在锐角中，，，，，点M，P，N分别在线段，，上运动（均不与点A，B，C重合），则周长的最小值是______． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … （1）请你按照上面4个等式的规律写出第5个等式； （2）请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想． 21. 如图，中，，点是边延长线上一点，且． （1）尺规作图：过点作，与交于点，交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的条件下，，为中点．求的长． 22. 2026年1月11日，厦门马拉松赛热烈开跑，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是一场文明与城市精神的“双向奔赴”．马拉松线上赛分为5大项目、、、半程马拉松、全程马拉松．小安准备和校田径队的队员桐桐分别参加和的线上赛． （1）若训练过程中，小安跑完的平均速度与桐桐跑完的平均速度相等，且小安所用时间比桐桐少18分钟．小安跑完需要多少分钟？ （2）经过一段时间的训练，两人的速度都有一定提升，设小安跑完用时y分钟．最终桐桐跑完用时比小安跑完多分钟，且．两人谁的平均速度快？请说明理由． 23. 已知a，b是两个连续整数（），． （1）我们知道，一个大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他正因数，这样的数就是合数．代数式是合数吗？请说明理由； （2）设，求n的值． 24. 是等边三角形，点在边上运动（不与点重合）． （1）如图，若，求的度数； （2）如图，若，点与点关于直线对称，交于点，交的延长线于点． ①求证； ②请探究线段，，的数量关系，并证明． 25. 在平面直角坐标系中，若满足，且，则称为“关于点的等腰三角形”，简称为“等腰三角形”． （1）如图，已知，，，请判断是否为“等腰三角形”，并说明理由； （2）如图，已知，，，点在直线上．若存在为“等腰三角形”，求的取值范围； （3）如图，点，，点在轴正半轴上，满足．若存在点使为“等腰三角形”，求点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $