精品解析：四川泸州市三校联盟2025-2026学年高二上学期第一次联合考试（期中）数学试题

泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试 数 学 试 题 命题单位：四川省合江县中学校 命题人：王艳 审题人：鄢岚昆 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1至2页，第II卷第3至4页，满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：请用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，3，5，6第60百分位数是5 B. 按比例进行分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 C. 若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16 D. 若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 6. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（    ） A. 丁险种参保人数超过五成 B. 41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C. 18－29周岁人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过5000元 7. 在斜四棱柱中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ） A. B. 4 C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，是空间任意四点，则有 B. 若向量，，满足，则 C. 空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 当为中点时，过，，三点平面截正方体所得截面图形的面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 当在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为______ 13. 某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为___________ 14. 已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是__________. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 16. 如图，在三棱柱中，，，平面. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； （2）若样本中年龄在［0,10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50,60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差； （3）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40,50），［50,60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40,50）的概率． 18. 某校为了厚植文化自信、增强学生爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． （1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． （2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 19. 如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且， ，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为． （1）求证：平面； （2）若平面平面． ① 求证：； ② 当取得最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试 数 学 试 题 命题单位：四川省合江县中学校 命题人：王艳 审题人：鄢岚昆 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1至2页，第II卷第3至4页，满分150分，考试时间共120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答：请用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算得，进而得在复平面对应的点为，即可求解. 【详解】因为， 所以在复平面对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 2. 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，极差，中位数的计算即可比较求解，利用方差的性质即可求解C. 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确. 故选：D. 3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 4. 若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆锥的侧面积公式求圆锥的母线长，再求圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求解. 【详解】设圆锥的母线长为， 则有，所以， 于是圆锥的高为， 该圆锥的体积为：. 故选：D 5. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B. 按比例进行分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 C. 若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16 D. 若某组数据频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】A先将数据从小到大排序，再由百分位数计算方法即可，B在随机抽样中，每个个体被抽到的概率相同，由此判断B即可，C由方差计算公式即可求新数据组的方差，D由题意得，该组数据的频率分布直方图是左偏态分布，以此判断D即可. 【详解】A，先将数据从小到大排序：1，3，5，6，8，因为， 则第60百分位数为第3位数据和第4位数据的平均数，即第60百分位数为，错误； B，在随机抽样中，每个个体被抽到的概率相同，错误； C，由方差计算公式可得，正确； D，由题意，该组数据的频率分布直方图是左偏态分布，数据大多集中在数值较大的区间，少数数值较小的数据会导致平均数小于中位数，错误. 故选：C. 6. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（    ） A. 丁险种参保人数超过五成 B. 41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C. 18－29周岁人群参保的总费用最少 D. 人均参保费用不超过5000元 【答案】B 【解析】 【分析】利用统计图表一一分析选项即可. 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为， 超过五成，故A正确； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比， 人均参保费用在，而54岁及以上人群参保比例虽， 但人均参保费用在6000，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约 ， 不超过5000元，故D正确. 故选：B 7. 在斜四棱柱中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积可求. 详解】， 则 ． 故选：A. 8. 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件确定，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案． 【详解】， ， 设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD， 又AO，AB，AD 平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD， ，， 在中，， 则，又的方向与相同， 所以． 故选：A． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，是空间任意四点，则有 B. 若向量，，满足，则 C. 空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量运算判断A；利用相等向量的意义判断B；利用空间的一个基底的意义判断C；利用空间共面向量定理判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，，，四点可能在一条直线上，B错误； 对于C，空间的三个非零向量有共面与不共面两种可能，当它们共面时，不能作为空间的一个基底，C错误； 对于D，若，则， 化简得，因此，，，四点共面，D正确. 故选：AD 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则，，故A正确. ，，故B错误. 而，故C正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件， 故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 当为中点时，过，，三点的平面截正方体所得截面图形的面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 当在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，易知当点在线段（不含点）时，使得平面；对于B，作出截面，截面是边长为的正六边形，再求面积即可；对于C，由三棱锥体积公式可判断；对于D，设的外心为，半径为，过分别作平面，平面的垂线，交点即为球心，设中点为，连接，易得四边形为矩形，结合勾股定理求出外接球半径，然后利用正弦定理结合球的表面积公式求解即可. 【详解】对于A，易知当点在线段（不含点）时，使得平面， 此时，平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，根据题意作出截面，截面是边长为的正六边形， 所以截面面积，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的外心为，半径为， 过分别作平面，平面的垂线，交点即为球心， 设中点为，连接， 因为是外心，所以， 则就是平面与平面所成角的平面角， 又易知平面平面，所以四边形为矩形， 所以外接球半径 ， ，， ，即， 故三棱锥外接球表面积为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义，数量积的坐标运算和模的坐标表示求解即可. 【详解】已知向量，，所以，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为，事件甲只加入其中一个社团可表示为，由条件结合概率加法公式求结论. 【详解】设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为， 由已知，，， 事件甲同时加入两个社团可表示为， 事件甲只加入其中一个社团可表示为， 且事件，互斥， 所以， 故答案：. 14. 已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】，又，根据垂直得到数量积为0，列出等式即可求解. 【详解】 设侧棱长为，则长为, 由题意， 又， 其中， 故，， 又， 故 即， 又， 所以， 所以， 即侧棱长的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得： 即： ，由得： （2），的周长为 由余弦定理可得： 的面积： 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型. 16. 如图，在三棱柱中，，，平面. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可得出； （2）解法一：设，分析可知，直线与平面所成的角为，计算出、、的长，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值； 解法二：设，分析可知，直线与平面所成的角为，计算出、、的长，分析可知平面与平面的夹角即，求出三边边长，分析可知，，即可求得的余弦值. 小问1详解】 因为，，且，所以四边形为菱形，则, 又因为平面，平面， 所以，又，、平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 （方法一）因为平面， 所以直线与平面所成的角为，即， 因为平面，平面，则，则， 令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，， 设平面的法向量， 则，取，则，，故， 易知平面的一个法向量为， ， 故平面与平面的夹角余弦值为. （方法二）因为平面， 所以直线与平面所成的角为，即， 因为平面，平面，则，则， 令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 所以，， 取中点，连接、， 等腰直角中，且， 由勾股定理得， 因为，则，且， 因为，，平面平面， 所以平面与平面的夹角即， 在中，，，，则，即， ，故平面与平面的夹角余弦值为. 17. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； （2）若样本中年龄在［0,10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50,60）的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差； （3）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40,50），［50,60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40,50）的概率． 【答案】（1），第85百分位数为 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图矩形面积为1即可求得的值，并由频率分布直方图求百分位数的计算方法计算第85百分位数. （2）由总体平均数与总体方差的计算方法，即，即可求解. （3）由题意得，的两组观众频率之比为：，则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人，列出所有选取的可能，即可确定符合题意的概率. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为， 所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为， 则，解得， 所以第85百分位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， 【小问3详解】 由频率分布直方图可知年龄为，的两组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人， 则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人； 记的四名学生编号为1、2、3、4，记的一名学生编号为5， 则选出两名学生的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种； 设事件“抽到的两名学生的年龄都来自”， 则事件包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种， 所以两名学生的年龄均在的概率． 18. 某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． （1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． （2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率为，若，试比较与的大小． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①若甲得5分，则甲A，B两题回答正确，则有，若甲得3分，则甲A题回答错误，B题回答正确，联立即可求得. ②由题意列出甲、乙回答问题后可能的得分情况，设甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，记比赛后总得分不低于8分为事件E，则有，检验独立性后进行计算即可. （2）由题意得，，经过计算后将之做差可得，因为，，，所以，当且仅当时取等号，即，即可得出. 【小问1详解】 ①由题意得，解得，. ②比赛结束后，甲、乙各自得分可能为0，2，3，5， 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，且，相互独立， 记比赛后总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥， 易得，，，， 所以 ， 所以比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率为． 【小问2详解】 若甲、乙总得分为5分，可知、、、两两互斥， 则， 即， ， 因为，，， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即． 19. 如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且， ，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为． （1）求证：平面； （2）若平面平面． ① 求证：； ② 当取得最大值时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）① 证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意先构建面面平行，即平面平面，因为平面，平面，所以平面； （2）①过点作交于点，先证明平面．得到，再证平面，得到，因为，则可证平面，进而证得； ②由题意得到底面的距离为，设点到的高，可证平面，即点到底面的高为，在中使用等面积法可得，进而可使用割补法得几何体的体积，取的中点，连接，易得平面，即，在、、中，结合勾股定理与余弦定理，可得，，当且仅当时等号成立，故当取得最大值时，即取得最小值，，进而可求的值. 【小问1详解】 证明：根据题意可知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 ①证明：在平面内过点作交于点， 因为平面平面，平面平面，所以平面． 又因为平面，则； 根据题意，平面图形翻折后，， 且是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面． 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以． ②直角梯形中，，，且， 由①可知平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以到底面的距离为， 在中，设点到的高，即， 因为平面，而平面，所以， 因为，平面，所以平面， 故点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式，∴； 几何体的体积为 ； 取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 在中，， 中，，∴，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $