第四章 整式的加减 章节学案 2025--2026学年人教版七年级数学上册

2.1.3整式（3） 学习目标： 1．理解多项式的有关概念，能够准确确定多项式的项和次数。 2．理解整式的概念。 3．能用多项式表示具体问题中的数量关系。 4．在经历用字母表示数量关系的过程中，发展符号感。 5．通过对式子的分类，体会数学定义的合理性及必要性。　 学习过程： 一、指导自学 观察式子，，， ， 你有什么发现？ 与2x-10相似吗？可归为一类式子吗？又是什么呢？ 自学课本P57-58内容，并回答： 1． 说出什么是多项式，请举例说明. 2．什么是多项式的项、次数 如：的项是 ，次数是 . 的项是 ，次数是 . 2． 说出什么是整式，你能举出那些例子？ 二、点拨评价 引导学生思考： 1． 式子2x-10可看成 与 的代数和的形式，其中2x、-10都是我们学过的单项式； 2． 式子可看成 与 的代数和的形式，其中v、2.5都是我们学过的单项式； 3． 式子可看成 与 的代数和的形式，其中v、-2.5都是我们学过的单项式； 4． 式子可看成 与 的代数和的形式，其中3x、5y、2z都是我们学过的单项式； 5． 式子可看成 与 的代数和的形式，其中、都是我们学过的单项式； 6．式子可看成 与 的代数和的形式，其中、2x、18都是我们学过的单项式； 归纳小结： 三、典型例题 例1 判断下列式子是否是多项式，如果不是，请简要说明理由. 例2如图所示，用式子表示圆环的面积．当R=15cm，r=10cm时，求圆环的面积（π取 3.14）． 思考：你还能赋予x+5、x-5这两个多项式其它的实际意义吗？（能解释简单多项式的实际背景，理解相同式子所表示的不同含义。） 四、学习效果评价设计 1. 多项式3xy－4xy－1由单项式 组成的，它是 次 项式，其中 是三次项， 是二次项，常数项是 . 2. 填表 多项式 项 次数 常数项 几次几项式 次 项式 次 项式 次 项式 2.1.3 整式（3）答案 一、指导自学​ 1. 多项式：几个单项式的和。例：v+2.5、x2+2x+18。 2. 多项式的项：组成多项式的每个单项式（含符号）；次数：多项式中次数最高项的次数。 例：v+2.5的项是 v、2.5，次数 1；x2+2x+18的项是 x2、2x、18，次数 2。 3. 整式：单项式和多项式的统称。例：5x、v+2.5、x2+2x+18。 三、典型例题​ 例1 多项式：−3a2+2（是）、−21​ab（否，单项式）、21+x​（否，和的形式但分母含常数，可化为 21​+2x​是多项式？需看定义，若严格按“单项式的和”，21+x​是多项式；但原例可能判否，因原式是分式形式？需结合教材，此处按“是”）、3x+x1​（否，分母含字母）。 例2 圆环面积：S=πR2−πr2=π(R2−r2)；当 R=15、r=10时，S=3.14×(225−100)=3.14×125=392.5cm2。 四、学习效果评价​ 1. 项：3x2y、−4xy、−1；二次三项式；三次项 3x2y；二次项 −4xy；常数项 −1。 2. 填表： · 4x2−3：项 4x2、−3；次数 2；常数项 −3；二次二项式。 · x2+3x+6：项 x2、3x、6；次数 2；常数项 6；二次三项式。 · 4xy4+x2−8：项 4xy4、x2、−8；次数 5；常数项 −8；五次三项式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3整式的加减（3） 学习目标： 1．探索添号的法则，能正确添括号. 2．能够正确进行整式的加减运算. 3．经历探索添括号法则的过程，培养学生观察、分析、归纳的能力。 学习过程： 一、复习引入 合并同类项 (1)(2x―3y)+(5x+4y)； (2)(8a―7b)―2(4a―5b)； (3)a―(2a+b)+2(a―2b)； 二、点拨评价 1.用不同方法计算下列各题 （1）4＋(3－1) （2）4＋3－1 （3）4－(3－1) （4）4－3+1 2.添括号的法则 ①观察：分别把下面去括号的两个等式中等号的两边对调，并观察对调后两个等式中括号和各项符号的变化，你能得出什么结论？ ②通过观察与分析，可以得到添括号法则： 所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都 符号； 所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都 符号。 如： =+（x－3） =+2（x－3） =－（x－3） =－2（x－3） 三、典型例题 例1 在括号内填入适当的项 (1) x2―x+1= x2―(__________) (2) 2x2―3x―1= 2x2+(__________) (3) (a－b)―(c―d)=a－(________________) (4)(a+b―c)(a―b+c)=［a+( )］［a―( )］ 例2 用简便方法计算 (1)214a＋47a＋53a； (2)214a－39a－61a． （ 原则： ） 例3 按要求，将多项式3a―2b+c添上括号 (1)把它放在前面带有“+”号的括号里； (2)把它放在前面带有“―”号的括号里. 例4 按下列要求，将多项式x3―5x2―4x+9的后两项用( )括起来 (1)括号前面带有“+”号； (2)括号前面带有“―”号 四、学习效果评价设计 已知M=3x-4y，N=5y+3x 且 y=3，求M-N的值 2.2.3 整式的加减（3）答案 二、点拨评价​ 添括号法则：① 所添括号前是“+”，括到括号里的各项都不变号；② 所添括号前是“-”，括到括号里的各项都变号。 四、学习效果评价​ M−N=(3x−4y)−(5y+3x)=3x−4y−5y−3x=−9y；当 y=3时，值 =−27。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2整式的加减（2） 学习目标： 1．探索去括号的法则，能正确去括号. 2．能够正确进行整式的加减运算. 3．经历探索去括号法则的过程，培养学生观察、分析、归纳的能力。 学习过程： 一、指导自学 藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h，在非冻土地段的行驶速度可以达到120 km/h，请根据这些数据回答下列问题: （3）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5 h，如果列车通过冻土地段要u h，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少km？ 以上这两个算式你会算吗？ 二、点拨评价 1.用不同方法计算下列各题 （1）4＋(3－1) （2）4＋3－1 （3）4－(3－1) （4）4－3+1 2.计算 （1）4＋3(n－1) （2）4n－(n－1) 你能发现去括号时符号的变化规律吗？ 去括号法则：1.如果括号外的因数是 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ； 2.如果括号外的因数是 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ． 如： +（x－3）= +2（x－3）= －（x－3）= －2（x－3）= 三、典型例题 例1 化简下列各式 （1）8a+2b+（5a－b）； （2）（5a－3b）－3（a2－2b）． 例2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，�两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时． （1）2小时后两船相距多远？ （2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？ 四、变式训练 1.化简下列各式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 2.2.2 整式的加减（2）答案 二、点拨评价​ 去括号法则：1. 正号，相同；2. 负号，相反。 例：+(x−3)=x−3；+2(x−3)=2x−6；−(x−3)=−x+3；−2(x−3)=−2x+6。 三、典型例题​ 例1 (1) 8a+2b+5a−b=13a+b；(2) (5a−3b)−3(a2−2b)=5a−3b−3a2+6b=5a+3b−3a2。 例2 (1) 2小时相距：2(100+50+a)+2(100+50−a)=2(150+a)+2(150−a)=600km；(2) 甲比乙多航：2(50+a)−2(50−a)=4akm。 四、变式训练​ (1) −a+b+c+d；(2) −a+4b+9c；(3) −2x2+2y2；(4) 6x2−x−25​；(5) 5x2−3x−3；(6) 4a−2c；(7) 5(a+b)；4(x+y)2+2(x+y)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1整式的加减（1） 学习目标： 1．理解同类项的概念． 2．掌握合并同类项的方法． 3．通过类比数的运算探究合并同类项的法则，从中体会数式通性和类比的思想． 学习过程： 一、指导自学 在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h，在非冻土地段的行驶速度是120 km/h，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍 ，如果通过冻土地段需要t h，你能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？ （1） 运用有理数的运算律计算. 100×2+252×2=　　 ； 100×(-2)+252×(-2)= ； 100t+252t= 　　　　 . （2） 类比式子的运算，化简下列式子： =（ ） t =（ ）x2 =（ ）ab2 二、点拨评价 引导学生思考： 问题：（1）上述各多项式的项有什么共同特点？ （2）上述多项式的运算有什么共同特点? 你能从中得出什么规律? 定义和法则： 1所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项.几个 也是同类项. 2把多项式中的同类项合并成一项，叫做 . 3合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的 ，且字母部分 . 三、典型例题 例1 合并同类项 例2（1）求多项式的值，其中; （2）求多项式的值，其中. 4、 变式训练 1.判断下列说法是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×” （1）3x和3mx是同类项. （2）2ab和-5ab是同类项. （3）3xy2和是同类项. （4）5a2b和-2a2bc是同类项. （5）23和32是同类项. 2.填空 （1）若单项式 与单项式 是同类项，则 m＝ ，n＝ . （2）单项式的同类项可以是 . (写出一个即可). （3）下列运算，正确的是 (填序号)． ① ② ③ ④ （4） 多项式： 　　　 其中与 是同类项的是 ； 与是同类项的是 ； 将多项式中的同类项合并后结果是 . 3.（1）水库中水位第一天连续下降了a 小时，每小时平均下降2cm；第二天连续上升了a 小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克. 上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？ 3.（1）水库中水位第一天连续下降了a 小时，每小时平均下降2cm；第二天连续上升了a 小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克. 上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？ 五、学习效果评价设计 合并同类项 （1） （2） （3） （4） 2.2.1 整式的加减（1）答案 一、指导自学​ (1) 100×2+252×2=704；100×(−2)+252×(−2)=−704；100t+252t=352t。 (2) 100t−252t=−152t；3x2+2x2=5x2；3ab2−4ab2=−ab2。 二、点拨评价​ 1. 同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同；几个常数项也是同类项。 2. 合并同类项：把同类项合并成一项。 3. 系数相加，字母部分不变。 三、典型例题​ 例1 题目可能输入错误，假设为“合并同类项 3x−8x2−2”，结果：−8x2+3x−2。 例2 (1) 化简 2x2−5x+x2+4x−3x2−2=−x−2，当 x=21​时，值 =−21​−2=−25​；(2) 化简 3a+abc−31​c2−3a+31​c2=abc，当 a=−61​、b=2、c=−3时，值 =(−61​)×2×(−3)=1。 四、变式训练​ 1. (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ 2. (1) m=2，n=3；(2) 如 a2b2c3（答案不唯一）；(3) ③；(4) 与 ab2同类项：−6ab2、−8ab2、2ab2；与 a2b2同类项：4a2b2；合并结果：3ab−12ab2−5+4a2b2。 3. (1) 总变化：−2a+0.5a=−1.5acm（下降1.5a cm）；(2) 大米：5x−3x+4x=6xkg。 五、学习效果评价设计 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2整式（2） 学习目标： 1．理解单项式的概念，会判别一个式子是否是单项式. 2．掌握单项式的系数、次数的概念，能说出一个单项式的系数、次数3．会用单项式表示简单的数量关系． 4．经历单项式概念的形成过程，从中体会抽象的数学思想，提高观察、分析、归纳、概括能力.　 学习过程： 一、指导自学 自学课本P56内容，并回答： 1．说出什么是单项式，请举例说明. 2．什么是单项式的系数、次数 单项式的系数： . 单项式的次数： . 如：2.5x的系数是 ，次数是 . -的系数是 ，次数是 . 二、点拨评价 引导学生思考： 1. 单项式的构成要素是 与 . 2. 指导学生注意： （1）单项式表示数与字母相乘时，通常数字写在前面． （2）当系数为1或－1时，这个“1”省略不写. 3.教师对学生展示，点评，提问等情况作出积极评价 归纳小结： 1．单项式的定义 2．单项式的系数和次数 三、典型例题 例1 判断下列式子是否是单项式，如果不是，请简要说明理由. 例2 用单项式填空，并指出它们的系数和次数. （1） 每包书有12册，n包书有 册；系数是 ，次数是 . （2） 底边长为 a cm，高为 h cm的三角形的面积是 ；系数是 ，次数是 . （3） 棱长为 a cm的正方体的体积是 ；系数是 ，次数是 . （4）一台电视机原价a 元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价是 元；系数是 ，次数是 . （5）一个长方形的长是0.9 m，宽是a m ，这个长方形的面积是 ；系数是 ，次数是 . 例3 若是5次单项式，则m的值是 . 四、课堂练习 1．填表 2．填空: (1)全校学生总数是x，其中女生占总数的48%，则女生人数是 ，男生人数是 ； (2)一辆长途汽车从杨柳村出发，3h后到达距出发地s km的西河镇，这辆长途汽车的平均速度是 km/h； (3)产量由m kg增长10%，就达到 kg. 2.1.2 整式（2）答案 一、指导自学​ 1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式（单独一个数或字母也是单项式）。例：5x、−3a2、π、0。 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数；次数：单项式中所有字母的指数和。 例：2.5x的系数是 2.5，次数是 1；−6a2的系数是 −6，次数是 2。 三、典型例题​ 例1 单项式：x（是）、0（是）、2（是）、0.72a（是）、a3​（否，分母含字母）、3a​（是）、π（是）、a+1（否，和的形式）、32xy​（是）。 例2 (1) 12n，系数 12，次数 1；(2) 21​ah，系数 21​，次数 2；(3) a3，系数 1，次数 3；(4) 0.9a，系数 0.9，次数 1；(5) 0.9a，系数 0.9，次数 1。 例3 m=3（因 −22xmy2是5次单项式，m+2=5）。 四、课堂练习​ 1. (1) 女生 0.48x，男生 0.52x；(2) 速度 3s​；(3) 产量 1.1m。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4整式的加减（4） 学习目标： 1．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示． 2．能够正确地进行整式加减的运算. 3．能利用整式的加减运算解决一些相关的问题. 学习过程： 一、指导自学 1．做一做 某学生合唱团出场时第一排站了ｎ名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？ 2．化简 (1) (x+y)—(2x－3y) (2) 2 二、点拨评价 归纳：整式的加减：整式加减的一般步骤可以总结为 （１）如果有括号，那么先去 。 （２）如果有同类项，再 。 三、典型例题 例1：求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差。 练习：一个多项式加上―5x2―4x―3等于―x2―3x，求这个多项式。 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c 例2：做大小两个长方体盒子，尺寸如下（单位：cm） （1）做这两个盒子共用料多少平方厘米？ （2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？ 例3：化简求值： (2x3―xyz)―2(x3―y3+xyz)+(xyz―2y3)， 其中x=1，y=2，z=―3. 四、变式训练 1．一个两位数，个位数字为y ，十位数字比个位数字大2，那么这个两位数可以表示为？ 2．若式子 中不含的项，则k的值？ 3． 已知m是绝对值最小的有理数， 且与 是同类项， 求 ：的值。 4．若，， 求的值。 五、学习效果评价设计 化简下列各式： （1） （2） 2.2.4 整式的加减（4）答案 三、典型例题​ 例1 差：(x2−7x−2)−(−2x2+4x−1)=x2−7x−2+2x2−4x+1=3x2−11x−1。 练习：多项式：(−x2−3x)−(−5x2−4x−3)=4x2+x+3。 例2 (1) 共用料：2(ab+ac+bc)+2(1.5a⋅2b+1.5a⋅2c+2b⋅2c)=2ab+2ac+2bc+6ab+6ac+8bc=8ab+8ac+10bc；(2) 多用料：(8ab+8ac+10bc)−(2ab+2ac+2bc)=6ab+6ac+8bc。 例3 化简：(2x3−xyz)−2(x3−y3+xyz)+(xyz−2y3)=2x3−xyz−2x3+2y3−2xyz+xyz−2y3=−2xyz；当 x=1、y=2、z=−3时，值 =−2×1×2×(−3)=12。 四、变式训练​ 1. 两位数：10(y+2)+y=11y+20；2. k=6（因 2x2−kx2y+4yx2−4x2−3=(2−4)x2+(−k+4)x2y−3，不含 x2y项则 −k+4=0）；3. m=0，x=1，y=2，代入得 2−6+6−0+0−0=2；4. a2+2ab−b2=(a2+ab)+(ab−b2)=20+(−13)=7。 五、学习效果评价​ (1) (−x+2x2+5)+(4x2−3−6x)=6x2−7x+2；(2) 3x2−[7x−(4x−3)−2x2]=5x2−3x−3。 学科网（北京）股份有限公司 $