2.1 一元二次方程和它的解（题型专练，8基础2提升+培优）数学新教材浙教版八年级下册

2.1 一元二次方程和它的解 题型一：判断是否为一元二次方程 1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 2．（25-26八年级上·上海金山·月考）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，逐一判断各选项． 【详解】解：一元二次方程需满足：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数为2． A．含有两个未知数x和y，不符合条件②，故A不符合题意； B．方程中含有分式，不是整式方程，不符合条件①，故B不符合题意； C．方程可化为，满足所有条件，故C符合题意； D．未知数的最高次数为3，不符合条件③，故D不符合题意． 故选：C． 3．（2025·四川广元·一模）根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且为整式方程，逐一分析各选项． 【详解】解：选项A：含两个未知数x和y，不符合题意； 选项B：仅未知数x，最高次数2，整式方程，符合题意； 选项C：含分式，非整式方程，不符合题意； 选项D：化简得，即，为一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江西上饶·月考）下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）为解题的关键．根据一元二次方程定义对给出的方程进行辨别即可求解． 【详解】解： 一元二次方程需满足：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数为． 对于A：含分式，不是整式方程，不符合①，故不符合题意； 对于B：中可能为，当时不是二次方程，故不符合题意； 对于C：含两个未知数和，不符合②，故不符合题意； 对于D：可化为 ，满足①②③，是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义：①等号两边是整式，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 直接根据一元二次方程的定义逐个判定即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A．是一元一次方程，不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 题型二：根据一元二次方程的定义求参数 1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）关于的一元二次方程有一个解为0，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和方程的解，将代入方程，得到关于m的方程，结合一元二次方程的定义，二次项系数不为零，求解m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解为0， ∴将代入方程，得， 解得或， 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零． 【详解】解：方程 是一元二次方程的条件是二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 4．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 但，即． 故． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 6.（25-26九年级上·全国·单元测试）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 题型三：一元二次方程的一般式 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得 ，它的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及定义，掌握相关概念是解题的关键． 先依据完全平方公式进行计算，再移项、合并同类项，将方程变形为的形式，从而得到方程的一般形式，进而找出一次项系数即可． 【详解】解：， ， ， 移项得，， 合并同类项得，， 即， 其中一次项系数为， 故答案为：，． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程化为一般形式后，确定二次项系数、一次项系数和常数项，再求它们的和． 【详解】解：方程 移项得 ， 则 ，，， ∴ ， 故答案为：0． 3．（25-26九年级上·四川广安·月考）一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 【详解】解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江西上饶·期中）将一元二次方程 化为一般形式，已知该方程的二次项系数为2，则常数项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，常数项即为方程中的常数项． 【详解】解：将方程移项，得， 所以常数项为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是，一次项系数是，常数项是9 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：， 即， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9． 题型四：判断是否为一元二次方程的解 1．（19-20九年级上·天津·期末）下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南许昌·月考）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 5．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 题型五：与一元二次方程的解求参数 1．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将方程的根代入原方程建立关于参数的方程是解题的关键． 将已知根代入一元二次方程，建立关于的方程并求解即可． 【详解】解：把代入方程得： ，即， 解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．0 C．3或 D．3 【答案】D 【分析】本题考查已知方程的解求方程中参数的值，将代入方程求解m即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个解， 将代入得 解得 故选D． 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为（   ） A．8 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．将已知根代入方程得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴， 即， ∴． 故选：B． 题型六：由一元二次方程的解求代数式的值 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）若是方程的根，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是方程的根，得，代入代数式计算即可；本题主要考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义和整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·假期作业）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 【答案】B 【分析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值．根据题意有，即有，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵m为的根， ∴，且， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如果是一元二次方程的一个根，那么多项式的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元二次方程的解的含义，由m是方程的根，可得，代入多项式化简即可． 【详解】解：∵ m是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴的值为 2023． 故选：C 4．（24-25九年级上·北京·期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A．2022 B．2024 C．4048 D．4046 【答案】C 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求代数式的值． 将代入方程，得到的值，进而计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知方程的一个根为，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了由一元二次方程根的定义，已知式子的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据方程根的意义，得出，再利用该等式对所求代数式进行化简求值． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）若是一元二次方程的解，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，整体代入法求值即可． 【详解】解：将代入方程得， ∴． ∴． 故答案为：． 题型七：一元二次方程解的估算 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京·月考）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 3．（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个正根的取值范围为：， 故选：B． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 5．（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 6．（25-26九年级上·福建三明·期中）如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程解的范围，理解题意是解决本题的关键． 通过观察代数式值的符号变化，利用函数连续性即可确定根所在区间． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程在和之间有一个正根， 即． 故选C． 题型八：化简求值与一元二次方程综合 1．（25-26九年级上·广西崇左·月考）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、一元二次方程的解等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简可得，再根据一元二次方程的解可得，即，然后整体代入代数式求值即可． 【详解】解： ； ∵a是方程的解， ∴，即． ∴原式． 2．（25-26九年级上·四川自贡·月考）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，一元二次方程的解的概念，掌握分式的性质，一元二次方程的解的运用是解题的关键． 根据分式的性质、完全平方公式和平方差公式，将式子化简，再根据一元二次方程的解可得，即可求解． 【详解】解： ， 是方程的解， ， 即， 原式． 3．（25-26九年级上·重庆开州·月考）先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， ∵m为方程的解， ， ， 原式． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中 是方程 的解． 【答案】，3 【分析】本题考查的是整式的化简求值，一元二次方程的解，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，然后合并同类项，将一元二次方程的解代入得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： ， 是方程的解， ， ， ， 则原式． 5．（24-25九年级上·重庆永川·月考）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及一元二次方程的解，先对分式通分，再计算括号外的，再根据一元二次方程解的定义，可得，最后代入化简后的分式求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴原式． 题型一：一元二次方程中创新题型 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 4．（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 5．（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 题型二：一元二次方程中阅读题型 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键． （1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可； （2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程． 【详解】（1）解：， ，，， ,， ； 故答案为：； （2）， ，即， ， ， 是一元二次方程的两根． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键． （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （3）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得， 整理得，， ∴所求方程为． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（a，b为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a，b，c，d为实数，且，）有如下运算法则： ； ； ． (1)化简直接填空：① ，② ； (2)关于x的一元二次方程有一个根是，其中m，n是实数，求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，平方差公式，完全平方公式，将方程的解代入原方程，求出，的值是解题的关键． （1）根据运算法则，即可求出化简及； （2）将代入原方程，可得出，进而可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：； ， 故答案为：5，； （2）解：将代入原方程得：， 整理得：， ，， ，， ． 4．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)8 (3)2028 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，即． ； （2）解：， ， ，即， ． （3）解：， ， ，即， ． 6．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． （1）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （2）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （3）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． 1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 2．（25-26九年级上·重庆大渡口·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程，得到关于a和b的等式，简化后直接求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 两边同时除以3：， ∴． 故选：B． 3．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 将方程整理成一般形式后作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴一般形式为，其中． 故选：B． 4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 5．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 6．（25-26九年级上·广西崇左·月考）关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是 ． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． 7．（25-26九年级上·北京大兴·期中）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】本题考查了方程的根，整式化简求值；由方程的根得，化简整式后，整体代值计算，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根． (1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； (2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长． 【答案】(1)是等腰三角形，不是等边三角形，证明见解析 (2)的周长为 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入一元二次方程计算得出，从而可得是等腰三角形，再由一元二次方程的定义得出，从而可得不是等边三角形； （2）根据二次根式有意义的条件得出，解一元二次方程得出或，再分两种情况并结合三角形三边关系计算即可得解． 【详解】（1）解：是等腰三角形，不是等边三角形，证明如下： ∵是关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴不是等边三角形； （2）解：∵代数式有意义， ∴，， ∴， ∴， ∵为方程的根， ∴， 解得或， ∴或， 当时，，满足三角形三边关系，此时的周长为， 当时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，的周长为． 9．（25-26九年级上·山东临沂·月考）有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝． 阅读下列例题： 设，求的值． 解：由得， 代入，有（整体代入或换元思想） 试一试：当是一元二次方程的一个根时， 求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及整体代入法． 由是一元二次方程的一个根得，，然后代入所给计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 11．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 一元二次方程和它的解 题型一：判断是否为一元二次方程 1．（25-26九年级上·河北张家口·月考）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海金山·月考）下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·一模）根据实际问题中的相等关系，设未知数列出了下列方程，其中一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西上饶·月考）下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二：根据一元二次方程的定义求参数 1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）关于的一元二次方程有一个解为0，则 ． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 6.（25-26九年级上·全国·单元测试）方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 题型三：一元二次方程的一般式 1．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得 ，它的一次项系数是 ． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）把方程化成一般式（a，b，c为常数且a≠0）的形式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ． 3．（25-26九年级上·四川广安·月考）一元二次方程化成一般形式为 ． 4．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 5．（25-26九年级上·江西上饶·期中）将一元二次方程 化为一般形式，已知该方程的二次项系数为2，则常数项是 ． 6．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 题型四：判断是否为一元二次方程的解 1．（19-20九年级上·天津·期末）下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南许昌·月考）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 5．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 题型五：与一元二次方程的解求参数 1．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）已知是一元二次方程的一个解，则m的值为（   ） A． B．0 C．3或 D．3 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 5．（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为（   ） A．8 B． C．9 D． 题型六：由一元二次方程的解求代数式的值 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）若是方程的根，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·假期作业）已知m为方程的根，那么的值为（    ） A． B．3 C．2025 D．4047 3．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如果是一元二次方程的一个根，那么多项式的值等于（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京·期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A．2022 B．2024 C．4048 D．4046 5．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知方程的一个根为，则代数式的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）若是一元二次方程的解，则 ． 题型七：一元二次方程解的估算 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·月考）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A．B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建三明·期中）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·福建三明·期中）如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型八：化简求值与一元二次方程综合 1．（25-26九年级上·广西崇左·月考）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 2．（25-26九年级上·四川自贡·月考）先化简，再求值：，其中a是方程的解． 3．（25-26九年级上·重庆开州·月考）先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中 是方程 的解． 5．（24-25九年级上·重庆永川·月考）已知是方程的一个根，求的值． 题型一：一元二次方程中创新题型 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 2．（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 4．（25-26八年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 5．（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 题型二：一元二次方程中阅读题型 1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（a，b为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a，b，c，d为实数，且，）有如下运算法则： ； ； ． (1)化简直接填空：① ，② ； (2)关于x的一元二次方程有一个根是，其中m，n是实数，求的值． 4．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 5．（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 6．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 1．（25-26九年级上·辽宁抚顺·月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆大渡口·期中）若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 3．（25-26九年级上·四川泸州·月考）把一元二次方程整理成一般形式后，一次项系数的值是（   ） A．5 B． C．2 D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是 ． 6．（25-26九年级上·广西崇左·月考）关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是 ． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 7．（25-26九年级上·北京大兴·期中）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）已知、、是的三条边长，若是关于的一元二次方程的根． (1)是等腰三角形吗？是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； (2)若代数式有意义，且为方程的根，求的周长． 9．（25-26九年级上·山东临沂·月考）有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学习数学的重要法宝． 阅读下列例题： 设，求的值． 解：由得， 代入，有（整体代入或换元思想） 试一试：当是一元二次方程的一个根时， 求：的值． 10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 11．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $