精品解析：广西南宁三中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线方程化为斜截式，比较斜率和在轴的截距，得到答案. 【详解】由题，，则两直线的斜率相等，在轴的截距， 故两条件直线的位置关系为平行. 故选：B 【点睛】本题考查了由两直线方程的一般式判断两直线位置关系，属于基础题. 2. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据通项公式直接代值计算即可. 【详解】由，则. 故选：B. 3. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心和过点求出半径，再利用圆的标准方程即可得解. 【详解】由题可知，，所以圆的半径， 又以为圆心，所以圆的标准方程为：， 故选：D． 4. 如果物体的运动函数为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是（ ） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数后可求物体在2秒末的瞬时速度. 【详解】，所以（米/秒）， 故选：A. 5. “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件，再进行判断. 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件， 故选：A 6. 已知是定义域为的函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构建函数，求导可知函数单调性，然后代值计算即可. 【详解】令，则．因为，所以，在上单调递增， 而，又，即，从而，根据的单调性可得， 故选：C． 7. 已知等差数列，的前项和分别为和，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：．令Sn＝n（2n+1），Tn＝n（n+2）．可得n＝1时，a1＝S1；b1＝T1．n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1；bn＝Tn﹣Tn﹣1，代入计算即可. 【详解】由等差数列的性质可得：． 令Sn＝n（2n+1），Tn＝n（n+2）． n＝1时，a1＝S1＝3；b1＝T1＝3． n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n（2n+1）﹣（n﹣1）（2n﹣1）＝4n﹣1； bn＝Tn﹣Tn﹣1＝n（n+2）﹣（n﹣1）（n+1）＝2n+1． ∴1． 故选：D． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得∥，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，由余弦定理可得，从而可求解. 【详解】因为，则∥，且，， 设，则， 又因为平分，则， 可得，， 由双曲线定义可知，， 可得，且， 因为，则， 可得， 即，化简得， 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得∥，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，再结合余弦定理分析求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列 ，=1， ，则（ ）. A. 数列 是等比数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 是等差数列 D. 数列 是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数列与的通项公式，再判断是否是等比或等差数列；等差数列的单调性决定于公差的正负，等比数列的单调性决定于首项的正负和公比与1的大小. 【详解】由=1，得，，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确B不正确； ，数列 是递增的等差数列，故C，D正确. 故选：ACD. 10. 已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 直线与双曲线有两个公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】A.易得焦点三角形为直角三角形，利用勾股定理求解判断；B.利用离心率为求解判断；解：C. 利用离心率为，结合求解判断；D.由直线方程与双曲线方程联立，利用判别式判断. 【详解】解：如图所示： 因为，，所以， 又，则，， 由勾股定理得，解得，故A正确； 则，所以渐近线方程为，故B错误； 因为，所以，则，而，所以，所以，故C错误； 由，消去x得，则， 所以直线与双曲线有两个公共点，故D正确， 故选：AD 11. 已知函数恰有两个极值点，，则（ ） A. B. 存在，使得有三个零点 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导，根据极值点的性质得出的取值范围，再结合函数的单调性分析函数的零点情况，利用极值点的关系分析的取值范围以及的取值范围. 【详解】选项A：，，，两函数图象有且仅有两个不同的交点.，， （0，1） 1 0 + 单调递减 极小值 单调递增 ，另外，和，，时，两函数图象有且仅有两个不同的交点，A选项正确； 选项B：由A选项知，时，有三个单调区间： 易知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 在区间上单调递增，且， 则，（极大值） 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ， 的极大值小于零，不可能有三个零点，B选项错误； 选项C：同理可得，，由B选项可知， ，C选项正确. 选项D：由选项B知，，且，， ，即， ，，即，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数的单调递减区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再由可求出的单调递减区间. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 13. 已知是椭圆上一点，直线，则到直线的距离的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】求与椭圆相切且平行于直线的直线方程，利用平行线间的距离公式求出最小值即可. 【详解】由直线的方程与椭圆的方程可知，直线与椭圆不相交. 设直线平行于直线，则直线的方程可以写成. 由方程组，消去得. 令，即，解得或. 由图可知，当时，直线与椭圆的交点到直线的距离最近，此时直线的方程为， 直线与直线间的距离， 故椭圆上的点到直线的距离最小值为. 故答案为：. 14. 已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为________. 【答案】12 【解析】 【分析】由已知等式可得或，首先求出数列为等差数列或等比数列时正整数的值，然后再讨论为等差和等比交叉数列，要使的值最小，可利用递推关系式所满足的规律进行推导得出结果. 【详解】由，得或. 当时，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则，即，解得； 当时，数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 则，即，解得：（舍）； 若数列是等差与等比的交叉数列，又，， 若要使最小，则，，， ，，，， ，，，，， 又，要使m最小，则， 此时，故的最小值为12. 故答案为：12. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设． （1）若，求C； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，利用和角公式与辅助角公式计算可得，结合三角形内角的范围即可求得角； （2）利用余弦定理和题设条件，求出的值，再由三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得（*）， 因，则，于是， 代入（*），可得， 即， 整理得：， 即，. 因为， 所以，故. 【小问2详解】 因，则易得， 由余弦定理得， 即， 即， 故得. 因为，，则， 因此的面积为. 16. 已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若为数列的前n项和，求使成立的n的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列等比数列求解公差与公比，求解通项公式； （2）裂项相消法求和，利用，求出范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由题意可得即 又因为，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 因为，所以，又，所以. 所以满足题意的的取值范围为. 17. 如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）若点E是线段上一动点，点E在何位置时，二面角的余弦值为． 【答案】（1） 证明：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∵且，，平面， ∴平面． （2）E为的靠近D点的五等分点 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质和矩形的性质证得线面垂直，再得线线垂直，最后又由线面垂直的判定定理得证； （2）利用点E是线段DB上的一动点，设出，再求两个平面的法向量，进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，，，M是的中点， ∴， 取的中点O，连接，则平面， 取的中点N，连接，则， 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， 设，， 因为平面的一个法向量， ，， 设平面的一个法向量为， 则，可得． 再由，则， ∴或（舍）， 所以E为的靠近D点的五等分点． 18. 已知函数，. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若为函数的导函数，讨论函数的极值； （3）若，证明：在上恒成立. 【答案】（1） （2）当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. （3） 不等式可化为， 即， 令，. 则，， 由（2）可知，时，函数在上单调递减， 在上单调递增，在处取得最小值， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以函数在上单调递增. 所以. 即当时，在上恒成立. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在切点处的切线斜率及切点坐标，代入直线方程求解. （2）求出函数的导函数，明确函数的定义域，对导函数再次求导，利用倒数的符号变化判断单调性，进而确定极值. （3）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，通过构造函数、研究单调性和最值来证明. 【小问1详解】 当时，，， 所以， 所以，又， 则曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 令，， 则，. 当时，，函数在上单调递增， 此时函数在上无极值； 当时，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4． （1）求拋物线的方程； （2）已知抛物线的准线为为坐标原点，若过焦点的动直线与抛物线交于两点，直线AO与交于点， （i）证明：直线轴； （ii）过两点分别作抛物线的切线相交于点且分别与直线相交于点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （i）由（1）可知抛物线的焦点，准线方程为， 设， 所以直线AO的方程为， 由题意可得点， 设直线AB的方程为， 联立，整理可得， 所以，可得， 所以， 所以直线轴． （ii）． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义，利用焦半径公式可求； （2）（i）设，联立直线与抛物线组成方程，可求得，可得结论；（ii）设，与抛物线方程联立，利用根与系数关系.分别求出，，，进而计算可求面积的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知抛物线准线为，则到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即 所以抛物线方程为：； 【小问2详解】 （i）略 （ii）设， 联立方程组 消去，整理得， 所以， 所以，则，即， 令，得， 同理， 联立， 得交点的横坐标为， 面积的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线l1：2x＋3y－2＝0，l2：2x＋3y＋2＝0的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 重合 2. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 19 3. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如果物体的运动函数为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是（ ） A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒 5. “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 已知是定义域为的函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知等差数列，的前项和分别为和，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，与其中一条渐近线交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列 ，=1， ，则（ ）. A. 数列 是等比数列 B. 数列 是递增数列 C. 数列 是等差数列 D. 数列 是递增数列 10. 已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 直线与双曲线有两个公共点 11. 已知函数恰有两个极值点，，则（ ） A. B. 存在，使得有三个零点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数的单调递减区间是__________. 13. 已知是椭圆上一点，直线，则到直线的距离的最小值为________. 14. 已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设． （1）若，求C； （2）若，，求的面积. 16. 已知公差不为0的等差数列和等比数列中，，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若为数列的前n项和，求使成立的n的取值范围. 17. 如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点．将沿折起，如图乙，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）若点E是线段上一动点，点E在何位置时，二面角的余弦值为． 18. 已知函数，. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若为函数的导函数，讨论函数的极值； （3）若，证明：在上恒成立. 19. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4． （1）求拋物线的方程； （2）已知抛物线的准线为为坐标原点，若过焦点的动直线与抛物线交于两点，直线AO与交于点， （i）证明：直线轴； （ii）过两点分别作抛物线的切线相交于点且分别与直线相交于点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $