寒假精准练：一元二次方程2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2026年苏科版数学九年级上册寒假精准练：一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，分别为一元二次方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.若，则一元二次方程必有一个根是(    ) A. B. C. D. 4.如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是(    ) A. B. C. D. 5.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 6.若一元二次方程有实数解，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 7.已知，，为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8.已知方程配方后是，则方程配方后是(    ) A. B. C. D. 9.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知关于的两个多项式，，其中为常数有下列说法： 当时，若的值为整数，则的整数值有个 若始终有解，则的取值范围是或 存在非零实数，，使得方程有一对互为倒数的根，则这一对互为倒数的根的平方和为． 其中说法正确的个数是(    ) A. B. C. D. 11.九章算术“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈问户高、广各几何”大意是说：已知长方形门的高比宽多尺寸，门的对角线长丈，那么门的高和宽各是多少？“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中丈尺，尺寸设门高尺，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 12.有下列四个命题，其中真命题是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 命题“若，则”的逆命题 D. 若一元二次方程的两根是和，则方程的两根是和 13.如果实数，分别满足，，则的值是(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 14.若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是          ． 15.已知关于的一元二次方程的一个根是，则           ． 16.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是          ． 17.设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为          ． 18.若关于的一元二次方程都为有理数的一个解是，则方程的另一个解是          ． 19.关于的方程的两根分别为、，则的值为          ． 四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 解下列方程： ； ． 21.本小题分 已知关于的一元二次方程有实数根． 求实数的取值范围 设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论为何值，方程总有实数根； 若，是方程的两个实数根，且，求的值． 23.本小题分 如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为、现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽各增加相同的长度后，得到新的矩形绿地． 若扩充后的矩形绿地的面积为，求新的矩形绿地的长与宽； 扩充后，若实地测量发现新的矩形绿地的长、宽之比为，则新的矩形绿地的面积为          ． 24.本小题分 如图所示，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． 如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于 如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的长度等于 在中，的面积能否等于说明理由． 25.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围． 当时，用配方法解方程． 答案和解析 1.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：，分别为一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ． 故选：． 利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 3.【答案】  【解析】当时，，即， 一元二次方程必有一个根是． 4.【答案】  【解析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据等积法可知空白部分的面积为，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解和定义以及一元二次方程的解法，关键是注意方程二次项的系数不等于． 首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值． 【解答】 解：把代入得： ， ， 解得：，， 是一元二次方程， ， ， ． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：点在第二象限， ，， ， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选． 8.【答案】  【解析】解： 方程配方后是， ， ，， ，． 将方程配方得， ，即． 故选D． 9.【答案】  【解析】解：由原方程，得 ， ， ， 故选：． 在本题中，化二次项系数为后，把常数项移项，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方即可解答． 本题考查了解一元二次方程--配方法． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】解：设长方形门高尺，则宽是尺， 根据题意得， 故选：． 设长方形门高尺，则宽是尺，根据勾股定理即可列方程求解． 本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键． 12.【答案】  【解析】解：、若，则，故原命题是假命题； B、当时，，原分式方程无意义，故原命题是假命题； C、命题“若，则”的逆命题是“若，则”，故逆命题是真命题； D、若一元二次方程的两根是和，则方程为，即， ，，， 方程为， 解得：和，故原命题是真命题． 故选：． 根据平方根，分式，一元二次方程和不等式的性质等知识对个命题逐一分析即可． 本题主要考查了平方根，分式，一元二次方程和不等式的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：，， 若时，、可看作方程的两根， ，， ； 解方程得，， 当时，或， 的值为或， 综上所述，的值为或或． 故选：． 当时，利用已知条件，可把、看作方程的两根，则根据根与系数的关系得到，，再利用通分得到，接着利用整体代入的方法计算；当时，解关于的方程得到，，然后把它们分别代入中计算即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 14.【答案】且  【解析】略 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意得：， 整理得：，． 又为整数， ， ． 故答案为：． 设这个两位数的个位数字为，则十位数字为，根据个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其中整数代入中即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 故答案为： 先根据一元二次方程根与系数的关系确定出与的两根之积与两根之和的值，再代入变形后的代数式即可解答． 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程的根与系数的关系为：， 18.【答案】  【解析】略 19.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了代数式求值，根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，直接根据根与系数的关系求解即可． 【解答】 解：关于的方程的两根分别为、， ，， ． 20.【答案】，   【解析】解：， ， 或， ，； ， ，，， ， ， ． 根据因式分解法求解即可； 根据公式法求解即可． 本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键． 21.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 即的取值范围是；  当时方程为． 由根与系数的关系得，． ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 22.【答案】【小题】 ，无论为何值，方程总有实数根  【小题】 由题意知，，．，整理，得，解得或    【解析】 略  略 23.【答案】【小题】 设将原矩形绿地的长、宽各增加，则新的矩形绿地的长为，宽为根据题意，得整理，得，解得，不合题意，舍去此时，答：新的矩形绿地的长为，宽为 【小题】   【解析】 略   设将原矩形绿地的长、宽各增加，则新的矩形绿地的长为，宽为根据题意，得，即，解得新的矩形绿地的面积为 24.【答案】【小题】 设经过秒，则，， ． ，即， 解得或舍去，故秒后，的面积等于． 【小题】 ，，，解得舍去或故秒后，的长度为． 【小题】 令，即，，整理得由于，故方程没有实数根所以在中，的面积不能等于．   【解析】 见答案  见答案  见答案 25.【答案】【小题】 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，解得且． 【小题】 当时，原方程为，即，移项，得，配方，得，即，直接开平方，得，解得，．   【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $