专题1.5 一元二次方程（章节复习）知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题1.5 一元二次方程（章节复习） （知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题） 知识梳理 技巧点拨 2 优选题型 考点讲练 7 考点1：由一元二次方程的定义求参数 7 考点2：判断是否是一元二次方程的解 7 考点3：由一元二次方程的解求参数 8 考点4：一元二次方程的解的估算 8 考点5：解—元二次方程—直接开平方法 9 考点6：解—元二次方程一配方法 10 考点7：配方法的应用 10 考点8：公式法解一元二次方程 11 考点9：因式分解法解一元二次方程 12 考点10：换元法解一元二次方程 12 考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 13 考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 13 考点13：一元二次方程的根与系数的关系 14 考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 14 考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 15 考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 16 考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 17 考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 18 考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 19 考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 20 考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 21 考点22：图表信息题（一元二次方程的应用 22 考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 23 考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 23 考点25：解分式方程（化为一元二次方程) 24 中考真题 实战演练 25 难度分层 拔尖冲刺 26 基础夯实 26 培优拔高 27 知识点梳理01：一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 知识点梳理02：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 知识点03：一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 知识点04：一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 考点1：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【变式训练】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 考点2：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【变式训练】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 考点3：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ． 考点4：一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【变式训练】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 考点5：解—元二次方程—直接开平方法 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1) ； (2)． 【变式训练】（2025九年级上·安徽·专题练习）如图，点为反比例函数与正比例函数图象的交点，是直线上的两点，且点均在点右侧，分别过作轴的平行线，交反比例函数的图象于两点． (1)当点，是线段的三等分点时，的值为 ． (2)连接，，若，则的值为 ． 考点6：解—元二次方程一配方法 【典例精讲】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）（1）解方程：． （2）如图，是正方形内的一点，将绕点顺时针旋转至．若，，求的度数． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： (1) ；（配方法） (2)；（公式法） 考点7：配方法的应用 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【变式训练】（24-25八年级上·四川乐山·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式中先加上一项9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若． ①当、、满足条件：时，求的值； ②若三边长是、、，且为奇数，求的周长． 考点8：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）按下列要求解方程： (1) （用配方法）； (2) （用公式法） 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）解一元二次方程： (1) （公式法）； (2)（因式分解法）． 考点9：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）解下列方程： (1) ； (2)． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为 ． 考点10：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1) ． (2)． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为2，求方程的另一个根； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一根为2，求m的值． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 考点13：一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的一元二次方程； (1)求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为、且满足，求的值． 【变式训练】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【变式训练】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·广东深圳·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36．3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【变式训练】（24-25九年级上·河北衡水·期中）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． (1)y关于x的一次函数解析式为______； (2)若想每个月获得3150元的利润，则销售价格应定为多少元？ 【变式训练】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． (3)平均每天盈利能否达到元，请说明理由． 考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【变式训练】（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【变式训练】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【变式训练】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）（1）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划安排28场比赛，求共有几支球队参加比赛？ （2）如图，线段上共有7个点（包括端点），则图中共有________________条线段； （3）若一个边形共有20条对角线，则_______________． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【变式训练】（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 考点25：解分式方程（化为一元二次方程) 【典例精讲】（24-25八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆·期末）用适当的方法求解下列方程： (1) (2) (2)         (4) (5) (6) 1．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 5．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为 ． 3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为 ． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 培优拔高 6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）用配方法解方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，一试验园地是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是 毫升． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）一商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件． (1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件． (2)当每件商品降价________元时，该商店每天销售利润为1800元． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 一元二次方程（章节复习） （知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题） 知识梳理 技巧点拨 2 优选题型 考点讲练 7 考点1：由一元二次方程的定义求参数 7 考点2：判断是否是一元二次方程的解 8 考点3：由一元二次方程的解求参数 10 考点4：一元二次方程的解的估算 11 考点5：解—元二次方程—直接开平方法 12 考点6：解—元二次方程一配方法 14 考点7：配方法的应用 16 考点8：公式法解一元二次方程 18 考点9：因式分解法解一元二次方程 20 考点10：换元法解一元二次方程 21 考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 22 考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 24 考点13：一元二次方程的根与系数的关系 25 考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 27 考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 28 考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 30 考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 32 考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 34 考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 35 考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 38 考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 39 考点22：图表信息题（一元二次方程的应用 41 考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 44 考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 45 考点25：解分式方程（化为一元二次方程) 47 中考真题 实战演练 49 难度分层 拔尖冲刺 52 基础夯实 52 培优拔高 54 知识点梳理01：一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 知识点梳理02：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 知识点03：一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 知识点04：一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 考点1：由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 【变式训练】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 考点2：判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【规范解答】解： 是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【规范解答】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 考点3：由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【规范解答】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 【变式训练】（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可． 【规范解答】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长， 当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意； 当时， ∴， ， 故答案为：． 考点4：一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（24-25九年级上·四川成都·期中）根据表格中的数据，判断一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为（　　） x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.16 0.59 A． B． C． D．0.6＜x＜0.7 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的近似根，熟练掌握式子的值在0附近时的x值，是解决此题的关键． 利用表中的对应值得到时，；时，，从而得到x在之间取一数值时，，于是得到一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围． 【规范解答】解：∵时，；时，， ∴当x在之间取一数值时，， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）一个解x的范围为． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）观察下面的表格，估计一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了估算一元二次方程的近似解，找出代数式的值最接近时，其对应的值就是方程的近似解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，其中代数式的值最接近的是与，其对应的值是与， ∴一元二次方程的一个解的范围是： ， 故选：C． 考点5：解—元二次方程—直接开平方法 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，再利用直接开平方法求解即可； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 【变式训练】（2025九年级上·安徽·专题练习）如图，点为反比例函数与正比例函数图象的交点，是直线上的两点，且点均在点右侧，分别过作轴的平行线，交反比例函数的图象于两点． (1)当点，是线段的三等分点时，的值为 ． (2)连接，，若，则的值为 ． 【答案】(1) (2)6 【思路引导】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）先联立直线和反比例函数解析式求出点A的坐标，再根据中点坐标公式求出点B和点C的坐标，进而求出点D和点E的坐标，据此求出的长即可得到答案； （2）设，则，，则，，由，可得，则可推出，再利用两点距离计算公式得到，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：联立，解得或（舍去）， ∴， ∵点，是线段的三等分点， ∴点A和点B分别是的中点， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：6． 考点6：解—元二次方程一配方法 【典例精讲】（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）（1）解方程：． （2）如图，是正方形内的一点，将绕点顺时针旋转至．若，，求的度数． 【答案】（1）（2） 【思路引导】本题考查解一元二次方程，旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握解一元二次方程的方法，旋转的性质，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）根据旋转的性质结合三角形的内角和定理，求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【规范解答】解：（1） ， ， ， ， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 考点7：配方法的应用 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路引导】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 【变式训练】（24-25八年级上·四川乐山·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式中先加上一项9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若． ①当、、满足条件：时，求的值； ②若三边长是、、，且为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)①5；②14或16 【思路引导】本题主要考查了利用“配方法”进行因式分解、三角形的三边的关系、同底数幂的乘法等知识点，灵活运用“配方法”是解答本题的关键． （1）直接利用“配方法”求解即可； （2）先利用“配方法”求出、；①由得到，即，进而完成解答；②由三角形三边的关系可得，，即，则可得z可以为5、7，即有可以为14、16问题得解． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，； ①∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵，， ∴，解得：，即n的值为5； ②∵三边长是、、， ∴， ∵，， ∴， ∵z奇数， ∴z以为5、7， ∴可以为14、16．即△ABC的周长为：14或16． 考点8：公式法解一元二次方程 【典例精讲】（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）按下列要求解方程： (1) （用配方法）； (2) （用公式法） 【答案】(1)，； (2)． 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）直接利用公式法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∵， ∴， 解得：． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）解一元二次方程： (1) （公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）利用公式法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴或， ． 考点9：因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃临夏·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． （2）解：∵， ∴ ∴ 解得，． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，由判别式可得k的取值范围，再由k是正整数可得k的值，再把k的值代入原方程求出对应的x的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k为1或2， 当时，原方程为，解得或，此时不符合题意； 当时，原方程为，解得或，此时符合题意； ∴原方程的根为或， 故答案为：或． 考点10：换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【规范解答】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为2，求方程的另一个根； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，掌握的方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）将代入方程，求出，化简原方程可得，再根据因式分解法解二元一次方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得到，再根据平方的非负性，即可证明结论． 【规范解答】（1）解：将代入方程，得：，解得：． 当时，方程为， ， ，， ∴方程的另一个根是． （2）证明：∵在中，， ， ， ， ， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)时，为等腰三角形，的周长分别为30或32． 【思路引导】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）的结论及为等腰三角形，可得出只能是的腰，再将代入原方程中求出n的值，分别解一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）证明： ∴无论n为何值方程总有两个不等实根； （2）解：∵方程有两个不相等实根， 为等腰三角形， ∴方程的其中一根应为10， ∴， 即：， 解得， 当时，方程为， 解得， ∴三边为10，10，12，周长为， 当时，方程为， 解得， ∴三边为8，10，12，周长为． 考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程有一根为2，求m的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查根的判别式，方程的解，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有2个不相等的实数根，得到判别式大于0，进行求解即可； （2）把代入方程，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【规范解答】（1）根据题意，得， 解得． （2）∵2是方程的一个根， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 考点13：一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知关于的一元二次方程； (1)求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根为、且满足，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．一元二次方程根与系数关系：，． （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可； （2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用得到关于m的方程，解方程即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：在方程中，，，， ， 不论m取何值，， ． 不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）知方程总有两个不相等的实数根、， ，， 而，即， 解并检验得 【变式训练】（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【思路引导】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【规范解答】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数． 【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【规范解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 【变式训练】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期中）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共90张，设小组有人，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡，与全组共送贺卡90张，据此列出关于x的一元二次方程即可解答． 【规范解答】解：设该小组共有x人，则每人赠送张贺卡， 依题意得：． 故选A． 考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25八年级下·广东深圳·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36．3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． (2)下调后每辆汽车的售价为20万元 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，然后根据题意可得方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，根据题意得到，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x． 根据题意得：． 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：，整理得：． 解得：，． 又∵要尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： (1)降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) (2)试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． (3)当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)； (2)2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； (3)当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【思路引导】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； （2）解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． （3）解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【答案】长为，宽为，高为 【思路引导】通过设长方体纸盒的高为未知数，根据矩形纸张的尺寸表示出长方体纸盒底面的长和宽，再结合底面积列出方程求解．本题主要考查一元二次方程的实际应用（长方体的折叠问题 ），熟练掌握根据图形折叠关系表示出长方体的长、宽、高，以及利用面积公式列出方程求解是解题的关键． 【规范解答】设长方体纸盒高为，则长为，宽为， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：长方体纸盒高为，则长为，宽为． 【变式训练】（24-25九年级上·河北衡水·期中）在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由． (2)你还有其他的设计方案吗？请在如图所示中画出你所设计的草图，并写出你的设计方案． 【答案】(1)小芳的方案不符合条件，见解析； (2)见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，抓住等量关系花园的面积等于荒地面积的一半是解决问题的关键． （1）利用等量关系花园的长花园的宽荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可； （2）利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案；保证阴影部分的面积等于荒地面积的一半即可． 【规范解答】（1）解：不符合． 设小路宽度均为， 根据题意得： 解这个方程得：，． 但不符合题意，应舍去， ∴小芳的方案不符合条件； （2）解：答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半． 考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【思路引导】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． (1)y关于x的一次函数解析式为______； (2)若想每个月获得3150元的利润，则销售价格应定为多少元？ 【答案】(1) (2)当价格为25元或17元时，每个月获得3150元的利润． 【思路引导】本题主要考查了一次函数解析式的求法和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及方程，即可求解． （1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案； （2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设，把，和，代入可得 ， 解得， 则； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：当价格为25元或17元时，每个月获得3150元的利润． 【变式训练】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． (3)平均每天盈利能否达到元，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)每件童装降价元，平均每天盈利元； (3)平均每天销售利润不能达到元，理由见解析． 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． （1）根据销售量原销售量因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可； （2）根据总利润每件利润销售数量，列方程求解可得； （3）根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程，再根据根的判别式求解． 【规范解答】（1）解：设每件童装降价x元时， 每天可销售件， 每件盈利：（元）； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， ∵扩大销售量，增加利润， ， 答：每件童装降价元，平均每天盈利元； （3）解：依题意，可列方程： ， 化简，得 ， ． 方程无实数根． 故平均每天销售利润不能达到元． 考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【思路引导】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 【变式训练】（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【思路引导】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【考点评析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【变式训练】（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【思路引导】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【考点评析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【变式训练】（22-23九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【规范解答】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 考点22：图表信息题（一元二次方程的应用 【典例精讲】（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 7 140 264 8 95 152 （1）求出该市规定标准用水量a的值； （2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？ 【答案】（1）a＝100；（2），当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【思路引导】（1）由于七月份用水量为140吨，每吨1.6元计算，应缴费224元，而实际缴费264，则七月份用水量超过了标准，超过标准的部分每吨需加收元的附加费用；然后列出关于a的方程求得a值，最后结合8月份的用水量对答案进行取舍即可； （2）根据（1）中求得的a值进行分段，然后根据规定分别建立函数关系式；并将x=150吨代入合适的解析式求解即可． 【规范解答】解：（1）因七月份用水量为140吨， 1．6×140＝224＜264， 所以需加收:(元)， 即a2﹣140a+4000＝0，得a1＝100，a2＝40， 又8月份用水量为95吨，1．6×95＝152，不超标 故答案为a＝100； （2）当0≤x≤100时，则y＝1．6x； 当x＞100时，则y＝1．6x+（x﹣100）＝2.6x﹣100． 即y 用水量为150吨时，应交水费：y=2.6×150－100=290（元）． 答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元． 【考点评析】本题考查了一元二次方程和一次函数在实际中的运用，从表格中获取所需信息以及结合表格建立分段函数关系式是解答本题的关键． 【变式训练】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【思路引导】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【规范解答】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【考点评析】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）（1）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划安排28场比赛，求共有几支球队参加比赛？ （2）如图，线段上共有7个点（包括端点），则图中共有________________条线段； （3）若一个边形共有20条对角线，则_______________． 【答案】（1）8支；（2）21；（3）8 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，线段的计数方法，边形对角线公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可解题． （2）根据线段的计数方法无遗漏的数出所有线段，即可解题； （3）根据边形对角线公式为，列式计算，即可解题． 【规范解答】解：（1）设共有支球队参加比赛， 根据题意有， 解得或（不合题意，舍去）， （2）因为线段上共有7个点（包括端点）， 所以图中所有线段个数为：（条）， 故答案为：； （3）因为一个边形共有20条对角线， 所以， 解得或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 【答案】新方阵增加了2列 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设新方阵增加了列．根据新方阵增加的行数和增加的列数相同，再建立方程求解即可． 【规范解答】解：设新方阵增加了列． 根据题意，得． 整理，得． 解这个方程，得（不合题意，舍去），． 答：新方阵增加了2列． 考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【典例精讲】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 【变式训练】（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【思路引导】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【规范解答】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 考点25：解分式方程（化为一元二次方程) 【典例精讲】（24-25八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了换元法解分式方程． 设，则，方程可变为，两边都乘以即可． 【规范解答】解：设，则， 即， 因此方程可变为， 两边都乘以得：， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·重庆·期末）用适当的方法求解下列方程： (1) (2) (3)                        (4) (5) (6) 【答案】(1)， (2)无实数根 (3)， (4)， (5) (6) 【思路引导】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法和分式方程的验根是解题的关键， （1）先移项、化简，再利用直接开平方法求解． （2）根据一元二次方程判别式判断根的情况． （3）将通过移项，提取公因式，选择因式分解法，即可解得答案． （4）选择公式法求解即可． （5）利用完全平方公式因式分解求解． （6）先对分式变形，然后去分母化为整式方程，因式分解求解，最后检验增根． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴， ∴． ∴ ； （2）解：， ∴． ∵， ∴此方程无实数根． （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：， ； （4）解：， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴，； （5）解； ， ∴， 解得； （6）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 检验，当时，，是增根，舍去； 当时，， 所以原方程的解是． 1．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【规范解答】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 2．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【规范解答】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【规范解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 4．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【规范解答】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 5．（2024·青海西宁·中考真题）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【规范解答】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 基础夯实 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列是关于x的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：①整式方程；②仅含一个未知数；③未知数的最高次数为2． 根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【规范解答】解：A：，仅为代数式，无等号，不是方程，不符合题意． B：，化简为，未知数次数为1，是一元一次方程，不符合题意． C：含项，分母含未知数，属于分式方程，非整式方程，不符合题意． D：，满足整式方程、仅含x且最高次数为2，符合题意． 故选D． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【规范解答】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可列方程为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为 ． 【答案】10 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【规范解答】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 5．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 【答案】这种台灯售价定为元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【规范解答】解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 培优拔高 6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）用配方法解方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了配方法．熟练掌握配方法解一元二次方程的方法步骤，是解题的关键． 通过配方法将二次方程左边转化为平方形式，对比选项得出正确结果． 【规范解答】解：原方程为． 将常数项移到右边，得． 取一次项系数的一半，平方得． 在方程两边同时加上，． 化简，得． 故选：A． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，一试验园地是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，难度一般，理解题意列出方程是关键．把白色部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【规范解答】解：把白色部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为米，宽为米， ∵种植面积为平方米， ∴可列方程为． 故选：C． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是 毫升． 【答案】10 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键．设每次倒出液体为x升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二次倒完后，剩下的纯酒精是81升，列出一个一元二次方程即可求解． 【规范解答】解：设每次倒出液体为x毫升， 则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ， 由题意可得： ， 整理可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴每次倒出的液体是10升． 故答案为：10． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）一商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件． (1)若降价3元，则平均每天销售数量为________件． (2)当每件商品降价________元时，该商店每天销售利润为1800元． 【答案】(1)39 (2)10 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确列出式子与方程进行计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）设每件商品降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【规范解答】（1）解：（件）； （2）解：设每件商品降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 依题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． ∴每件商品降价10元． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）小琴的父母承包了一块荒山种植一批梨树，今年收获一批蜜梨．他们打算以每千克元的零售价销售5000kg蜜梨，剩余的蜜梨以每千克比零售价低1元的批发价批发给外地客商，预计总共可获得145000元收入． (1)小琴的父母今年共收获蜜梨多少千克？ (2)若以零售价销售蜜梨，平均每天可售出200kg，每千克盈利2元．为了加快销售速度，小琴的父母采取了降价措施，并发现每千克零售价降低0.1元，平均每天可多售出40kg．每千克零售价应降价多少元，才能使得每天的销售利润为600元？ 【答案】(1)小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg (2)每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为600元 【思路引导】根据销售毛利润与单价、数量之间的关系可列方程，求出的值，进而求出总产量； 由于降价，日销售量增加，用含有的代数式表示每斤的销售利润和日销售量，根据日销售利润可列方程求解，注意结果的合理性. 【规范解答】解：由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 当时，． 故小琴的父母今年共收获蜜梨kg． 设每千克零售价应降价元，才能使得每天的销售利润为元． 由题意，得， 解得． 为了加快销售速度， 应该舍去0.5，选降价1 元。 故每千克零售价应降低1元，才能使得每天的销售利润为元． 【考点评析】一元二次方程及应用，列出合理的方程是解题的关键，分析数量关系则显得尤其重要，降价使日销售量和每斤的销售利润发生变化，尤为注意. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$