广东湛江市寸金培才学校2025-2026学年九年级上学期素养评价三（期末）数学试卷

湛江市寸金培才学校 2025-2026 学年度九年级素养评价三 数学科 试卷 时间：120分钟 满分：120分 命题老师：金秀波 审题老师：何敏霞 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个数中，小于的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．根据实数的大小比较，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．中国第一艘弹射起降航母“福建”号于2025年11月5日服役。该舰满载排水量8万余吨,数据80000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据80000用科学记数法表示为． 故选：B． 3．如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何图形的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键； 根据从前面观察几何图形是几何图形的主视图，即可求解； 【详解】解：从几何图形的正面观察几何图形， 看到的图形是， 故选：A 4．如图，在中，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 5．下列各式计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法法则逐项判断即可. 【详解】解：A、，故本选项错误， B、，故本选项正确， C、，故本选项错误， D、，故本选项错误， 故选B. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则. 6．如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（ ） A． 3 B． 4 C． 6 D． 8 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得 ，得到根据相似三角形的性质求出，因为 ，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，且和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ∴ ∵ ， ， ∵， ， 故答案为：D． 7．设，是方程的两个实数根，则的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．先结合得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，内接于，点是弧的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据题意可得，则，据此求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求出答案． 【详解】解：∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例子数y2＝的图象相交于A，B两点，其中B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．x＞2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象的特点得出B点横坐标，再利用函数图象可直接得出结论． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为-2． ∵由函数图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜2时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． 10．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 二、填空题 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键．提公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．将，，，分别写在四张同样的卡片上，从中随机抽取张，卡片上的数为无理数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率，根据概率公式直接计算即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：从四张同样的卡片上随机抽取张卡片，共有种等可能结果，其中卡片上的数为无理数的结果有种， ∴从中随机抽取张，卡片上的数为无理数的概率是， 故答案为：． 14．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】由图形可知，，在中，，则，从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：由（1）可知，，， 在中，，则， ， 则， ． 【点睛】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，熟记圆的性质、勾股定理求线段长及扇形面积公式是解决问题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【详解】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．计算： 【答案】0 【详解】试题分析：针对特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式化简，绝对值4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果. 试题解析：原式 考点：1.特殊角的三角函数值；2.负整数指数幂；3.二次根式化简；4.绝对值. 17．解分式方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程． 根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验，看整式方程的解是否是分式方程的解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， 检验：把代入， 因此分式方程的解为： 18．【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 【答案】[验证] ；[探究] ． 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式； [验证]根据日历中的数字规律即可求解； [探究]根据题意得到规律，整式乘法公式，把．化简，即可证明． 【详解】解：[验证]根据题意，； [探究]设被框住的四个数中最小的数为n，则其余三个数分别为，，， 规律为：． 依题意，． 19．图中的工具叫磨，最初叫硙，汉代才叫做磨，磨齿以洼坑为主流，形状有长方形、圆形、三角形、枣核形等，用人力或畜力可使它达到转动目的．如图2，是从石磨抽象出来的模型，在中，，在上取点D，以为直径作，切直线于点E，连接． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，根据切线的性质，圆周角定理，推出，，即可得证； （2）相似三角形的性质，求出，勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∴，. 20．某移动公司为了提升网络信号，在坡度的山坡上加装了信号塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．为了提醒市民，在距离斜坡底A点5.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线所成的夹角为时，信号塔顶端P的影子落在警示牌上的点E处，且长为3米． (1)求点Q到水平地面的铅直高度； (2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：） 【答案】(1)1.5米 (2)13.2米 【分析】（1）作，根据坡度的定义设，在中，由勾股定理可得，代入求出QH的长； （2）作，在中，利用锐角三角函数关系得出PS的长，进而得出答案． 【详解】（1）解：作，垂足为H， 由，可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴ 解得， ∴（米）， 所以，点Q到水平地面的铅直高度是1.5米． （2）解：作，垂足为S， 则， ∴在中，，即． ∴（米）， ∴（米） 所以，信号塔的高度大约为13.2米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，解决本题的关键是熟练掌握坡度坡角的概念． 21．某数学活动小组研究一款如图①简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）． 图②是该秤的电路图，已知串联电路中，电流（单位：A）与定值电阻，可变电阻（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据与之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 6 … 4 2.4 2 1.5 (1)填空： ， ； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对的对应点，画出函数的图象，观察图像可以发现，电流随可变电阻的增大而 ． (3)若电流表量程是，可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系如图④所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 【答案】(1)3；4 (2)见解析，减小 (3)电子体重秤可称的最大质量为101千克 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）选用相应的已知值代入函数解析式求解即可； （2）描点，连线得出函数图象，观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量 【详解】（1）解：∵， 当时，； 当时，， 解得， 故答案为：3；4； （2）描点，连线，如图： 观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小， 故答案为：减小； （3）解：当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入阴值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，， 解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为101千克 22．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，那么我们称这个点为“倍值点”．例如就是“倍值点”．如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“倍值点”．例如：为函数的“倍值点”．若二次函数图象的顶点为“倍值点”，则我们称这个二次函数为“倍值二次函数”．例如二次函数就是“倍值二次函数”． (1)若点为函数的“倍值点”．求点的坐标． (2)若函数的图象经过函数在第一象限内的“倍值点”．求的值． (3)若“倍值二次函数”的图象与直线的交点是“倍值点”，求这个“倍值二次函数”的表达式． (4)若“倍值二次函数”的图象经过点，且顶点在第一象限． 当时，这个“倍值二次函数”的最小值为14．求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4)或8 【分析】（1）根据题意，设点的坐标为，代入即可求解； （2）设“倍值点”坐标为，代入解出的值，得到“倍值点”坐标，再代入即可求解； （3）根据题意可得经过点，代入得到，再根据是“倍值二次函数”，得到，联立方程解出的值，即可求解； （4）仿照（3）的方法求出“倍值二次函数”的表达式为，再利用二次函数的性质，分情况讨论取得最小值时的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设点的坐标为， 代入，得， 解得：， 点的坐标为． （2）解：设函数在第一象限内的“倍值点”坐标为， 代入，得， 解得：，（舍去）， “倍值点”坐标为， 代入到，得， 解得：， 的值为3． （3）解： 的图象与直线的交点是“倍值点”， 经过点， 代入得，， 整理得：， ， 的顶点坐标为， 是“倍值二次函数”， ，即， 解得：，， 当时，，此时二次函数的表达式为， 当时，，此时二次函数的表达式为， 综上所述，这个“倍值二次函数”的表达式为或． （4）解：代入，得， 整理得：， ， 的顶点坐标为， 是“倍值二次函数”， ，即， 解得：，， 顶点在第一象限， ， ， ， 二次函数的对称轴为直线， 当时，即，此时函数在取得最小值14， ， 解得：（舍去），； 当，即，此时函数在取得最小值14， ， 解得：，（舍去）； 当，即，此时函数在取得最小值2，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或8． 23．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出任意一个符合要求的直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理得到，则，再根据勾股定理得到，进而由的性质求解即可； （2）同（1）得，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理得到结论； （3）在纸片绕点旋转过程中，当三点能构成直角三角形时，分四种情况：①当在上时，，此时是直角三角形；②当在的延长线上时，，此时是直角三角形；③当时，是直角三角形；④当时，是直角三角形；分类作图，求出相关线段长，由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）在和中， ∴， ，， ， 即， 在中，，则， 即， ∵， ， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）四边形是矩形； 理由如下： 同（1）得， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形矩形； （3）三点能构成直角三角形， 理由如下： ①当在上时，，此时是直角三角形，如图所示： ∴； ②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图所示： ∴； ③当时，是直角三角形，过点作于点，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，则，解得， ∴； ④当时，是直角三角形，过点作于点，交于点N，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或或或． 【点睛】本题考查三角形相似的综合应用，涉及旋转的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市寸金培才学校 2025-2026 学年度九年级素养评价三 数学科 试卷 时间：120分钟 满分：120分 命题老师：金秀波 审题老师：何敏霞 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个数中，小于的数是（    ） A． B．0 C． D． 2．中国第一艘弹射起降航母“福建”号于2025年11月5日服役。该舰满载排水量8万余吨,数据80000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是（  ） A． B． C． D． 6．如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（ ） A． 3 B． 4 C． 6 D． 8 7．设，是方程的两个实数根，则的（    ） A． B． C． D． 8．如图，内接于，点是弧的中点，，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例子数y2＝的图象相交于A，B两点，其中B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．x＞2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 10．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．因式分解： ． 13．将，，，分别写在四张同样的卡片上，从中随机抽取张，卡片上的数为无理数的概率是 ． 14．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 三、解答题 16．计算： 17．解分式方程： 18．【发现】如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：． 方框二：． 【验证】根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式： 【探究】设被框住的四个数中最小的数为n，用含n的式子证明你所发现的规律． 19．图中的工具叫磨，最初叫硙，汉代才叫做磨，磨齿以洼坑为主流，形状有长方形、圆形、三角形、枣核形等，用人力或畜力可使它达到转动目的．如图2，是从石磨抽象出来的模型，在中，，在上取点D，以为直径作，切直线于点E，连接． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 20．某移动公司为了提升网络信号，在坡度的山坡上加装了信号塔（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．为了提醒市民，在距离斜坡底A点5.4米的水平地面上立了一块警示牌，当太阳光线与水平线所成的夹角为时，信号塔顶端P的影子落在警示牌上的点E处，且长为3米． (1)求点Q到水平地面的铅直高度； (2)求信号塔的高度大约为多少米？（参考数据：） 21．某数学活动小组研究一款如图①简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）． 图②是该秤的电路图，已知串联电路中，电流（单位：A）与定值电阻，可变电阻（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为． 根据与之间的关系得出一组数据如下： … 1 2 3 6 … 4 2.4 2 1.5 (1)填空： ， ； (2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对的对应点，画出函数的图象，观察图像可以发现，电流随可变电阻的增大而 ． (3)若电流表量程是，可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系如图④所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？ 22．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，那么我们称这个点为“倍值点”．例如就是“倍值点”．如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“倍值点”．例如：为函数的“倍值点”．若二次函数图象的顶点为“倍值点”，则我们称这个二次函数为“倍值二次函数”．例如二次函数就是“倍值二次函数”． (1)若点为函数的“倍值点”．求点的坐标． (2)若函数的图象经过函数在第一象限内的“倍值点”．求的值． (3)若“倍值二次函数”的图象与直线的交点是“倍值点”，求这个“倍值二次函数”的表达式． (4)若“倍值二次函数”的图象经过点，且顶点在第一象限． 当时，这个“倍值二次函数”的最小值为14．求的值． 23．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出任意一个符合要求的直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 试卷第8页，共9页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $