精品解析：广东省汕头市下蓬中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

下蓬中学2025-2026学年第一学期高二级数学科期末考试卷 命题人：纪喜丹 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，则为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 240 B. 180 C. 120 D. 60 5. 已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 与圆和圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 一个圆上 B. 一个椭圆上 C. 双曲线的一支上 D. 一条抛物线上 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 B. 两平行直线与之间的距离是 C. 过点作圆的切线，则切线方程为 D. 圆关于直线对称的圆的方程为： 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上的动点（不与端点重合），则（ ） A. 直线与为异面直线 B. 存在点，使得平面 C. 当平面时， D. 当为的中点时，点到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是_______________． 13. 平面向量，若，则______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：． （2）若，，求的面积． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，过的直线l交椭圆于两点，的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点垂直于的直线交椭圆于两点，其中在x轴的上方，设弦的中点分别为． ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下蓬中学2025-2026学年第一学期高二级数学科期末考试卷 命题人：纪喜丹 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，即，解得， 所以，则， 故选：C. 2. 在复平面内，复数，则为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算得到答案. 【详解】，则. 故选：D 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，故可得倾斜角的正切值，故可求倾斜角. 【详解】直线移项可得：，斜率为， 设倾斜角为，则，解得. 倾斜角为. 故选：A. 4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 240 B. 180 C. 120 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】记等差数列的公差为，由得， 故. 故选：C. 5. 已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交点坐标以及直线的方向向量可求得结果. 【详解】已知直线经过两条直线的交点， 则，解得，故交点坐标为， 因为的一个方向向量为， 所以直线方程为，即， 故选：C. 6. 如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，为中点， 所以，， 所以 . 故选：B. 7. 与圆和圆都外切的圆的圆心在（ ） A. 一个圆上 B. 一个椭圆上 C. 双曲线的一支上 D. 一条抛物线上 【答案】C 【解析】 【分析】设动圆的半径为，然后根据动圆与两圆都外切得，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，即可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为2． 依题意得，则， 所以点的轨迹是双曲线的一支． 故选：C． 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，若，则或相交，所以A错误； 对于B中，若，则或，又因为，则，所以B正确； 对于C中，因为，在平面内存在直线，使得， 又因为，所以，因为，所以， 又因为，所以，所以C正确； 对于D中，如图所示，因为，且，，所以， 又因为，且，，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 B. 两平行直线与之间的距离是 C. 过点作圆的切线，则切线方程为 D. 圆关于直线对称的圆的方程为： 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由数形结合即可判断；对于B，由距离公式即可求解；对于C，由圆心到直线的距离等于半径即可求解；对于D，确定圆心的对称点，即可判断； 【详解】对于A：，如图， 由图可知，或，故A正确； 对于B：直线，即， 则直线与之间的距离，故B不正确； 对于C：因为点在圆上，，所以切线的斜率， 所以切线方程为，即，故C正确； 对于D：圆的圆心为， 圆的圆心为，且半径均为1， 点与的中点为， 因为在直线上，且，由直线的斜率， 所以，所以点与关于直线对称，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上的动点（不与端点重合），则（ ） A. 直线与为异面直线 B. 存在点，使得平面 C. 当平面时， D. 当为的中点时，点到平面的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量的方法进行计算、判断. 【详解】如图：以为原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，（）. 对A：假设，，，共面，则存在，使得，且， 即，解得：，即.故只有，重合时，才有直线与共面.而条件不与线段端点重合，所以与必为异面直线，故A对； 对B：若平面，则，故B错误； 对C：当时，设平面的一个法向量，则 ，取可得：，此时，所以与不垂直，即平面不成立，故C错误； 对D：当为中点时，设到平面的距离为，则.而，在中，，，所以边上的高为：，所以，故，故D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是_______________． 【答案】或. 【解析】 【分析】设点，根据抛物线的定义，得到，求得，代入抛物线方程，求得，即可求解. 【详解】设抛物线上与焦点的距离等于6的点为，即， 由抛物线，可得焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义，可得，即，解得， 将代入抛物线方程，可得，解得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 13. 平面向量，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量垂直得出，再由坐标运算及模长公式计算求解. 【详解】由，得，解得. 则，. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得，再根据基本不等式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．） 15. 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意得，求解即可求得圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【小问1详解】 由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即， 解得， 即圆心坐标为， 所以半径， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图，连接，令其与交点为， 因为，， 所以，， 因为，是的中点， 所以，，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为底面，底面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合题意计算可得，再利用线面垂直的性质定理可得，即可得平面，即可得证； （2）法一：建立适当空间直角坐标系后，求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得解； 法二：连接，可得即为二面角的平面角，再结合题意，借助勾股定理计算出各边变长后，借助余弦定理计算的余弦值即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：由（1）易知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，， 则平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 则， 由图可得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为． 解法二：如图，连接， 由（1）得平面，平面，平面， 所以，， 所以即为二面角的平面角， 因为，，， 所以在中，利用勾股定理得： ， 所以， 又因为，，， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 因为底面，底面，所以， 所以在中，利用勾股定理得： ， 在中，利用勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知是公差为2的等差数列，是公比为4的等比数列，满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，，若，求m的值. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差、等比数列通项公式可得，，即可得结果； （2）根据等差、等比数列求和公式可得，，代入求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，， 解得，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得，， 若，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以m的值为15. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）证明：． （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 由正弦定理及，得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以或， 所以或（舍去），所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及条件，进行边化转角，进而利用三角恒等变换即可证明； （2）利用正弦定理以及余弦定理，解得边与角，根据面积公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理可得，即，所以， 解得，又，所以， 由余弦定理可得，则， 整理可得，分解因式可得，解得或， 当时，可得的面积． 当时，，则，此时，不合题意； 综上所述：的面积为． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，过的直线l交椭圆于两点，的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）过点垂直于的直线交椭圆于两点，其中在x轴的上方，设弦的中点分别为． ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②直线恒过点 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，可求，进而可得椭圆的方程； （2）①设，，分别与椭圆方程联立方程组，由弦长公式求得，可得，利用换元法可求四边形面积的最小值；②分别求得点，，分的斜率是否存在两种情况求解即可. 【小问1详解】 依题意有， 又因为，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①设， 则， 联立，得， ， 由弦长公式可得：， 同理可得：， 所以， 令，则， 当时，四边形面积的最小值是； ②， ，用代替m，得， 当，即时，，过点， 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $