专题06完全平方公式与平方差公式寒假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题06完全平方公式与平方差公式寒假预习讲义 预习目标 吃透2大公式推导，秒辨公式适用场景 精准套公式计算，做到零符号、零系数错误 会逆用公式巧解题，解锁简便运算小技巧 能区分平方差与完全平方，不踩公式混淆坑 预习内容概览 预习必备 1.平方差公式 2.完全平方公式 知识点梳理 3.公式核心变形（必考） 4.高频易错点提醒 1.完全平方公式的运算应用 2.完全平方公式变形求值 常考题型 3.完全平方公式的几何应用 4.平方差公式的运算应用 精讲精炼 5.平方差公式的几何意义 6.完全平方式系数求解 7.整式混合运算技巧 强化巩固 (解答题5题) 知识点梳理 【知识点01.平方差公式】 1.公式推导（基于多项式乘多项式） (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2-a2-b2 2.核心公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.结构特征（判断能否用公式的关键） ①左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数： ②右边：相同项的平方-相反项的平方； ③a、b可表示数、单项式、多项式（可整体代换）。 4,简单变形（高频考） ①(a-b)(-a-b)=b2-a2: 试卷第1页，共3页 ②(ma+nb)(ma-nb)=ma2-nb2(系数需同步平方)； ③[(x+y)+z][(x+y)-z]=(x+y)2-z2(整体代换) 【知识点02.完全平方公式】 分和的完全平方、差的完全平方，是同一公式的两种形式，配套口诀易记易应 用。 L.公式推导（基于多项式乘多项式）】 (a+b)2-(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2-a2+2ab+b2 (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 2。核心公式 (a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2 文字表述：两个数的和（或差)的平方，等于它们的平方和，*加上（或减 去)*它们积的2倍。 3.结构特征 ①左边：一个二项式的完全平方： ②右边：三项式（首平方+尾平方，中间2倍首尾积），中间项符号与左边 二项式的符号一致： ③a、b可表示数、单项式、多项式（可整体代换）。 4。记忆口诀（学生专用，不易错） 首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方。 【知识点03.公式核心变形（必考）】 均由基础公式推导而来，是化简求值、代数式变形的高频考点，需熟记并灵活 转换。 1.完全平方公式变形（核心中的核心） ①a2+b2=(a+b)2-2ab: ②a2+b2=(a-b)2+2ab; ③(a+b)2-(a-b)2=4ab; ④(a-b)2=(a+b)2-4ab; ⑤(atb)2=(a-b)2+4ab。 试卷第2页，共3页 2.系数拓展变形（单项式类） ①(2a+b)2-4a2+4ab+b2; ②(3x-2y)(3x+2y)=9x2-4y2（系数先平方，再按公式计算) 【知识点04.高频易错点警示】 本课时学生易因符号、系数、漏项出错，以下为核心易错点，需重点注意： 1.平方差公式易错点 ①找错“同项”和“反项”，如(2x+3y)(3x-2y)无相同项/相反项，不 能用平方差： ②漏算系数的平方，如(2a-b)(2a+b)错算为2a2-b2,正确为4a2-b2。 2.完全平方公式易错点 ①漏加中间项，如(a+b)2错算为a+b2(忘记2ab); ②中间项符号错误，如(a-b)2错算为a2-2ab-b2（尾项应为正平方) ③系数平方漏算，如(2a+3b)2错算为4a2+6ab+9b,正确为4a2+12ab+9b2; ④混淆公式，如把(a-3)错算为a-9(混淆完全平方与平方差)。 常考题型精讲精练 【题型1.完全平方公式的运算应用】 【典例】(2x-3y)2= 【跟踪专练1】下列关系式中，正确的是() A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+b)(a-b)=a2-b2 C.(a+b2=a2+b2 D.(a+b)=a+ab+b2 【跟踪专练2】小石将(2025x+2026)1 展开后得到多项式4+x+G,小明将 (2026x-2025)2 展开后得到多项式，r+b,x+G.若两人计算过程无误，则4一a的值为 试卷第3页，共3页 【跟踪专练3】如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形， 拼第2个正方形需要9个小正方形….按照这样的方法拼成的第”个正方形比第 n-个 正方形多的小正方形的个数为() 第1个正方形第2个正方形 第3个正方形 A.n2 B.(n-1 C.2n+ D.2n-1 【题型2.完全平方公式变形求值】 【典例】如果片2，则x+文=(） A.4 B.2 C.0 D.6 【跟踪专练1】若a-b=5,ab=24,则a2+b=一 【跟踪专练2】已知x+y=7,g=10,则x-川的值为《) A.3 B.9 C.49 D.100 【跟踪专练3】如图，长为a,宽为6的长方形的周长为24，面积为28，则4+ 的值为_ 6 【题型3.完全平方公式的几何应用】 【典例】如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴 影部分的面积为() 试卷第4页，共3页 图1 图2 A.ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.ai-ab+b2 【跟踪专练1】如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C 三类卡片拼成一个边长为 (a+3b) 的正方形，则需要C类卡片张. 【跟踪专练2】我校“快乐农场”开辟出一块边长为l1的正方形菜地，计划种植黄瓜与 番茄两种蔬菜.为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为，b的长方形，其中每个 长方形的长与宽之差为2m,每个长方形的面积为35m.如图，计划在图中阴影部分种植 黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是()m?. 6 b A.53 B.35 C.47 D.68 【跟踪专练3】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园内开 辟了劳动教育基地，如图是由劳动教育基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为 m川m>”的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，S分别表示八年级和九年级 的劳动教有基地面积.若m+n=6,mn=8,则-8， 试卷第5页，共3页 S 【题型4.平方差公式的运算应用】 【典例】计算(3x-23x+2) 的结果是() A 9x2-4 B.9r2+4 C.6r2-4 D.9r2-12x-4 【跟踪专练】若公-公=6g+6=号 4,则a-b的值为一 【跟踪专练2】下列各式计算错误的是() A后话g .(层+g0-=0-0 (3x2+5mn)(3x2-5mn)=9x4-25m2n2 D.（-2x+2x+)=y2-4x2 【跟踪专练3】小明在数学综合实践课后，设计了以下运算 y =n-ym,‖x,y=3(x-y） a-2b 2a-b m n a+2b-a-2b,N=a',ad,且M+N的取值 与a无关，则M+N= 【题型5.平方差公式的几何意义】 【典例】如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是() 试卷第6页，共3页 a ① ② a-+ab=a(a+b) a2-b2=(a+b(a-b) A. B. C.ai+2ab+b=(a+b)2 D.a2-2ab+b2=(a-b)2 【跟踪专练1】如图（阴影部分面积相等），其中能够验证平方差公式的是一·（填序 号) 2 b a 6 a-b a-b 2 一一一一一一 b b← 图① 图② 【跟踪专练2】如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMW是面积为15的正方形，点 M、N分别在BC、AD上，点E、F在MN上，点G、H在CD上，且四边形EFGH是 正方形，连接AE、DE、BF、CF,若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面 积为() D H G A.6 B.9 C.5 D.3 【跟踪专练3】已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B,现将B放在A内部得 到图甲，将A,B并列放置后，构造新的正方形得到图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面 试卷第7页，共3页 积分别是1和12. B A B B 图甲 图乙 图丙 (1)根据图甲、图乙的面积关系，可以得到a-b=一： (2)若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为 【题型6.完全平方式系数求解】 【典例】已知 x2-my+25y 是完全平方公式，则m为() A.+20 B.±10 C.34 D.36 【跟踪专练1】若关于x的二次三项式4r+(m-3列x+9 完全平方式，则m的值为 2 1 2x+ 【跟踪专练2】若等式 =4x2+mx+ 成立，则() A.m=-2 B.m=2 C.m=1 D.m=-1 【跟踪专练3】若关于a的多项式a2+ka”+25(k和n表示常数)可以写成另一多项式的平 方，则这组常数k和n的值可能是一. 【题型7.整式混合运算技巧】 【典例】若a+2b2=(a-2b)2+ ,则代数式V是一 【跟踪专练1】若x≠y,则下列各式不能成立的是() A.(x-y=0-2 B.x-'=-0- C.-=(r+y D (x+y)(y-x)=(x+y)x-y) 【跟踪专练2】某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上 种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜.已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量 试卷第8页，共3页 是青黄瓜的2，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果 黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍：如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果 黄瓜的面积之比为5：3：4，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 【跟踪专练3】若a、b满足a2+b=2+ab,则(2a-3b)2+(a+2b)(a-2b) 的最大值与最小 值的差为() 44 6 6 A.4 B.3 C.3 D.3 强化巩固通关 1.计算 1)-3r-1)2 22a2-a(2a-5b)-b5a-b )-92x102 5 982 (4) 2.如图①，边长为α的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分 拼成的一个长方形 4十b ←b 图① 图② ()设图①中阴影部分的面积为S,图②中阴影部分的面积为5，请用含4,6的代数式表 示和5 (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式， 试卷第9页，共3页 2022-2021×2023 (3)运用(2)中得到的公式，计算： 1 3.先化简，再求值：(2x+3y2-(2x+y(2x-,其中x=3,y=2· 4.如图1，将一个长为4a,宽为2b的长方形沿图中虚线平均分成4个长方形，然后按图2 的形状拼成一个正方形. 图1 图2 (1)图2中阴影部分的边长是 (用含a,b的式子表示). (2)若2a+b=7,且ab=3,求图2中阴影部分的面积. (3)用等式表示出2a-,ab.(2a+b} 之间的数量关系是 5.若-2b-1x+ 是完全平方式，且a=3,则4的值是多少？ 试卷第10页，共3页 专题06完全平方公式与平方差公式寒假预习讲义 · 吃透 2 大公式推导，秒辨公式适用场景 · 精准套公式计算，做到零符号、零系数错误 · 会逆用公式巧解题，解锁简便运算小技巧 · 能区分平方差与完全平方，不踩公式混淆坑 预习必备 知识点梳理 1.平方差公式 2.完全平方公式 3.公式核心变形(必考) 4.高频易错点提醒 常考题型 精讲精炼 1.完全平方公式的运算应用 2.完全平方公式变形求值 3.完全平方公式的几何应用 4.平方差公式的运算应用 5.平方差公式的几何意义 6.完全平方式系数求解 7.整式混合运算技巧 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.平方差公式】 1. 公式推导（基于多项式乘多项式） (a+b)(a−b)=a2−ab+ab−b2=a2−b2 2. 核心公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3. 结构特征（判断能否用公式的关键） ① 左边：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数； ② 右边：相同项的平方 − 相反项的平方； ③ a、b 可表示数、单项式、多项式（可整体代换）。 4. 简单变形（高频考） ① (a−b)(−a−b)=b2−a2； ② (ma+nb)(ma−nb)=m2a2−n2b2（系数需同步平方）； ③ [(x+y)+z][(x+y)−z]=(x+y)2−z2（整体代换） 【知识点02.完全平方公式】 分和的完全平方、差的完全平方，是同一公式的两种形式，配套口诀易记易应用。 1. 公式推导（基于多项式乘多项式） (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 (a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2 2. 核心公式 (a+b)2=a2+2ab+b2； (a−b)2=a2−2ab+b2 文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，** 加上（或减去）** 它们积的 2 倍。 3. 结构特征 ① 左边：一个二项式的完全平方； ② 右边：三项式（首平方 + 尾平方，中间 2 倍首尾积），中间项符号与左边二项式的符号一致； ③ a、b 可表示数、单项式、多项式（可整体代换）。 4. 记忆口诀（学生专用，不易错） 首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 【知识点03.公式核心变形(必考)】 均由基础公式推导而来，是化简求值、代数式变形的高频考点，需熟记并灵活转换。 1. 完全平方公式变形（核心中的核心） ① a2+b2=(a+b)2−2ab； ② a2+b2=(a−b)2+2ab； ③ (a+b)2−(a−b)2=4ab； ④ (a−b)2=(a+b)2−4ab； ⑤ (a+b)2=(a−b)2+4ab。 2. 系数拓展变形（单项式类） ① (2a+b)2=4a2+4ab+b2； ② (3x−2y)(3x+2y)=9x2−4y2（系数先平方，再按公式计算） 【知识点04.高频易错点警示】 本课时学生易因符号、系数、漏项出错，以下为核心易错点，需重点注意： 1. 平方差公式易错点 ① 找错 “同项” 和 “反项”，如(2x+3y)(3x−2y)无相同项 / 相反项，不能用平方差； ② 漏算系数的平方，如(2a−b)(2a+b)错算为2a2−b2，正确为4a2−b2。 2. 完全平方公式易错点 ① 漏加中间项，如(a+b)2错算为a2+b2（忘记2ab）； ② 中间项符号错误，如(a−b)2错算为a2−2ab−b2（尾项应为正平方） ③ 系数平方漏算，如(2a+3b)2错算为4a2+6ab+9b2，正确为4a2+12ab+9b2； ④ 混淆公式，如把(a−3)2错算为a2−9（混淆完全平方与平方差）。 【题型1.完全平方公式的运算应用】 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟记完全平方公式与平方差公式是解答此题的关键．分别根据完全平方公式与平方差公式进行解答即可． 【详解】解： ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C、D选项错误． 故选：B． 【跟踪专练2】小石将展开后得到多项式，小明将展开后得到多项式．若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，分别求出 和 的值，再利用平方差公式计算 ； 本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握两公式是解题的关键． 【详解】解： 展开后 项的系数 ； 展开后 项的系数 ． 则 ． 由平方差公式可得；． 故答案为：. 【跟踪专练3】如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形， …… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 故选：C． 【题型2.完全平方公式变形求值】 【典例】如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 已知，通过平方等式并展开，结合代数恒等式即可求出的值． 【详解】解：将已知等式两边平方，得 ， 即， ， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，将已知代数式的值代入计算即可． 【详解】解：∵， 代入，得， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式求的值，再根据选项判断． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练3】如图，长为a，宽为b的长方形的周长为24，面积为28，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，由题意知，，再把变形为，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为24，面积为28， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型3.完全平方公式的几何应用】 【典例】如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，先求小正方形的边长，再利用面积公式求解即可． 【详解】小正方形的边长为： 则阴影部分的面积可以看成一个边长为正方形和四三个长为，宽为的长方形的和 即： 故选：A． 【跟踪专练1】如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要C类卡片 张．   【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式求出边长为的正方形的面积，再分析各类卡片的面积，从而得出需要类卡片的数量． 【详解】解：∵ 边长为的正方形的面积为，类卡片面积为，类卡片面积为，类卡片面积为 ∴ 拼成该正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张． 故答案为： 【跟踪专练2】我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（    ）． A．53 B．35 C．47 D．68 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 故选：A 【跟踪专练3】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园内开辟了劳动教育基地，如图是由劳动教育基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分分别表示八年级和九年级的劳动教育基地面积．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得，由 求出，即可求解；掌握、、之间的关系，能表示出面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【题型4.平方差公式的运算应用】 【典例】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用．利用平方差公式直接计算． 【详解】解：∵ ， 其中，， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】若，，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 【详解】解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的定义是关键． 通过平方差公式，即，验证各选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，但原选项写为，计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练3】小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减，根据新定义分别求得，进而根据的取值与a无关，得出，再代入求值，即可求解． 【详解】解： ∴ ∵的取值与a无关， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【题型5.平方差公式的几何意义】 【典例】如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据两个图形阴影部分面积相等即可得到结果． 【详解】解：图①的阴影部分的面积为：， 图②的阴影部分的面积为：， ∵阴影部分的面积相等， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图（阴影部分面积相等），其中能够验证平方差公式的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握利用两个图形阴影部分的面积相等是解题关键． 分别计算图①和图②中两个图形中的阴影部分的面积，再根据两图阴影的面积相等，可得答案． 【详解】解：题图①中，上边是一个长为、宽为的长方形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ，能够验证平方差公式； 题图②中，左上边是一个上底为、下底为、高为的等腰梯形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ． 题图②中，右上边是一个底边长为，高为的平行四边形，下边大正方形减去小正方形的面积为， ，能够验证平方差公式； 综上所述，能够验证平方差公式的是①②． 故答案为：①②． 【跟踪专练2】如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、、，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 【跟踪专练3】已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12． （1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到 ； （2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为 ． 【答案】 1 29 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键． （1）图甲中阴影面积等于所在大正方形面积减去正方形的面积，再减去两个长方形面积； （2）图丙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去3个正方形A的面积，再减去2个正方形B的面积，据此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可；． 【详解】解：（1）图甲阴影面积可以表示为：， 为正方形边长，， ， ， 故答案为：； （2）图乙中阴影部分面积可以表示为：， ， 图丙中阴影部分面积为： ， ，， ， ， ，（舍去）， ． 故答案为：． 【题型6.完全平方式系数求解】 【典例】已知是完全平方公式，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式的结构直接作答即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 【跟踪专练1】若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】15或 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键；根据完全平方公式的结构特征即可求解． 【详解】解：由于二次三项式 是完全平方式，且二次项系数为4，常数项为9，则根据完全平方公式可知：； 当时，解得；当时，解得； 故答案为：15或． 【跟踪专练2】若等式成立，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式：．也考查了代数式的变形能力． 根据完全平方公式把等式左边展开即可得到m的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练3】若关于a的多项式（k和n表示常数）可以写成另一多项式的平方，则这组常数k和n的值可能是 ． 【答案】，或， 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由于多项式可以写成另一多项式的平方，因此它必须是一个完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，分两种情况求解即可． 【详解】解：由题意可知，多项式是完全平方式， 若和是平方项，则， ， ，； 若和是平方项，则， ， ，， ，； 故答案为：，或，． 【题型7.整式混合运算技巧】 【典例】若，则代数式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ∴ ， ∴代数式是， 故答案为： ． 【跟踪专练1】若，则下列各式不能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的乘法，掌握乘法公式进行整式的混合运算是解题的关键． 根据整式的混合运算法则计算判定即可． 【详解】解：、，， ，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，， ， ，故此选项符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的 ，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式表示，整式的加减运算，根据题意正确表示出不同种植面积下白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量是解题的关键． 根据题意设白黄瓜的亩产量是，则青黄瓜的亩产量是，分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为，进而表示出水果黄瓜的亩产量是，再分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为，据此表示出白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量并求总产量之比，即可解题． 【详解】解：设白黄瓜的亩产量是，则青黄瓜的亩产量是， 当在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为时，分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为， 则白黄瓜的产量是，则青黄瓜的产量是，水果黄瓜的产量是， 水果黄瓜的亩产量是， 当在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为时， 分别设白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的种植面积为， 则白黄瓜的总产量是，则青黄瓜的总产量是，水果黄瓜的总产量是， 则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为； 故答案为：． 【跟踪专练3】若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，完全平方公式，不等式的性质等．熟练运用完全平方公式的变形是解题的关键． 先将式子化简为，由得到，即可得到的最大值，同理得到，得到的最小值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最小值为； 即的最大值为，最小值为， 它们的差为． 故选：D 1．计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)9604 【分析】本题主要考查了乘法公式（完全平方公式、平方差公式）、单项式乘多项式的运算，熟练掌握乘法公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式展开即可； （2）根据单项式乘多项式展开，再合并同类项即可； （3）利用平方差公式进行简便计算； （4）先变形，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为，请用含a，b的代数式表示和． (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式． (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1） 图①阴影面积用大正方形面积减去小正方形面积；图②阴影是长方形，用长×宽表示面积； （2） 由两个阴影面积相等，推导出对应的乘法公式； （3） 将变形为，用平方差公式简化计算． 【详解】（1）解：由题意得，，． （2）解：由（1），可得乘法公式． （3）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何验证与代数应用，掌握用面积相等推导公式，以及将数变形为平方差形式简化计算是解题的关键． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 4．如图，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线平均分成个长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的边长是________（用含，的式子表示）． (2)若，且，求图中阴影部分的面积． (3)用等式表示出，，之间的数量关系是________． 【答案】(1)； (2)阴影部分的面积为； (3)． 【分析】本题考查的知识点是列代数式、代数式求值、完全平方公式在几何图形中的应用等知识，解题关键是通过观察图形找出各图形之间的面积关系． （1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为，宽为，那么图中的阴影部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽； （2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图中阴影部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积； （3）通过观察图形知，、、分别表示的是大正方形、阴影部分的正方形及个小长方形的面积． 【详解】（1）解：依题意得，分成长方形后，每个小长方形的长为，宽为， 则图的阴影部分的边长是， 故答案为：； （2）解：由图可知，阴影部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积， 大正方形的边长， 大正方形的面积， 又个小长方形的面积之和大长方形的面积， 阴影部分的面积为； （3）解：由图可以看出，大正方形面积阴影部分的正方形的面积四个小长方形的面积， 即， 故答案为：． 5．若是完全平方式，且，则的值是多少？ 【答案】27或 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方公式的特征判断即可得到b的值，即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 故答案为：27或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $