第一章 勾股定理2 一定是直角三角形吗 寒假巩固学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

北师大版（2024）八年级上册 第一章 勾股定理2 一定是直角三角形吗 寒假巩固 【题型1】由三边判定三角形形状 【典型例题】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【举一反三1】将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形(　　) A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形 【举一反三2】若△ABC的三边长为a，b，c，满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【举一反三3】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是　　三角形（直角、锐角、钝角）． 【举一反三4】已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，试判断△ABC的形状. 【题型2】综合分析直角三角形 【典型例题】在中，，，的对边分别记为，，，下列条件能够判定为直角三角形的是　　 A. B. C. D. 【举一反三1】在△ABC中，若AC=b，AB=c，BC=a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠B=50°，∠C=45° B.a∶b∶c=6∶8∶10 C.a=1，b=3，c=4 D.AB=1，BC=2，AC=3 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=10 cm，BC=8 cm，AC=6 cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，垂足为E，则DC的长度为(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 【举一反三3】一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是　　　　cm. 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，AC=6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 【题型3】在格点中分析直角三角形 【典型例题】如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是(　　) A.C1 B.C2 C.C3 D.C4 【举一反三1】如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(　　) A.30° B.45° C.50° D.60° 【举一反三2】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ACB是(　　) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.余角 【举一反三3】如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1的直角三角形有　　　　个. 【举一反三4】如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则的度数为 　　． 【举一反三5】在由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中： (1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由； (2)在图②中画出一个面积为10的正方形. 【题型4】勾股数的识别与计算 【典型例题】若正整数，，是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【举一反三1】下列各组数是勾股数的是(　　) A.13，14，15 B.3，4，5 C.0.3，0.4，0.5 D.6，8，11 【举一反三2】在下列四组数中，不是勾股数的一组数是(　　) A.a=15，b=8，c=17 B.a=9，b=12，c=15 C.a=7，b=24，c=25 D.a=3，b=5，c=7 【举一反三3】下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.1.5，2，2.5 B.，，1 C.3，4，5 D.4，5，6 【举一反三4】请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：　． 【举一反三5】下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2； ③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数. 其中正确的是　　　　.(填序号) 【举一反三6】有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　　． 【举一反三7】下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2； ③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数. 其中正确的是　　　　.(填序号) 【题型5】与勾股数有关的规律问题分析 【典型例题】如果正整数a，b，c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成如图，观察图中每列数的规律，可知x+y的值为　　　　. 【举一反三1】下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【举一反三2】[知识背景]我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：，4，；，12，；，24，分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形． 【举一反三3】课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　　、　　； （2）若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，， 则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为 　　、　　； （3）用所学知识加以说明． 【题型6】勾股定理与逆定理的应用 【典型例题】小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校(均走直线)，小刚到小明家用了6分钟，从小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个(　　) A.锐角弯 B.钝角弯 C.直角弯 D.不能确定 【举一反三1】如图，一块四边形，已知，，，，，则这块地的面积为　　． A.24 B.30 C.48 D.60 【举一反三2】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是　　 A. B. C. D. 【举一反三3】如图，Rt△ABC中，AC=12，BC=5，分别以AB，AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　　　　. 【举一反三4】如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 【举一反三5】如图，四边形的三边、、和的长度都为5厘米，动点从出发以2厘米秒的速度沿折线运动，动点从点出发以2.8厘米秒的速度沿折线运动．5秒后、相距3厘米，试确定5秒时的形状． 北师大版（2024）八年级上册 第一章 勾股定理2 一定是直角三角形吗 寒假巩固（参考答案） 【题型1】由三边判定三角形形状 【典型例题】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互补 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D.如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m，4m，5m， 因为(3m)2+(4m)2=(5m)2， 所以以3m，4m，5m为边长的三角形是直角三角形(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形). 【举一反三1】将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形(　　) A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】设直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c. 则满足a2+b2=c2. 若各边都扩大k倍(k>0)，则三边分别为ak，bk，ck， (ak)2+(bk)2=k2(a2+b2)=(ck)2， 所以三角形仍为直角三角形. 【举一反三2】若△ABC的三边长为a，b，c，满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】因为(a-b)(a2+b2-c2)=0， 所以a-b=0或a2+b2-c2=0， 所以a=b或a2+b2=c2， 所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形. 【举一反三3】三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是　　三角形（直角、锐角、钝角）． 【答案】直角 【解析】解：， ， ， 三角形是直角三角形． 故答案为直角． 【举一反三4】已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，试判断△ABC的形状. 【答案】解　因为a2+b2+c2+200=12a+16b+20c， 所以a2+b2+c2+200-12a-16b-20c=0， 所以(a2-12a+36)+(b2-16b+64)+(c2-20c+100)=0， 所以(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0， 所以a-6=0，b-8=0，c-10=0， 解得a=6，b=8，c=10， 因为a2+b2=62+82=102=c2， 且△ABC的三边分别为a，b，c， 所以△ABC是直角三角形. 【题型2】综合分析直角三角形 【典型例题】在中，，，的对边分别记为，，，下列条件能够判定为直角三角形的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：、由无法判定哪个角是直角，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，故此条件不能够判定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．，，此条件能够判定为直角三角形，故符合题意， 故选：． 【举一反三1】在△ABC中，若AC=b，AB=c，BC=a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A.∠B=50°，∠C=45° B.a∶b∶c=6∶8∶10 C.a=1，b=3，c=4 D.AB=1，BC=2，AC=3 【答案】B 【解析】因为∠B=50°，∠C=45°，∠B+∠C+∠A=180°， 所以∠A=85°， 因为∠B=50°，∠C=45°，∠A=85°，三个角都小于90°， 所以△ABC是锐角三角形， 故A不符合题意； 当a∶b∶c=6∶8∶10时，设a=6x，b=8x，c=10x， 则a2+b2=(6x)2+(8x)2=(10x)2=c2， 所以根据勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形， 故B符合题意； 因为a=1，b=3，c=4， 所以a+b=1+3=c=4， 所以无法组成三角形，不能是直角三角形， 故C不符合题意； 因为AB=1，BC=2，AC=3， 所以AB+BC=AC， 所以AB，BC，AC不能构成三角形，不能是直角三角形， 故D不符合题意. 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB=10 cm，BC=8 cm，AC=6 cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，垂足为E，则DC的长度为(　　) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 【答案】A 【解析】因为AB=10 cm，BC=8 cm，AC=6 cm， 所以AB2=100，BC2+AC2=64+36=100， 所以BC2+AC2=AB2， 所以△ABC是直角三角形， 所以∠ACD=90°， 因为DE⊥AB， 所以∠AED=90°=∠ACD， 因为∠DAE=∠DAC，∠AED=∠ACD，AD=AD， 所以△EAD≌△CAD(AAS)，所以DE=DC， 因为S△ABC=S△ABD+S△ACD， 所以AC·BC=AB·DE+AC·DC， 所以×6×8=×10·DE+×6·DC， 所以DC=3 cm. 【举一反三3】一个三角形的三边长分别为15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是　　　　cm. 【答案】12 【解析】如图，设AB=25是最长边，AC=15，BC=20，过C作CD⊥AB于D， 因为AC2+BC2=152+202=625，AB2=252=625， 所以AC2+BC2=AB2， 所以∠C=90°， 因为S△ACB=AC·BC=AB·CD， 所以AC·BC=AB·CD， 15×20=25CD， 所以CD=12 cm. 即这个三角形最长边上的高是12 cm. 【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，AC=6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 【答案】解　(1)因为在Rt△ABC中， BC2=AB2-AC2=102-62=64， 所以BC=8 cm. (2)由题意知BP=2t cm，分两种情况进行讨论： ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，如图1，BP=BC=8 cm，即t=4； ②当∠BAP为直角时，如图2，BP=2t cm，CP=(2t-8)cm，AC=6 cm. 在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，即AP2=62+(2t-8)2， 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2， 即102+［62+(2t-8)2］=(2t)2，解得t=. 故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=. 【题型3】在格点中分析直角三角形 【典型例题】如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是(　　) A.C1 B.C2 C.C3 D.C4 【答案】D 【解析】AB2=10，A=5，B=5， 所以AB2=A+B， 所以根据勾股定理逆定理得△ABC1是直角三角形，故A不符合题意； 因为A=10，AB2=10，B=20， 所以B=A+AB2， 所以根据勾股定理逆定理得△ABC2是直角三角形，故B不符合题意； 因为AB2=10，A=20，B=10， 所以A=AB2+B， 所以根据勾股定理逆定理得△ABC3是直角三角形，故C不符合题意； 因为=16，=18，AB2=10， 所以≠+AB2， 所以△ABC4不是直角三角形，故D符合题意. 【举一反三1】如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(　　) A.30° B.45° C.50° D.60° 【答案】B 【解析】如图，连接AC， 根据题意，可知BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10. 所以AC2+BC2=AB2，AC=BC， 所以△ABC为等腰直角三角形， 所以∠ABC=45°. 【举一反三2】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ACB是(　　) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.余角 【答案】A 【解析】AC2=12+22=5， BC2=32+12=10， AB2=32+22=13， 因为AC2+BC2=15 所以AC2+BC2>AB2， 所以边AB所对的∠ACB是锐角. 【举一反三3】如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1的直角三角形有　　　　个. 【答案】6 【解析】如图，将A，B，C连接起来，S△ABC=2×1×=1， 同理，其余五点和A，B相连，也可以求出三角形的面积为1， 所以这样的直角三角形有6个. 【举一反三4】如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则的度数为 　　． 【答案】． 【解析】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三5】在由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中： (1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由； (2)在图②中画出一个面积为10的正方形. 【答案】解　(1)AB⊥BC，理由如下： 如图①，连接AC，由勾股定理，得AB2=32+22=13，BC2=42+62=52，AC2=12+82=65，所以AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，所以AB⊥BC. (2)因为面积为10的正方形可以表示为32+12=10，所以四边形ABCD即为所求，如图②所示. 【题型4】勾股数的识别与计算 【典型例题】若正整数，，是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为　　 A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 【解析】解：正整数，，是一组勾股数，根据题意，不妨设最大，则：， ．，，， ， ，，不一定是勾股数，故错误； ．，，， ， ，，不一定是勾股数，故错误； ．，，， ， ，，一定是勾股数，故正确； ．，，， ， ，，不一定是一组勾股数，故错误． 故选：． 【举一反三1】下列各组数是勾股数的是(　　) A.13，14，15 B.3，4，5 C.0.3，0.4，0.5 D.6，8，11 【答案】B 【解析】因为132+142≠152， 所以13，14，15不是勾股数，故A项不符合题意； 因为32+42=52，且3，4，5是正整数， 所以3，4，5是勾股数，故B项符合题意； 因为0.3，0.4，0.5都不是正整数， 所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故C项不符合题意； 因为62+82=102≠112， 所以6，8，11不是勾股数，故D项不符合题意. 【举一反三2】在下列四组数中，不是勾股数的一组数是(　　) A.a=15，b=8，c=17 B.a=9，b=12，c=15 C.a=7，b=24，c=25 D.a=3，b=5，c=7 【答案】D 【解析】由题意可知，所有数都是正整数，故只要满足a2+b2=c2即可， 152+82=289=172，故A是勾股数； 92+122=225=152，故B是勾股数； 72+242=625=252，故C是勾股数； 32+52≠72，故D不是勾股数. 【举一反三3】下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.1.5，2，2.5 B.，，1 C.3，4，5 D.4，5，6 【答案】C 【解析】A项，不都是正整数，不是勾股数，故A不符合题意； B项，不都是正整数，不是勾股数，故B不符合题意； C项，32+42=52，能构成直角三角形，都是正整数，是勾股数，故C符合题意； D项，42+52≠62，不能构成直角三角形，不是勾股数，故D不符合题意. 【举一反三4】请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：　． 【答案】6和10． 【解析】解：因为， 所以6、8、10是一组勾股数． 故答案为：6和10． 【举一反三5】下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2； ③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数. 其中正确的是　　　　.(填序号) 【答案】②④ 【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82=12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c一定是勾股数，故④说法正确. 【举一反三6】有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　　． 【答案】15 【解析】解：设第三个数为， 是一组勾股数， ①， 解得：， ②， 解得：（不合题意，舍去）， 故答案为：15． 【举一反三7】下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2； ③因为以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c必是勾股数. 其中正确的是　　　　.(填序号) 【答案】②④ 【解析】①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82=12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b2=c2，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c一定是勾股数，故④说法正确. 【题型5】与勾股数有关的规律问题分析 【典型例题】如果正整数a，b，c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成如图，观察图中每列数的规律，可知x+y的值为　　　　. 【答案】79 【解析】由题可得，3=22-1，4=2×2，5=22+1，… 所以a=n2-1，b=2n，c=n2+1， 所以当c=n2+1=65时，n=8， 所以x=63，y=16， 所以x+y=79. 【举一反三1】下面各组、、，是勾股数的是　　．（填序号） （1），， （2），， （3），， （4），， 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）、，能构成勾股数，故符合题意； （2）、，能构成勾股数，故符合题意； （3）、，不能构成勾股数，故不符合题意． （4）、均不是整数，所以不能构成勾股数，故不符合题意； 故答案为：（1）（2）． 【举一反三2】[知识背景]我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 请你观察下列三组勾股数：，4，；，12，；，24，分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． 当勾为3时，股，弦； 当勾为5时，股，弦； 当勾为7时，股，弦． （1）如果勾用，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股　　，弦　　，则据此规律第四组勾股数是 　　． （2）若，，，其中且是整数．求证：以，，为边的是直角三角形． 【答案】解：（1）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦； 当时，，； 第四组勾股数是，40，； 故答案为：，，，40，； （2）证明：，，，其中且是整数， ， ， 以，，为边的是直角三角形． 【举一反三3】课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　　、　　； （2）若第一个数用字母为奇数，且表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，， 则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为 　　、　　； （3）用所学知识加以说明． 【答案】解：（1）、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；， ，60，61； 故答案为：60，61； （2）第一个数用字母为奇数，且表示，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为，． 故答案为：，； （3）， ， ， 又为奇数，且， 由，，三个数组成的数是勾股数． 【题型6】勾股定理与逆定理的应用 【典型例题】小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校(均走直线)，小刚到小明家用了6分钟，从小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个(　　) A.锐角弯 B.钝角弯 C.直角弯 D.不能确定 【答案】C 【解析】因为小华从家到学校走直线用了10分钟，速度是每分钟走50米， 所以小华家到学校的直线距离为50×10=500(米). 因为小刚到小明家用了6分钟， 所以小刚到小明家的距离为50×6=300(米). 因为从小明家到学校用了8分钟， 所以小明家到学校的距离为50×8=400(米). 因为3002+4002=5002， 所以小刚上学走了个直角弯. 【举一反三1】如图，一块四边形，已知，，，，，则这块地的面积为　　． A.24 B.30 C.48 D.60 【答案】A 【解析】解：连接， ，，， ， ，， ，即为直角三角形， 这块地的面积为． 故选：． 【举一反三2】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接， ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 这块菜地的面积为， 故选：． 【举一反三3】如图，Rt△ABC中，AC=12，BC=5，分别以AB，AC，BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为　　　　. 【答案】30 【解析】因为AC=12，BC=5， 所以AB===13， 所以阴影部分的面积=π·+π·+×12×5-π· =π+π+30-π =30. 【举一反三4】如图， 已知在中，于点，，，， （1） 求的长 ． （2） 求证：是直角三角形 ． 【答案】解： （1） ， 在中，，， 根据勾股定理， 得， （2） 证明： 在中， ， ， 是直角三角形 ． 【举一反三5】如图，四边形的三边、、和的长度都为5厘米，动点从出发以2厘米秒的速度沿折线运动，动点从点出发以2.8厘米秒的速度沿折线运动．5秒后、相距3厘米，试确定5秒时的形状． 【答案】解：厘米，动点从出发到，速度为2厘米秒， 秒时点运动路程为（厘米）， 而厘米， 此时与重合． 厘米，动点从点出发到，速度为2.8厘米秒， 秒时点运动路程为（厘米）， 而厘米， 在边上，且厘米，如图． 在中，厘米，厘米，厘米， ， 为直角三角形，， ， 为直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $