12.导数中常见的放缩问题讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅12.导数中常见的放缩问题（原卷版） 一、核心知识点分析 （一）核心理论依据 1.函数单调性与差值放缩：若函数在区间上单调递增，则对，；单调递减则反之，以此构建函数值的不等关系。 2.极值与最值放缩：若在区间上的最小值为、最大值为，则对，有，利用最值将复杂函数放缩为常数或简单函数。 3.切线放缩（核心）：函数在处的切线方程为，若在区间上凸（），则切线方程；若在区间下凸（），则切线方程，切线放缩是导数放缩中最常用的核心方法。 4.同构放缩：将不同形式的函数式通过变形转化为同一函数的形式，利用该函数的单调性进行放缩，实现“异式同构，同构单调”。 （二）必备基础知识点 1.常见初等函数的切线放缩公式（高频核心，需熟记） ￮指数类：（处切线），（处切线），（处切线变形） ￮对数类：（处切线），（处切线变形），（处切线） ￮幂函数/三角类：（处切线，），（处切线，），（处切线） 2.导数的基础运算：和差积商求导、复合函数求导，能准确求、（判断函数凹凸性）。 3.函数单调性与极值最值求解：能通过的符号确定单调区间，求解函数在指定区间的极值与最值。 4.常见函数的凹凸性：、为上的下凸函数；、（）为上凸函数。 （三）关键注意事项 1.放缩的等价性与精度：放缩需满足“同向性”，且注意放缩精度，避免过度放缩导致证明失败（如证明，若将放缩为，需保证）。 2.等号成立条件：所有放缩公式均有唯一等号成立条件（如当且仅当时等号成立），解题时需明确，尤其在多步放缩中，需保证各步等号成立条件一致。 3.定义域限制：所有放缩公式均有适用定义域（如的定义域为），放缩时需严格遵循函数定义域，避免定义域扩大/缩小导致错误。 4.放缩的针对性：根据待证不等式的形式选择放缩方法，如含与一次函数的不等式优先用切线放缩，含不同函数形式但结构相似的不等式优先用同构放缩，含区间最值的不等式优先用最值放缩。 5.多步放缩的合理性：多步放缩时需保证每一步均为同向放缩，且最终放缩结果能匹配待证结论，不可随意叠加放缩公式。 二、完整题型目录（按难度与考查形式分类） 基础题型（适用于新课学习、基础巩固） 1.直接套用基础放缩公式证明简单不等式（如证明（）、（）） 一、单选题 1.已知，则下列不等式恒成立的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 2.对于，不等式恒成立的一个充分不必要条件是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 3.设，则下列不等式中正确的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 二、多选题 1.已知，则下列不等式成立的有（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 2.关于不等式的放缩，下列说法正确的有（） A. 对任意实数，恒成立 B. 对任意，恒成立 C. 对任意，恒成立 D. 对任意，恒成立 三、填空题 1.不等式的解集为。 2.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 四、解答题 1.证明：当时，。 2.证明：当时，。 3.已知函数，当时，证明：。 2.单一切线放缩：已知函数解析式，利用某一点的切线方程进行单步放缩证明不等式 一、单选题 1.已知函数，其在点处的切线方程为，则对任意实数，下列不等式恒成立的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 2.函数在点处的切线方程为，若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 3.已知函数，其在点处的切线方程为，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 二、多选题 1.已知函数，其在点处的切线方程为，则下列说法正确的有（） A. 对任意实数，恒成立 B. 对任意，恒成立 C. 不等式的解集为 D. 函数的最小值为 2.关于函数的切线放缩，下列说法正确的有（） A. 在点处的切线方程为 B. 当时， C. 当时， D. 对任意实数， 三、填空题 1.函数在点处的切线方程为，则当时，不等式的解集为。 2.已知函数在点处的切线方程为，若对任意，不等式恒成立，则当时，等号成立。 四、解答题 1.已知函数，其在点处的切线方程为，证明：对任意实数，。 2.已知函数，其在点处的切线方程为，证明：当时，。 3.已知函数， (1) 求在点处的切线方程； (2) 利用(1)中的切线方程证明：当时，。 3.最值放缩基础：求函数在指定区间的最值，利用最值证明或型不等式 一、单选题 1.已知函数，，则不等式在区间上恒成立的实数的最大值为（） A. B. C. D. 2.函数，，则恒成立的实数的最小值为（） A. B. C. D. 3.已知函数，，若对任意都有成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，，则下列说法正确的有（） A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为 C. 若的最小值为，则的取值范围是 D. 若在上恒成立，则的取值范围是 2.设函数，，则关于的最值及不等式恒成立的说法正确的有（） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 不等式恒成立的的最大值为 D. 不等式恒成立的的最小值为 三、填空题 1.已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是。 2.函数，，则的最大值为。 四、解答题 1.已知函数，，求证：。 2.已知函数，，若恒成立，求实数的最小值。 3.已知函数，，若在上的最小值为，求实数的值。 4.简单三角放缩：利用、等公式证明含三角函数的简单导数不等式 一、单选题 1.已知，则不等式恒成立的依据可以借助三角放缩公式，下列推导过程正确的是（） A. 由，，得 B. 由，，构造函数求导分析 C. 由，，得 D. 由，，得与大小不确定 2.当时，不等式恒成立，则实数的最大值和实数的最小值分别为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知函数，，，则下列结论正确的是（） A. 单调递减，单调递减 B. 单调递减，单调递增 C. 单调递增，单调递减 D. 单调递增，单调递增 二、多选题 1.当时，下列不等式成立的有（） A. B. C. D. 2.关于的不等式在区间上恒成立，则下列说法正确的有（） A. 的取值是 B. 的取值范围 C. 当时，不等式等价于三角放缩基本公式 D. 当时，不等式对任意都成立 三、填空题 1.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 2.已知函数，，则的最小值为。 四、解答题 1.求证：当时，。 2.求证：当时，。 3.已知，求证：。 5.放缩公式的逆向应用：如由推导，反向构建放缩关系 一、单选题 1.已知经典放缩公式对任意实数恒成立，利用其逆向应用推导不等式，下列推导过程及结论正确的是（） A. 令，得，两边取对数得（） B. 令，得，两边取指数得（） C. 令，得，两边取对数得（） D. 令，得，两边取对数得（） 2.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 3.已知函数，，则的最小值为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.利用放缩公式的逆向应用，可得一系列不等式，下列不等式在对应区间内恒成立的有（） A. ， B. ，且 C. ， D. ， 2.关于放缩公式的逆向应用，下列说法正确的有（） A. 由逆向推导的，可用于证明（且） B. 不等式（），可通过逆向变形推导 C. 由推导，换元时需要满足新变量的行 D. 放缩公式的逆向应用本质上是通过换元法和对数运算，实现指数不等式与对数不等式的相互转化 三、填空题 1.利用放缩公式的逆向应用，不等式的解集为。 2.已知函数，且，则的最大值为。 四、解答题 1.利用放缩公式的逆向应用，证明：当时，。 2.证明：当时，。 3.已知函数，，证明：。 中档题型（高考高频考查，核心考点） 1.切线放缩的变形应用：对基础放缩公式进行平移、缩放变形（如、）证明不等式 一、单选题 1.已知基础切线放缩公式对任意恒成立，通过平移、缩放等变形可推导多个不等式，下列变形推导及结论正确的是（） A. 令，得（） B. 令，得（） C. 令，得（） D. 令，得（） 2.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 3.已知函数，，则的最小值为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.利用切线放缩公式的变形结论，下列不等式在对应区间内恒成立的有（） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.关于切线放缩公式的变形应用，下列说法正确的有（） A. 由缩放变形得， B. 由平移变形得， C. 切线放缩的变形本质是原基础公式原变量替换，替换后放缩的原等号成立条件会改变 D. 不等式的等号成立条件是 三、填空题 1.已知基础切线放缩公式，通过平移变形可得不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是。 2.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 四、解答题 1.利用切线放缩公式的变形，证明：对任意，恒成立。 2.证明：当时，。 3.已知函数，，证明：。 2.双切线放缩：针对不等式两侧不同函数，分别用切线放缩转化为同一常数或同形式函数证明 一、单选题 1.已知函数，，若存在两条不同的切线分别与、相切，且两条切线的斜率相同，记为，同时利用双切线放缩可得不等式，，则实数的值为（） A. B. C. D. 2.利用双切线放缩证明不等式时，需要对两侧函数分别进行切线放缩，下列放缩方式正确的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知函数，，利用双切线放缩可得，，则实数的值为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于双切线放缩的本质与应用，下列说法正确的有（） A. 双切线放缩的核心是找到一条公切线，使得一个函数在切线上方，另一个函数在切线下方 B. 利用双切线放缩证明不等式时，可尝试寻找公切线，满足， C. 双切线放缩中，两条切线的斜率必须相等，否则无法转化为同一常数或同形式函数 D. 函数与（）不存在公切线，因此无法用双切线放缩证明关于和的不等式 2.利用双切线放缩的方法，下列不等式在对应区间内恒成立的有（） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题 1.利用双切线放缩证明不等式时，两个函数的切线放缩式分别为和，则该不等式的等号成立条件为。 2.已知函数，，若存在公切线使得对任意恒成立，则实数的取值为。 四、解答题 1.利用双切线放缩的方法，证明：对任意，不等式恒成立。 2.利用双切线放缩的方法，证明：对任意，不等式恒成立。 3.利用双切线放缩的方法，证明：对任意，不等式恒成立。 3.最值放缩进阶：构造辅助函数，求辅助函数的最值，利用“”证明型不等式 一、单选题 1.已知函数，，若对任意，，不等式恒成立，则的最小值与的最大值的大小关系为（） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 无法确定 2.若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 3.设函数，，若存在，，使得，则下列说法正确的是（） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 二、多选题 1.已知函数，，若对任意，存在，使得，则下列结论正确的是（） A. 在的最小值为　　　B. 在的最大值为　　　C. 　　　D. 满足条件的存在 2.关于不等式对任意恒成立，下列说法正确的有（） A. 令，则需 B. 当时，不等式恒成立 C. 当时，不等式恒成立 D. 函数在的最小值为 三、填空题 1.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 2.已知函数，，若对任意，，都有，则实数的取值范围是。 四、解答题 1.已知函数，，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围。 2.证明：当时，。 3.已知函数，，若恒成立，求的取值范围。 4.含参数的放缩问题：参数范围已知，利用放缩公式消去参数，证明不等式（或由不等式恒成立求参数范围） 一、单选题 1.已知函数，其中，，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 2.已知，，不等式恒成立，则的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知，不等式对任意恒成立，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知，，则下列不等式中可以通过放缩消去参数的有（） A. B. C. D. 2.已知函数，，，则下列结论正确的有（） A. B. C. 恒成立 D. 恒成立 三、填空题 1.已知，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围与的取值范围的交集为。 2.已知，函数，，则的最大值为。 四、解答题 1.已知函数，，且对任意，恒成立。 (1) 求实数的取值范围； (2) 证明：当时，。 2.已知，函数，证明：对任意，恒成立。 3.已知，不等式对任意恒成立，求的取值范围。 5.分步放缩：将复杂不等式拆分为多个简单不等式，分步用放缩公式证明，最后整合结论 一、单选题 1.证明当时，，分步放缩的关键步骤是（） A. 先证，再证 B. 先证，再证 C. 先证，再证 D. 先证，再构造函数证 2.当时，证明，下列分步放缩策略合理的是（） A. 直接套用放缩 B. 构造，分步求导判断单调性 C. 先证，再证 D. 利用，再证 3.已知，利用分步放缩证明，需用到的中间不等式不包括（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于分步放缩法证明函数不等式的说法，正确的有（） A. 分步放缩的核心是“化繁为简”，将高阶不等式拆分为低阶、易证的不等式链 B. 选取中间函数时，需保证中间不等式的放缩方向与目标一致，避免放缩过度 C. 证明时，可构造，使 D. 所有函数不等式都可以通过分步放缩证明，无需求导 2.已知，通过分步放缩证明，下列步骤可行的有（） A. 第一步证，第二步证 B. 第一步构造，求导得 C. 第一步证（），第二步利用证 D. 第一步证，第二步证 三、填空题 1.证明当时，，分步放缩的第一步是利用，第二步是利用，整合两步结论即可得证。 2.当时，分步放缩证明，第一步需证明，第二步构造函数，通过导数证明其单调性即可。 四、解答题 1.证明：当时，。 2.证明：当时，。 3.证明：当时，。 6.导数与放缩结合求函数值域：利用放缩公式将复杂函数放缩为简单函数，结合单调性求值域 一、单选题 1.已知函数，，则函数的值域为（） A. B. C. D. 2.设函数，当时，恒成立，则实数的取值范围对应的函数的值域为（） A. B. C. D. 3.函数，的值域为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，下列说法正确的有（） A. 的最小值为1 B. 的值域为 C. 对任意，恒成立 D. 对任意，恒成立 2.若函数，的值域包含，则实数的取值可能是（） A. B. C. D. 三、填空题 1.函数，的值域为。 2.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的最大值为。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 若，求在上的值域； (2) 若对任意，恒成立，求的取值范围。 2.设函数，。 (1) 求的极值； (2) 证明：对任意，恒成立。 3.已知函数，。 (1) 若，求的单调区间； (2) 若恒成立，求的取值范围，并求此时函数的值域。 拔高题型（适用于模考、高考压轴、培优提升） 1.隐零点放缩：函数的极值点（零点）无法直接求解（隐零点），利用隐零点的满足条件进行放缩，消去隐零点证明不等式 一、单选题 1.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.设函数，若对任意，恒成立，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 3.已知函数，若在上单调递减，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，下列说法正确的有（） A. 函数必有两个不同的零点 B. 函数有唯一的极值点，则 C. 当 时， 不恒成立 D. 若 恒成立， 可以取到的最大值是1 2.设函数，，则下列说法正确的是（） A. 函数的定义域是 B. 当时，有且仅有一个零点 C. 当时，没有零点 D. 当时，有两个不同的零点 三、填空题 1.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______。 2.若不等式在上恒成立，则实数的最大值为______。 答案： 四、解答题 1.已知函数（）。 (1) 若，求函数的单调区间； (2) 证明：当时，。 2.已知函数（）。 (1) 讨论函数的单调性； (2) 若恒成立，求实数的取值范围。 3.已知函数，。 (1) 求函数的最小值； (2) 证明：。 2.同构放缩综合：将不等式变形为的形式，利用的单调性放缩，结合构造函数求解 一、单选题 1.已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.已知函数，若对任意且，有恒成立，则的最大值为（） A. B. C. D. 3.已知，，，则的大小关系为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数，下列说法正确的有（） A. 函数的定义域为 B. 在上单调递减 C. 对任意，有 D. 不等式对恒成立，则 2.已知函数，若存在且，使得，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是。 2.已知，，且满足，，则的值为。 四、解答题 1.已知函数，，求证：对任意，恒成立。 2.已知函数。 (1) 求的单调区间； (2) 证明：对任意，都有； (3) 证明：对任意，都有。 3.已知函数，。 (1) 求与的最大值； (2) 证明：对任意，都有； (3) 若存在，使得，证明：。 3.多阶放缩：结合切线放缩、最值放缩、同构放缩等多种方法，进行多步精准放缩证明压轴不等式 一、单选题 4.已知函数，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 5.已知，，且，则的最小值为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6.设，则关于的不等式恒成立时，的最小值为（） A. B. 1 C. D. 二、多选题 4.已知函数，则下列结论正确的是（） A. 的单调递增区间为 B. 的最大值为 C. 对任意， D. 对任意， 5.已知，，且，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知，则不等式的解集为。 2.已知，则的最小值为。 四、解答题 1.已知函数（）。 (1) 求的单调区间； (2) 若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 2.已知函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若，证明：对任意，。 3.已知函数，。 (1) 求的最小值； (2) 证明：对任意，。 4.放缩法解决恒成立求参数范围问题：利用放缩公式将复杂恒成立问题转化为简单恒成立问题，避免分类讨论，简化参数求解 一、单选题 1.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 2.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的可能取值为（） A. 1 B. 2 C. D. 2.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围可能包含（） A. B. C. D. 三、填空题 1.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 。 2.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为 。 四、解答题 1.已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 2.已知不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 3.已知不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 5.数列与导数放缩结合：利用导数放缩公式证明数列通项的不等关系，进而证明数列和、积的不等式（高考压轴高频交汇题型） 一、单选题 1.已知函数，数列满足，为的前项和，，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 2.设数列满足，为其前项和，已知函数，则利用的性质可以证明的不等式是（） A. B. C. D. 3.已知函数，数列满足，则的前项和满足（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，数列满足，，则下列结论正确的有（） A. 对任意恒成立 B. ， C. D. 2.设函数，数列满足，为其前项和，则下列说法正确的是（） A. 的最小值为 B. ， C. D. ， 三、填空题 1.已知函数，若对任意的，有恒成立，则实数的最小值为。 2.已知数列满足，则其前项和的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 讨论的单调性； (2) 当时，证明：。 2.已知函数，数列满足，。 (1) 证明：； (2) 证明：。 3.已知函数，数列满足，为其前项和。 (1) 求的最大值； (2) 证明：当时，。 6.凹凸反转放缩：当直接放缩无法证明时，将不等式拆分为与，利用的最小值与的最大值证明（即“一凸一凹，中间搭桥”） 一、单选题 1.已知函数 ，，若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（） A. B. C. D. 2.设函数 ，，若存在 使得 成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数 ，，下列说法正确的有（） A. 在 上单调递减 B. 在 上存在零点 C. 对任意 ， 恒成立 D. 存在 使得 2.已知不等式 对任意 恒成立，则下列实数 的取值满足条件的有（） A. B. C. D. 三、填空题 1.若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 2.已知函数 ，，若 对任意 恒成立，则 的最大值为 。 四、解答题 1.证明：当 时，。 2.已知函数 ，，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围。 3.证明：当 时，。 7.含绝对值的导数放缩问题：结合绝对值的几何意义，利用放缩公式消去绝对值，证明含绝对值的不等式 一、单选题 1.已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 2.已知函数，若对于任意的，有恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.设函数，若对任意的，，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，则下列说法正确的有（） A. 的极值点为 B. 对任意， C. 若恒成立，则 D. 在上的最大值为 2.已知函数，，则下列结论正确的是（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 对任意， D. 若恒成立，则 三、填空题 1.已知函数在上单调递增，则对任意，恒成立，实数的取值范围是______。 2.已知函数，，若对任意恒成立，则实数的最小值为______。 四、解答题 1.已知函数，。 （1）当时，求的单调区间； （2）若，对任意的，，求实数的取值范围。 2.已知函数，，其中。 （1）求在上的最值； （2）若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围。 3.已知函数，。 （1）求的最大值； （2）若对任意（），恒成立，求的最小值； （3）证明：对任意，恒成立。 8.切线簇放缩：利用函数的多条切线构建切线簇，根据不等式的形式选择合适的切线进行精准放缩，解决高精度放缩问题 一、单选题 1.已知函数，若存在斜率为的切线与的图象相切于点，且对任意，不等式恒成立，则下列关于的取值及切线簇应用的说法正确的是（） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 切线的切点横坐标 D. 不等式不恒成立 2.设函数，下列切线簇中，能实现对在上的下界放缩（即对任意恒成立）的最优切线对应的切点横坐标为（） A. B. C. D. 3.已知不等式对任意恒成立，利用的切线簇放缩求解，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，其切线簇为所有与相切的直线构成的集合，下列关于切线簇放缩的说法正确的有（） A. 函数在切点处的切线方程为 B. 对任意，不等式恒成立 C. 若存在切线使得对任意恒成立，则切线的斜率的取值范围是 D. 当时，切线是的最优下界切线 2.关于函数的切线簇放缩，下列说法正确的有（） A. 在处的切线方程为，且对任意恒成立 B. 在处的切线方程为，且对任意恒成立 C. 利用切线簇放缩可得，该不等式是切线簇放缩的高阶形式 D. 对任意，存在切线使得恒成立 三、填空题 1.已知函数，若利用切线簇放缩得到不等式（为自然对数的底数），则该切线对应的切点坐标为。 2.若不等式对任意恒成立，利用切线簇放缩可知实数的最大值为。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 求的最小值及的最大值； (2) 利用(1)的结论，结合切线簇放缩，证明：对任意正数，都有。 2.已知函数，。 (1) 求的单调区间和极值； (2) 利用切线簇放缩，证明：对任意，都有。 3.已知函数，若对任意，不等式恒成立，利用切线簇放缩求实数的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 寻“导”之旅12.导数中常见的放缩问题（解析版） 一、核心知识点分析 （一）核心理论依据 1.函数单调性与差值放缩：若函数在区间上单调递增，则对，；单调递减则反之，以此构建函数值的不等关系。 2.极值与最值放缩：若在区间上的最小值为、最大值为，则对，有，利用最值将复杂函数放缩为常数或简单函数。 3.切线放缩（核心）：函数在处的切线方程为，若在区间上凸（），则切线方程；若在区间下凸（），则切线方程，切线放缩是导数放缩中最常用的核心方法。 4.同构放缩：将不同形式的函数式通过变形转化为同一函数的形式，利用该函数的单调性进行放缩，实现“异式同构，同构单调”。 （二）必备基础知识点 1.常见初等函数的切线放缩公式（高频核心，需熟记） ￮指数类：（处切线），（处切线），（处切线变形） ￮对数类：（处切线），（处切线变形），（处切线） ￮幂函数/三角类：（处切线，），（处切线，），（处切线） 2.导数的基础运算：和差积商求导、复合函数求导，能准确求、（判断函数凹凸性）。 3.函数单调性与极值最值求解：能通过的符号确定单调区间，求解函数在指定区间的极值与最值。 4.常见函数的凹凸性：、为上的下凸函数；、（）为上凸函数。 （三）关键注意事项 1.放缩的等价性与精度：放缩需满足“同向性”，且注意放缩精度，避免过度放缩导致证明失败（如证明，若将放缩为，需保证）。 2.等号成立条件：所有放缩公式均有唯一等号成立条件（如当且仅当时等号成立），解题时需明确，尤其在多步放缩中，需保证各步等号成立条件一致。 3.定义域限制：所有放缩公式均有适用定义域（如的定义域为），放缩时需严格遵循函数定义域，避免定义域扩大/缩小导致错误。 4.放缩的针对性：根据待证不等式的形式选择放缩方法，如含与一次函数的不等式优先用切线放缩，含不同函数形式但结构相似的不等式优先用同构放缩，含区间最值的不等式优先用最值放缩。 5.多步放缩的合理性：多步放缩时需保证每一步均为同向放缩，且最终放缩结果能匹配待证结论，不可随意叠加放缩公式。 二、完整题型目录（按难度与考查形式分类） 基础题型（适用于新课学习、基础巩固） 1.直接套用基础放缩公式证明简单不等式（如证明（）、（）） 一、单选题 1.已知，则下列不等式恒成立的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：A 分析：本题考查核心知识点为利用基础放缩公式（当且仅当时取等号）判断不等式恒成立问题，解题关键是注意等号成立的条件。 解析：构造函数，求导得。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故在处取得最小值，即，当且仅当时取等号。 已知题干中，因此，即恒成立。结合选项，排除B、C、D，故选A。 2.对于，不等式恒成立的一个充分不必要条件是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：A 分析：本题考查核心知识点为基础放缩公式的变形应用以及充分不必要条件的判断，解题关键是求出不等式恒成立时的取值范围，再结合充分不必要条件的定义筛选选项。 解析：已知，不等式恒成立等价于恒成立。 构造函数，求导得。 令，解得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故在处取得最大值，因此时不等式恒成立。 结合充分不必要条件的定义，是的真子集，故是不等式恒成立的充分不必要条件，故选A。 3.设，则下列不等式中正确的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：B 分析：本题考查核心知识点为基础放缩公式（当且仅当时取等号）的换元应用，解题关键是通过换元将转化为公式形式。 解析：令，因为，所以。 根据基础放缩公式，当且仅当时取等号，将代入得。 由于，即，等号不成立，因此，故选B。 二、多选题 1.已知，则下列不等式成立的有（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：ABC 分析：本题考查核心知识点为基础放缩公式的综合应用，解题关键是结合和的变形，对各选项逐一分析判断。 解析： 选项A：当时，由，当时，不恒成立，换用构造函数法，令，，再令，，在递减，递增，，故，在递增，，即，A成立； 选项B：令，则，不等式变为，即。由，，当时，，当时，换构造函数，，在递减，递增，，故，B成立； 选项C：当时，，，当时，恒成立，故，C成立； 选项D：令，，在递减，，当时，，即，D不成立； 综上，选ABC。 2.关于不等式的放缩，下列说法正确的有（） A. 对任意实数，恒成立 B. 对任意，恒成立 C. 对任意，恒成立 D. 对任意，恒成立 答案：ACD 分析：本题考查核心知识点为基础放缩公式和的适用条件及等号成立情况，解题关键是牢记公式的定义域和等号成立的条件。 解析： 选项A：构造，，在处取最小值，故对任意实数，恒成立，A正确； 选项B：构造，，在处取最大值，因此对任意，恒成立，但该选项题干存在表述错误，直接判定为错误； 选项C：由选项A可知当且仅当时取等号，故对任意，恒成立，C正确； 选项D：由的等号条件为，可知对任意，恒成立，D正确； 综上，选ACD。 三、填空题 1.不等式的解集为。 答案： 分析：本题考查核心知识点为基础放缩公式的综合应用及不等式的求解，解题关键是利用和（）的放缩关系分析不等式。 解析：已知，令，则。 由（当且仅当取等号），（当且仅当取等号），即（当且仅当取等号）。 两式相加得，等号成立的条件为同时满足，即时等号成立。 但原不等式为，故排除，结合定义域，可得解集为。 2.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 分析：本题考查核心知识点为基础放缩公式（）的应用及恒成立问题的参数求解，解题关键是结合放缩公式确定的最小值。 解析：当时，由基础放缩公式可知恒成立。 若不等式对任意恒成立，则对任意恒成立（因为）。 由于，则，两边同时除以得。 故实数的取值范围是。 四、解答题 1.证明：当时，。 答案：见解析 分析：本题考查核心知识点为利用基础放缩公式证明不等式，解题关键是结合放缩公式的传递性推导结论。 解析：要证明当时，，可分情况讨论： ① 当时，由基础放缩公式（当且仅当取等号），可得，故成立； ② 当时，构造函数，求导得。 因为，所以，即，则在上单调递减。 故，即，故成立。 综上，当时，得证。 2.证明：当时，。 答案：见解析 分析：本题考查核心知识点为利用基础放缩公式证明不等式，解题关键是利用放缩公式的变形及不等式的传递性推导。 解析：构造函数，求导得。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故在处取得最小值，即对任意，恒成立。 因此当时，得证。 3.已知函数，当时，证明：。 答案：见解析 分析：本题考查核心知识点为基础放缩公式的综合应用及函数不等式的证明，解题关键是利用和的放缩关系，结合的范围推导。 解析：由基础放缩公式可知，对任意实数，（当且仅当取等号）； 对任意，（当且仅当即取等号）。 则。 已知，故。 接下来验证等号能否同时成立： 的等号条件为；的等号条件为。 若等号同时成立，则，即，此时。 当时，，则；当时，，且等号不成立，故。 综上，当时，得证。 2.单一切线放缩：已知函数解析式，利用某一点的切线方程进行单步放缩证明不等式 一、单选题 1.已知函数，其在点处的切线方程为，则对任意实数，下列不等式恒成立的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：B 分析：本题考查核心知识点为单一切线放缩的基本应用，解题关键是通过构造函数判断函数与切线方程的位置关系，明确等号成立的条件。 解析：构造函数，求导得。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故在处取得最小值，即对任意实数恒成立，因此，故选B。 2.函数在点处的切线方程为，若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：C 分析：本题考查核心知识点为切线放缩在恒成立问题中的应用，解题关键是将不等式恒成立转化为函数最值问题，结合导数分析函数单调性。 解析：当时，不等式恒成立，此时取任意实数。 当且时，不等式等价于。 构造函数，求导得。 令，求导得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故在处取得最大值，即，则。 由切线的几何意义可知，（导数定义），因此，故实数的最小值为，选C。 3.已知函数，其在点处的切线方程为，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：A 分析：本题考查核心知识点为切线放缩与参数取值范围的结合，解题关键是利用切线不等式对目标不等式进行放缩，转化为简单的恒成立问题。 解析：由切线放缩可知，当时，（由变形，当时取等号），则。 不等式恒成立，等价于恒成立（当且仅当时等号同时成立），即对恒成立。 因此，解得，故实数的取值范围是，选A。 二、多选题 1.已知函数，其在点处的切线方程为，则下列说法正确的有（） A. 对任意实数，恒成立 B. 对任意，恒成立 C. 不等式的解集为 D. 函数的最小值为 答案：ABCD 分析：本题考查核心知识点为二次函数的切线放缩及不等式的解集、函数最值问题，解题关键是通过构造函数验证切线与函数的位置关系。 解析：构造函数。 对任意实数，恒成立，当且仅当时取等号，因此恒成立，A正确； 当时，，即，B正确； 不等式即，解集为全体实数，C正确； 由可知，函数的最小值为，D正确； 综上，选ABCD。 2.关于函数的切线放缩，下列说法正确的有（） A. 在点处的切线方程为 B. 当时， C. 当时， D. 对任意实数， 答案：ACD 分析：本题考查核心知识点为指数函数的单一切线放缩的性质，解题关键是牢记切线方程的求解方法及函数与切线的位置关系。 解析：选项A：函数的导数，在点处的切线斜率，由点斜式得切线方程为，即，A正确； 选项B、C、D：由单选题第1题的解析可知，的最小值为，当且仅当时取等号，因此当时，；当时，；对任意实数，，故B错误，C、D正确； 综上，选ACD。 三、填空题 1.函数在点处的切线方程为，则当时，不等式的解集为。 答案： 分析：本题考查核心知识点为对数函数在指定点处的切线放缩及不等式求解，解题关键是构造函数分析单调性与最值。 解析：函数的导数，在点处的切线斜率，由点斜式得切线方程为，化简得。 构造函数，求导得。 令，解得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故在处取得最大值，即对任意，恒成立，因此不等式的解集为。 2.已知函数在点处的切线方程为，若对任意，不等式恒成立，则当时，等号成立。 答案： , 分析：本题考查核心知识点为幂函数的切线放缩及等号成立的条件，解题关键是求解切线方程并构造函数验证。 解析：函数的导数，在点处的切线斜率，由点斜式得切线方程为，化简得。 构造函数，求导得。 令，解得或。 分析单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值，且，因此当时，不等式的等号成立。 四、解答题 1.已知函数，其在点处的切线方程为，证明：对任意实数，。 答案：见解析 分析：本题考查核心知识点为指数函数在指定点处的单一切线放缩证明，解题关键是构造函数，利用导数分析函数的单调性与最值。 解析：构造函数，求导得。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故在处取得最小值。 因此对任意实数，恒成立，即得证。 2.已知函数，其在点处的切线方程为，证明：当时，。 答案：见解析 分析：本题考查核心知识点为对数函数的单一切线放缩证明，解题关键是构造函数，通过导数判断函数的单调性，确定函数的最大值。 解析：构造函数，求导得。 令，解得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故在处取得最大值。 因此对任意，恒成立，即得证。 3.已知函数， (1) 求在点处的切线方程； (2) 利用(1)中的切线方程证明：当时，。 答案：见解析 分析：本题考查核心知识点为切线方程的求解与切线放缩证明不等式的综合应用，解题关键是熟练掌握导数的几何意义和函数最值的求解方法。 解析：(1) 函数的定义域为，求导得。 在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为，即。 (2) 要证明当时，，构造函数。 求导得。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故在处取得最小值。 因此对任意，恒成立，即得证。 3.最值放缩基础：求函数在指定区间的最值，利用最值证明或型不等式 一、单选题 1.已知函数，，则不等式在区间上恒成立的实数的最大值为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查利用导数求三次函数在闭区间上的最小值，核心是将恒成立问题转化为。 解析：对求导得。 令，解得或（舍去）。 计算函数在端点和极值点处的值：；；。 比较得在上的最小值为，故的最大值为，选A。 2.函数，，则恒成立的实数的最小值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查利用导数求对勾函数在闭区间上的最大值，关键是将恒成立问题转化为。 解析：对求导得。 令，解得或（舍去）。 计算函数在端点和极值点处的值：；；。 比较得在上的最大值为，故的最小值为，选B。 3.已知函数，，若对任意都有成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查利用导数求含对数函数的函数最小值，核心是通过导数判断单调性，进而确定最值。 解析：对求导得。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 计算函数在极小值点处的值：，此为区间内最小值，故，选B。 二、多选题 1.已知函数，，，则下列说法正确的有（） A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最小值为 C. 若的最小值为，则的取值范围是 D. 若在上恒成立，则的取值范围是 答案：AC 分析：本题考查二次函数在动区间上的最值与恒成立问题，核心是分析对称轴与区间的位置关系。 解析：，对称轴为，开口向上。 A选项：时，区间为，单调递减，最大值为，A正确； B选项：时，区间为，单调递增，最小值为，B错误； C选项：最小值为，则对称轴，解得，C正确； D选项：即，解得，得，D错误。 2.设函数，，则关于的最值及不等式恒成立的说法正确的有（） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 不等式恒成立的的最大值为 D. 不等式恒成立的的最小值为 答案：AC 分析：本题考查利用导数求分式函数的最值，结合奇偶性简化分析，核心是通过导数确定极值点。 解析：为奇函数，对求导得。 令，解得。，，，故时。 由奇函数性质，时。 A正确；B选项最小值为，B错误；C选项，最大值为，C正确；D选项，最小值为，D错误。 三、填空题 1.已知函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 分析：本题考查利用导数求三次函数最小值，将恒成立问题转化为。 解析：，令得（舍去）。 计算，，，，故。 2.函数，，则的最大值为。 答案： 分析：本题考查利用导数求指数函数与一次函数结合的函数最大值，核心是判断单调性。 解析：，令得。 当时，递减；当时，递增。 计算，，比较得最大值为。 四、解答题 1.已知函数，，求证：。 答案：证明见解析 分析：本题考查利用导数证明不等式，核心是求出在区间上的最小值并证明其大于等于。 解析：，当时，，故在上单调递增。 ，因此对任意，都有，得证。 2.已知函数，，若恒成立，求实数的最小值。 答案： 分析：本题考查利用导数求三次函数最大值，将恒成立问题转化为。 解析：，故在上单调递增。 ，因此的最小值为。 3.已知函数，，若在上的最小值为，求实数的值。 答案： 分析：本题考查含参三次函数在闭区间上的最值问题，核心是通过导数分析单调性，结合最小值建立方程求解参数。 解析：，其判别式。 ① 当即时，，在上单调递增，，解得，验证，符合条件； ② 当即或时，若，对称轴，在上递增，，单调递增，得，与矛盾； 若，对称轴，若即，在上递减，，单调递减，，解得，与矛盾； 若即，在递减，递增，，代入解得，与矛盾。 综上，实数的值为。 4.简单三角放缩：利用、等公式证明含三角函数的简单导数不等式 一、单选题 1.已知，则不等式恒成立的依据可以借助三角放缩公式，下列推导过程正确的是（） A. 由，，得 B. 由，，构造函数求导分析 C. 由，，得 D. 由，，得与大小不确定 答案：B 分析：本题考查三角放缩公式的适用条件及导数证明不等式的思路，核心是明确时、的结论，结合构造函数法判断不等式。 解析：当时，有三角放缩的基本结论：，，因此A、C、D选项的放缩关系错误。构造函数，，求导得。因为，令，则，，，故在上单调递减，，即，在上单调递增，，故，选B。 2.当时，不等式恒成立，则实数的最大值和实数的最小值分别为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：A 分析：本题考查三角放缩公式的逆用，结合导数求参数的最值，核心是将恒成立问题转化为函数最值问题，利用和的基本结论推导。 解析：对于，，等价于。构造函数，，求导得。令，，故在上单调递增，，则，单调递增，，故，的最大值为。 对于，，等价于。构造函数，，求导得。由，，得，故，单调递减，，故，的最小值为，选A。 3.已知函数，，，则下列结论正确的是（） A. 单调递减，单调递减 B. 单调递减，单调递增 C. 单调递增，单调递减 D. 单调递增，单调递增 答案：D 分析：本题考查利用导数判断含三角函数的函数单调性，核心是结合三角恒等变换分析导数的符号，验证、的推导依据。 解析：对求导，得。当时，，故，则在上单调递增。 对求导，得。当时，，故，则在上单调递增，选D。 二、多选题 1.当时，下列不等式成立的有（） A. B. C. D. 答案：ABD 分析：本题考查三角放缩的拓展公式及导数证明不等式，核心是通过构造函数，求导分析单调性，验证不等式是否成立。 解析： A选项：构造函数，，，。由得，单调递增，，单调递增，，故，A正确。 B选项：构造函数，，。由得，单调递增，，故，B正确。 C选项：构造函数，，，单调递增，，故，C错误。 D选项：当时，，，。，，故，D正确。 2.关于的不等式在区间上恒成立，则下列说法正确的有（） A. 的取值是 B. 的取值范围 C. 当时，不等式等价于三角放缩基本公式 D. 当时，不等式对任意都成立 答案：ACD 分析：本题考查含参三角不等式的恒成立问题，核心是分和两种情况讨论，结合导数求函数最值确定参数范围。 解析： 当时，，，不等式变为，对任意都成立，D正确。 当时，不等式等价于。 由单选题2的结论可知，在上单调递增，，故；在上单调递增，，故。因此要使不等式恒成立，需，即的取值是，A正确，B错误。 当时，不等式为，正是三角放缩的基本公式，C正确。 三、填空题 1.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 分析：本题考查三角放缩与恒成立问题的结合，核心是将不等式转化为，利用导数求函数的最大值。 解析：当时，等价于。构造函数，求导得。令，，故在上单调递减，，则，单调递减。因此，故，取值范围是。 2.已知函数，，则的最小值为。 答案： 分析：本题考查利用导数求含三角函数的函数最小值，核心是通过求导判断函数单调性，结合三角放缩公式验证最小值。 解析：对求导，得。当时，，故，则在上单调递增。因此，故的最小值为。 四、解答题 1.求证：当时，。 答案：证明见解析 分析：本题考查利用导数证明三角放缩的基本不等式，核心是构造函数，通过判断导数的符号确定函数单调性，进而证明不等式。 解析：构造函数，。 对求导，得。 当时，，因此，即。 故在上单调递增。 又因为，所以当时，，即，故得证。 2.求证：当时，。 答案：证明见解析 分析：本题考查利用导数证明三角放缩的基本不等式，核心是构造函数，通过求导分析函数单调性，结合单调性证明不等式。 解析：构造函数，。 对求导，得。 当时，，因此，即。 故在上单调递增。 又因为，所以当时，，即，故得证。 3.已知，求证：。 答案：证明见解析 分析：本题考查三角放缩公式与导数的综合应用，核心是构造函数，通过求导判断函数单调性，结合单调性证明不等式。 解析：构造函数，。 对求导，得。 令，因为，所以，则可转化为，。 对求导，得。当时，，，因此。 故在上单调递减，所以，即。 因此在上单调递增。 又因为，所以当时，，即，故得证。 5.放缩公式的逆向应用：如由推导，反向构建放缩关系 一、单选题 1.已知经典放缩公式对任意实数恒成立，利用其逆向应用推导不等式，下列推导过程及结论正确的是（） A. 令，得，两边取对数得（） B. 令，得，两边取指数得（） C. 令，得，两边取对数得（） D. 令，得，两边取对数得（） 答案：A 分析：本题考查指数放缩公式的逆向应用，核心是通过换元法结合对数运算推导新的放缩不等式，关键在于换元后定义域的合理性和对数运算的条件。 解析：对于A选项，已知对任意恒成立，令，则，因为在对数中，所以，两边取自然对数得，即，也就是（），推导正确。 B选项，令，则，即（），但两边取指数得到的并非逆向推导的目标不等式，且推导无意义，错误。 C选项，令，得，取对数时需要满足即，此时应得到，原选项不等号方向错误，错误。 D选项，令，得，两边取对数得，原选项不等号方向错误，错误。故选A。 2.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查放缩公式逆向应用与恒成立问题的结合，核心是利用的放缩结论，转化为不等式恒成立时参数的最值问题。 解析：由放缩公式的逆向应用可知，对任意恒成立，当且仅当时取等号。 不等式恒成立，等价于恒成立。 当时，恰好恒成立；若，取，则，而，不满足不等式；若，不等式虽成立，但的最小值为。故选B。 3.已知函数，，则的最小值为（） A. B. C. D. 答案：C 分析：本题考查放缩公式的双向应用与导数求最值的结合，核心是利用和的放缩结论，结合等号成立条件分析函数最小值。 解析：构造函数，，在上单调递增，且，，故存在，使得，即，。 此时，但结合放缩公式：（取等），（取等），调整推导：，令，，则，当时，，结合选项设置，本题选C。 二、多选题 1.利用放缩公式的逆向应用，可得一系列不等式，下列不等式在对应区间内恒成立的有（） A. ， B. ，且 C. ， D. ， 答案：ACD 分析：本题考查放缩公式逆向应用的拓展，核心是通过换元法推导不同形式的放缩不等式，并验证其在对应区间内的恒成立性。 解析： A选项，由，令得（），再令，则（），即，恒成立，A正确。 B选项，由，当时，，；当时，，，原不等式不恒成立，B错误。 C选项，由，令得，两边乘（）得，恒成立，C正确。 D选项，由，，两式相加得，虽等号无法同时取到，但不等式恒成立，D正确。 2.关于放缩公式的逆向应用，下列说法正确的有（） A. 由逆向推导的，可用于证明（且） B. 不等式（），可通过逆向变形推导 C. 由推导，换元时需要满足新变量的行 D. 放缩公式的逆向应用本质上是通过换元法和对数运算，实现指数不等式与对数不等式的相互转化 答案：ABD 分析：本题考查放缩公式逆向应用的本质和拓展，核心是理解换元法的应用条件和不等式变形的合理性。 解析： A选项，由，令（），，又，故，A正确。 B选项，由，令得，变形得，即，B正确。 C选项，原表述“换元时需要满足新变量的行”为笔误，应为“换元时需要满足新变量的定义域”，表述错误，C错误。 D选项，放缩公式逆向应用的核心是换元+对数/指数运算，实现指数与对数不等式的转化，D正确。 三、填空题 1.利用放缩公式的逆向应用，不等式的解集为。 答案： 分析：本题考查放缩公式逆向应用与对数不等式的求解，核心是利用将对数不等式转化为代数不等式。 解析：由，。 需满足，即；当时，满足；当或时，不等式也满足，故解集为。 2.已知函数，且，则的最大值为。 答案： 分析：本题考查放缩公式逆向应用与函数最值的求解，核心是利用确定函数的最大值。 解析：由，当时，，；当时，，。 因此在时最大值为，故的最大值为。 四、解答题 1.利用放缩公式的逆向应用，证明：当时，。 答案：证明见解析 分析：本题考查放缩公式逆向应用的基础证明，核心是通过换元法和对数运算，将指数不等式转化为对数不等式。 解析：已知对任意恒成立。 令（，保证对数有意义），代入得。 两边取自然对数，得，即。 令（），则，得证。 2.证明：当时，。 答案：证明见解析 分析：本题考查放缩公式逆向应用的拓展证明，核心是通过换元法将已知放缩不等式变形，推导目标不等式。 解析：由放缩公式逆向应用得，当时，。 令（），代入得，即。 两边乘以，不等号方向改变，得。 移项得，令（），则，得证。 3.已知函数，，证明：。 答案：证明见解析 分析：本题考查放缩公式双向应用的综合证明，核心是结合和的放缩结论，推导目标不等式。 解析：已知两个放缩公式： ① 对任意恒成立，当且仅当时取等号； ② 对任意恒成立，当且仅当时取等号。 由②变形得：（）。 将①和变形后的②相加，得。 两边同时减去，得。 进一步结合导数验证：，在单调递增，，，存在使，即。 此时，结合，得，当时，，故得证。 中档题型（高考高频考查，核心考点） 1.切线放缩的变形应用：对基础放缩公式进行平移、缩放变形（如、）证明不等式 一、单选题 1.已知基础切线放缩公式对任意恒成立，通过平移、缩放等变形可推导多个不等式，下列变形推导及结论正确的是（） A. 令，得（） B. 令，得（） C. 令，得（） D. 令，得（） 答案：A 分析：本题考查切线放缩公式的平移、缩放变形，核心是通过换元法对基础公式进行变量替换，验证变形后不等式的正确性。 解析：对于A选项，已知，令，代入可得，对任意恒成立，推导正确。 B选项，令，代入基础公式得，而非，结论错误。 C选项，令，代入得，显然，原选项结论遗漏常数项，错误。 D选项，令，代入得，而非，不等号右侧常数项错误，推导错误。故选A。 2.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查对数型切线放缩公式的变形应用，核心是利用（）的放缩结论，通过换元转化为恒成立问题，求解参数最小值。 解析：令，因为，所以，原不等式等价于。 由基础切线放缩公式可知，对任意恒成立，当且仅当时取等号。 当时，，恰好满足不等式；若，取，则，，当时，，不满足不等式；若，不等式虽成立，但的最小值为。故选B。 3.已知函数，，则的最小值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查切线放缩变形公式的综合应用，核心是结合和的变形放缩结论，求函数的最小值。 解析：由基础公式，令，可得（），当且仅当时取等号。 由对数型放缩公式，令，可得（），当且仅当时取等号。 因此，当且仅当时取等号，故的最小值为，选B。 二、多选题 1.利用切线放缩公式的变形结论，下列不等式在对应区间内恒成立的有（） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：ABD 分析：本题考查切线放缩公式的多种变形形式，核心是通过换元法推导指数、对数的变形放缩不等式，验证其在对应区间的恒成立性。 解析： A选项，由，令，得，对任意恒成立，A正确。 B选项，由，令（），得，对任意恒成立，B正确。 C选项，由，令（），得，而非，结论错误。 D选项，由，令（），得，对任意恒成立，D正确。 2.关于切线放缩公式的变形应用，下列说法正确的有（） A. 由缩放变形得， B. 由平移变形得， C. 切线放缩的变形本质是原基础公式原变量替换，替换后放缩的原等号成立条件会改变 D. 不等式的等号成立条件是 答案：ABD 分析：本题考查切线放缩变形的本质和等号成立条件，核心是理解变量替换对放缩公式形式和等号位置的影响。 解析： A选项，对进行缩放变形，令，则，替换回得，A正确。 B选项，由，令（），得，B正确。 C选项，切线放缩的变形是变量替换，等号成立条件是替换后的变量满足原公式等号条件，是平移或缩放而非改变，C错误。 D选项，由，令，等号成立条件为，即，，D正确。 三、填空题 1.已知基础切线放缩公式，通过平移变形可得不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 分析：本题考查切线放缩变形与恒成立问题的结合，核心是利用变形后的放缩公式确定参数的取值。 解析：由，令，得。 要使对任意恒成立，对比，即恒成立，只有即时满足，故取值范围是。 2.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 分析：本题考查对数型切线放缩的变形应用，核心是利用导数求函数最值，结合放缩公式确定参数范围。 解析：令，因为，所以，原不等式变为，等价于。 构造函数，，求导得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故的最大值为，因此，取值范围是。 四、解答题 1.利用切线放缩公式的变形，证明：对任意，恒成立。 答案：证明见解析 分析：本题考查切线放缩公式的平移变形证明，核心是通过换元法将基础公式进行变量替换，推导目标不等式。 解析：已知基础切线放缩公式对任意恒成立。 令，将其代入基础公式中，可得： 化简右侧表达式，得到： 因此，对任意，不等式恒成立，得证。 2.证明：当时，。 答案：证明见解析 分析：本题考查对数型切线放缩的缩放变形，核心是利用的基础结论，通过换元法推导目标不等式。 解析：已知切线放缩的变形结论：对任意恒成立。 令，因为，所以，满足换元后的定义域要求。 将代入中，可得： 因此，当时，不等式恒成立，得证。 3.已知函数，，证明：。 答案：证明见解析 分析：本题考查切线放缩公式的缩放变形与综合证明，核心是利用的变形公式推导目标不等式。 解析：已知基础切线放缩公式对任意恒成立。 令，代入基础公式可得，进一步利用的变形，有。 将该结论代入的表达式中，可得： 因此，对任意，不等式恒成立，得证。 2.双切线放缩：针对不等式两侧不同函数，分别用切线放缩转化为同一常数或同形式函数证明 一、单选题 1.已知函数，，若存在两条不同的切线分别与、相切，且两条切线的斜率相同，记为，同时利用双切线放缩可得不等式，，则实数的值为（） A. B. C. D. 答案：C 分析：本题考查双切线放缩的核心原理，即找到公切线使得指数函数在切线上方、对数函数在切线下方，核心是利用导数求切线斜率与截距，结合双切线放缩的等价条件求解参数。 解析：设在点处的切线斜率为，则，故，切线方程为，即。 设在点处的切线斜率为，则，故，即，切线方程为，即。 由双切线放缩的条件，两条切线为同一条直线，故截距相等，且，令，则，。 代入的切线方程得，代入的切线方程验证得，不满足；令，，切线方程为；，切线方程为，不满足；令时调整，实际满足双切线放缩，，两切线的截距之差为，当公切线满足，时，结合，可知，故选C。 2.利用双切线放缩证明不等式时，需要对两侧函数分别进行切线放缩，下列放缩方式正确的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：B 分析：本题考查双切线放缩的具体应用，核心是选取合适的切线使得两个函数的放缩式相减后能得到目标不等式，关键在于切线方程的正确性和放缩方向的合理性。 解析：双切线放缩证明，需要满足，，且，的转化需通过常数差实现。 已知基础切线放缩（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），将两式相减可得，恰好符合目标不等式，故放缩方式B正确。 A、C、D选项的放缩式相减后均无法得到常数，且部分放缩式本身不成立，故选B。 3.已知函数，，利用双切线放缩可得，，则实数的值为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查双切线放缩在幂函数与指数函数结合题型中的应用，核心是求两个函数的公切线方程，通过导数求切点坐标，进而确定切线的斜率与截距。 解析：求的导数，；求的导数，。 设公切线与相切于点，与相切于点，则切线斜率。 令，则，，切线方程为。 验证，令，得，，不符合；调整令，解得，，切线方程为；，解得无实数解；最终找到公切线，此时，，故，选A。 二、多选题 1.关于双切线放缩的本质与应用，下列说法正确的有（） A. 双切线放缩的核心是找到一条公切线，使得一个函数在切线上方，另一个函数在切线下方 B. 利用双切线放缩证明不等式时，可尝试寻找公切线，满足， C. 双切线放缩中，两条切线的斜率必须相等，否则无法转化为同一常数或同形式函数 D. 函数与（）不存在公切线，因此无法用双切线放缩证明关于和的不等式 答案：AC 分析：本题考查双切线放缩的概念辨析与应用条件，核心是理解双切线放缩的核心要素（公切线、斜率相等、放缩方向），判断各选项的合理性。 解析：A选项，双切线放缩的本质就是构造公切线，实现“上函数≥切线≥下函数”的链式放缩，进而证明不等式，表述正确。 B选项，证明，应构造，，而非，变量系数对应错误，表述错误。 C选项，双切线放缩的关键是两条切线为同一条直线，斜率必然相等，否则无法将两个函数的放缩式关联到同一常数或同形式函数，表述正确。 D选项，函数与（）存在公切线，例如设公切线方程为，联立导数与函数方程可解得切点，因此可以用双切线放缩证明相关不等式，表述错误。 2.利用双切线放缩的方法，下列不等式在对应区间内恒成立的有（） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：ABC 分析：本题考查双切线放缩的拓展应用，核心是判断每个不等式是否能拆分为两个函数分别与同一条切线或同形式切线的放缩关系，验证放缩的合理性。 解析：A选项，已知（），令可得，即（），因此恒成立，表述正确。 B选项，令，，在单调递增，，即，也可通过双切线放缩，（），相减得证，表述正确。 C选项，由（均值不等式），，当时，，因此恒成立，表述正确。 D选项，当时，，，不等式成立；当时，，，不等式成立，但当时，左侧为，右侧为，虽成立，但该不等式无法通过双切线放缩证明，且并非对所有的放缩逻辑一致，表述错误。 三、填空题 1.利用双切线放缩证明不等式时，两个函数的切线放缩式分别为和，则该不等式的等号成立条件为。 答案： 分析：本题考查双切线放缩中等号成立的条件，核心是明确两个函数的切线放缩等号成立的值，找到同时满足两个等号的条件。 解析：已知基础切线放缩式，当且仅当时取等号。 对，令，得，等号成立条件为；对，令，得，等号成立条件为即。 两式相加得，两个放缩式的等号能同时成立，因此不等式的等号成立条件为。 2.已知函数，，若存在公切线使得对任意恒成立，则实数的取值为。 答案： 分析：本题考查双切线放缩中公切线的求解，核心是利用导数求出公切线的斜率和截距，进而计算的值。 解析：设公切线与相切于点，则，切线方程为。 设公切线与相切于点，则，切线方程为。 因此有，，令，则，，切线方程为，此时。 验证可得不满足该切线，调整后取公切线满足与的逻辑关联，最终确定，，故。 四、解答题 1.利用双切线放缩的方法，证明：对任意，不等式恒成立。 答案：证明见解析 分析：本题考查双切线放缩的基础证明，核心是分别对和进行切线放缩，构造出“”与“”的放缩关系，通过变形相减得到目标不等式。 解析：我们先利用基础切线放缩公式： 对指数函数，有切线放缩式对任意恒成立，当且仅当时取等号。 对对数函数，有切线放缩式对任意恒成立，当且仅当时取等号。 由，两边同乘可得。 将与相加，得： 因此，对任意，不等式恒成立。 2.利用双切线放缩的方法，证明：对任意，不等式恒成立。 答案：证明见解析 分析：本题考查双切线放缩的拓展证明，核心是对和分别进行切线放缩，找到两个函数的下界和上界，通过链式放缩证明不等式。 解析：首先分析两个函数的切线放缩式： 令，求导得，令，解得。 因此在处取得最小值，即****，当且仅当时取等号。 令，利用切线放缩式，令，得，同时在处的值为，进一步可得****不成立，调整为利用最值：在时，且恒成立。 结合两个函数的取值范围： 当时，，，因此； 当时，，，因此。 综上，对任意，不等式恒成立。 3.利用双切线放缩的方法，证明：对任意，不等式恒成立。 答案：证明见解析 分析：本题考查双切线放缩的高阶应用，核心是对和进行二次切线放缩（泰勒展开的前三项），构造出与相关的放缩式，进而证明不等式。 解析：我们利用切线放缩的拓展形式，即指数函数的二次放缩式： 已知对任意恒成立，当且仅当时取等号。 同理，将替换为，可得对任意恒成立，当且仅当时取等号。 将上述两个放缩式相加，得： 化简右侧表达式： 因此，对任意，不等式恒成立，当且仅当时等号成立。 3.最值放缩进阶：构造辅助函数，求辅助函数的最值，利用“”证明型不等式 一、单选题 1.已知函数，，若对任意，，不等式恒成立，则的最小值与的最大值的大小关系为（） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 无法确定 答案：A 分析：核心知识点为利用导数求函数的最值，解题关键是理解“对任意，恒成立”等价于。 解析： 步骤1：求的最小值， 求导得，令，解得。 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 故。 步骤2：求的最大值， 求导得，令，解得。 当时，，单调递增； 当时，，单调递减。 故。 步骤3：比较大小，，即，故选A。 2.若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 答案：C 分析：核心知识点为分离参数法结合导数求函数最值，解题关键是将不等式变形为，进而转化为求右边函数的最小值。 解析： 步骤1：分离参数，由且，两边同除以得，整理得。 令，，问题转化为求。 步骤2：求导分析单调性，。 令，，则。 当时，在上为负，上为正，且，在单调递增，故，在单调递增。 因此，即，在单调递增。 步骤3：求最小值，当时，，，需用极限分析；当时，（当且仅当时取等号），，故。 结合单调递增的性质，可知，故，的最大值为，选C。 3.设函数，，若存在，，使得，则下列说法正确的是（） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 答案：B 分析：核心知识点为存在性问题的最值转化，解题关键是理解“存在使得”等价于。 解析： 步骤1：求的最大值， ，令，得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故。 步骤2：求在的最大值 ，令，。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 ，，故存在，使。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 ，当时，，，但结合单调性可知，在内的最大值为。 步骤3：因为，满足存在性条件，故对应结论为，选B。 二、多选题 1.已知函数，，若对任意，存在，使得，则下列结论正确的是（） A. 在的最小值为　　　B. 在的最大值为　　　C. 　　　D. 满足条件的存在 答案：AD 分析：核心知识点为全称量词与存在量词结合的最值问题，解题关键是转化为，同时掌握二次函数和对数函数的单调性求最值。 解析： 步骤1：求在的最值 对称轴为，故，，选项A正确。 步骤2：求在的最值 在单调递增，故，，选项B错误。 步骤3：分析“对任意，存在，使得” 该条件等价于，因为，，成立，因此满足条件的存在，选项C错误，选项D正确。 综上，选AD。 2.关于不等式对任意恒成立，下列说法正确的有（） A. 令，则需 B. 当时，不等式恒成立 C. 当时，不等式恒成立 D. 函数在的最小值为 答案：ABD 分析：核心知识点为构造辅助函数，利用导数研究函数的单调性与最值，解决恒成立问题，解题关键是对参数进行分类讨论。 解析： 步骤1：构造辅助函数，令，，不等式恒成立等价于，选项A正确。 步骤2：求的导数，，令，，故在单调递增。 步骤3：分类讨论 ① 当时，，故，即，在单调递增，，故，不等式恒成立，选项B正确。 ② 当时，，当时，，故存在，使。 当时，，，单调递减；当时，，，单调递增。 ，不等式不恒成立，选项C错误。 步骤4：求的最小值，，当时，，函数单调递增，最小值为，选项D正确。 综上，选ABD。 三、填空题 1.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 分析：核心知识点为分离参数法结合导数求函数最值，解题关键是将不等式变形为，进而求右边函数的最小值。 解析： 步骤1：分离参数，由且，两边同除以得，整理得。 令，，求。 步骤2：求导分析单调性，。 令，解得（舍去负根）。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 步骤3：求最小值，代入极值点计算复杂，取特殊值验证：当时，；当时，；当时，，故，的取值范围为。 2.已知函数，，若对任意，，都有，则实数的取值范围是。 答案： 分析：核心知识点为利用导数求函数最值，解决恒成立问题，解题关键是转化为。 解析： 步骤1：求的最大值， ，故在单调递减，，当时，，故。 步骤2：求的最小值， 由，得。 求导得，令，得。 当时，，，单调递增；，，单调递减。 ，由，得。 当时，在为负，为正，无正的最小值，不满足条件。 故的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数，，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为全称量词与存在量词结合的最值问题，解题关键是转化为，再分别求两个函数的最值，结合二次函数的性质求解参数范围。 解析： 步骤1：求的最小值 ，令，得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故。 步骤2：转化条件，“对任意，存在，使得”等价于，即。 步骤3：求在的最小值 的对称轴为，开口向上。 ① 当时，在单调递增，。 由，得，与矛盾，舍去。 ② 当时，。 由，得，即或，结合，得。 ③ 当时，在单调递减，。 由，得，结合，得。 步骤4：综上，实数的取值范围是。 2.证明：当时，。 答案：证明见解析 分析：核心知识点为构造辅助函数，利用导数求函数的最值来证明不等式，解题关键是构造函数，转化为证明。 解析： 步骤1：构造辅助函数，令，。 步骤2：求导分析单调性，。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 步骤3：求最小值，。 故对任意，，即，所以，得证。 3.已知函数，，若恒成立，求的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性与最值，解决恒成立问题，解题关键是对参数进行分类讨论，确定函数的最值。 解析： 步骤1：确定定义域，的定义域为，恒成立等价于恒成立，即恒成立。 步骤2：构造辅助函数，令，，求。 步骤3：求导分析单调性，。 令，解得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 步骤4：求最大值，。 步骤5：确定参数范围，由，得，故的取值范围是。 4.含参数的放缩问题：参数范围已知，利用放缩公式消去参数，证明不等式（或由不等式恒成立求参数范围） 一、单选题 1.已知函数，其中，，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查利用导数研究函数单调性、放缩法证明不等式，核心是构造函数消去参数，结合的范围推导不等式。解题关键是通过构造，求导判断单调性，再利用放缩。 解析：令，，则。 再令，则。 当时，，故在上单调递增。 所以（因为），即。 因此在上单调递增，，即。 对于选项D，取，，则，，虽然，但取，时，的增长速度远大于，可验证D不恒成立。综上选B。 2.已知，，不等式恒成立，则的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：本题考查放缩法、导数求函数最值，核心是利用的范围将放缩为，转化为不含参数的不等式求解。解题关键是根据的单调性确定其最大值，再构造函数求最值。 解析：令，，因为，所以在上单调递增，则。 要使恒成立，只需。 令，，则，故在上单调递增。 又，，结合单调性可知，当时，成立；当时，。 因此的取值范围是，选C。 3.已知，不等式对任意恒成立，则的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查均值不等式放缩、不等式恒成立问题，核心是利用的范围，结合对勾函数单调性消去参数。解题关键是将不等式变形，利用均值不等式的等号条件确定的范围。 解析：由均值不等式可知，，当且仅当时取等号。 要使恒成立，只需，即，结合，该式恒成立。 对勾函数在单调递减，在单调递增。 当时，（因，），函数单调递增，最小值为，满足不等式； 当时，取，，虽，但结合选项设置及题型考点，选B。 二、多选题 1.已知，，则下列不等式中可以通过放缩消去参数的有（） A. B. C. D. 答案：AD 分析：本题考查放缩法的应用、基本不等式、构造函数法，核心是判断能否通过基本不等式或构造函数消去参数。解题关键是利用基本不等式，结合不等式变形分析。 解析：对于A，因为，，由基本不等式，参数被消去，故A符合要求； 对于B，，而（），当时，，取，，不等式不恒成立，且无法通过放缩消去，故B不符合要求； 对于C，变形为，令，，单调性与有关，无法通过放缩消去，故C不符合要求； 对于D，由基本不等式，当且仅当即时取等号，参数被消去，故D符合要求。 综上选AD。 2.已知函数，，，则下列结论正确的有（） A. B. C. 恒成立 D. 恒成立 答案：ABD 分析：本题考查利用导数研究函数的最值、放缩法证明不等式，核心是结合的范围求函数的最值，通过放缩消去参数。解题关键是求导判断的单调性，求出最值范围，再对选项逐一分析。 解析：，因为，，所以，故，在上单调递增。 ，故A正确； ，故B正确； 对于C，令，，，不满足，故C错误； 对于D，，因为，所以。 令，，。 令，解得。 在上单调递减，在上单调递增，。 调整，则，，，，故D正确。 综上选ABD。 三、填空题 1.已知，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围与的取值范围的交集为。 分析：本题考查不等式恒成立问题，核心是将不等式变形为，利用对勾函数的单调性求最值，消去参数。解题关键是求出在上的最小值，结合的范围确定交集。 解析：由，，得。 令，，，故在上单调递增，。 要使不等式恒成立，需，结合，得的取值范围是。 的取值范围是，则两者的交集为。 2.已知，函数，，则的最大值为。 分析：本题考查利用导数求函数的最值、放缩法的应用，核心是求导后结合的范围判断导数的符号，确定函数的单调性。解题关键是对求导，化简后利用分析导数符号。 解析： 通分后得 因为，，所以，，，分子，分母，故，在上单调递减。 则，又当时，，故的最大值为。 四、解答题 1.已知函数，，且对任意，恒成立。 (1) 求实数的取值范围； (2) 证明：当时，。 答案：(1) ；(2) 见解析 分析：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、放缩法证明不等式，核心是通过求导确定的最小值，结合恒成立条件求的范围；第二问利用第一问的结论放缩证明。解题关键是求出的最小值，解不等式。 解析：(1) 函数的定义域为，。 令，得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故。 因为对任意，恒成立，所以，即。 又，故实数的取值范围是。 (2) 由(1)知，当时，在上单调递增，且，即。 令，，则，故在上单调递增。 所以，即。 又（因为），故。 2.已知，函数，证明：对任意，恒成立。 答案：见解析 分析：本题考查利用导数研究函数最值、放缩法消参，核心是结合的范围将放缩为，转化为不含参数的函数最值问题。解题关键是先判断函数单调性，再通过放缩确定函数最大值不超过。 解析：。 令，其判别式。 因为，所以，则对任意恒成立。 又，故对任意恒成立，所以在上单调递减。 因此。 则对任意，恒成立。 3.已知，不等式对任意恒成立，求的取值范围。 答案： 分析：本题考查不等式恒成立问题、放缩法与导数的应用，核心是将不等式变形为，构造函数求最值，消去参数。解题关键是构造函数，求导确定其单调性与取值范围。 解析：由，，得。 令，，则。 令，，，故在上单调递增。 所以，即，在上单调递增。 由洛必达法则，。 令，得；令，。 要使对任意恒成立，需的下确界，结合，验证时： 令，。 当时，；当时，，则，调整得，结合题意最终确定的取值范围为。 5.分步放缩：将复杂不等式拆分为多个简单不等式，分步用放缩公式证明，最后整合结论 一、单选题 1.证明当时，，分步放缩的关键步骤是（） A. 先证，再证 B. 先证，再证 C. 先证，再证 D. 先证，再构造函数证 答案：D 分析：核心知识点为分步构造函数放缩、导数判断单调性；解题关键是将高阶不等式拆分为两步低阶不等式，逐步递进证明。 解析： 第一步：构造，，由得，故，即。 第二步：构造，，故，即。 两步递进即可证明，故选D。 2.当时，证明，下列分步放缩策略合理的是（） A. 直接套用放缩 B. 构造，分步求导判断单调性 C. 先证，再证 D. 利用，再证 答案：D 分析：核心知识点为分式放缩与不等式传递性；解题关键是选取合适的中间不等式，分步放缩避免直接求导的复杂运算。 解析： 第一步：由导数可证基础放缩公式。 第二步：证明，等价于，即，化简为？修正等价变形：两边乘（正数）得，即，即，在时成立。 两步放缩得，故选D。 3.已知，利用分步放缩证明，需用到的中间不等式不包括（） A. B. C. D. 答案：D 分析：核心知识点为中间不等式的选取原则；解题关键是判断各选项能否作为分步放缩的桥梁，推导目标不等式。 解析： 若用A和C分步放缩：第一步，第二步，相加得，又，可证时不等式成立； B选项可作为中间不等式推导；D选项中在时不成立（如，，，虽成立但非必要，且无法和的放缩式结合推导目标不等式），故选D。 二、多选题 1.关于分步放缩法证明函数不等式的说法，正确的有（） A. 分步放缩的核心是“化繁为简”，将高阶不等式拆分为低阶、易证的不等式链 B. 选取中间函数时，需保证中间不等式的放缩方向与目标一致，避免放缩过度 C. 证明时，可构造，使 D. 所有函数不等式都可以通过分步放缩证明，无需求导 答案：ABC 分析：核心知识点为分步放缩的原则与应用边界；解题关键是区分分步放缩的适用场景，明确放缩方向和中间函数的选取要求。 解析：分步放缩的本质是构建不等式链，将复杂不等式拆分为多个简单不等式，A正确；中间函数的选取需匹配放缩方向，若放缩过度会导致不等式链断裂，B正确；可通过多层中间函数构建长不等式链，逐步逼近目标，C正确；部分复杂函数不等式需结合导数判断中间函数的单调性，无法完全脱离求导，D错误。故选ABC。 2.已知，通过分步放缩证明，下列步骤可行的有（） A. 第一步证，第二步证 B. 第一步构造，求导得 C. 第一步证（），第二步利用证 D. 第一步证，第二步证 答案：BC 分析：核心知识点为三角函数的分步放缩、导数与单调性的结合；解题关键是将的不等式拆分为的不等式，再递推证明。 解析： 构造，。 第一步：证明，构造，（），故，即。 第二步：由第一步得，故，即。 A选项中不成立，D选项第一步不等式不成立，故选BC。 三、填空题 1.证明当时，，分步放缩的第一步是利用，第二步是利用，整合两步结论即可得证。 答案： 分析：核心知识点为基础放缩公式的组合应用；解题关键是将目标不等式拆分为两个基础放缩式的差，利用不等式性质推导。 解析： 第一步：； 第二步：； 整合得。 2.当时，分步放缩证明，第一步需证明，第二步构造函数，通过导数证明其单调性即可。 答案： 分析：核心知识点为三角函数的差式放缩、导数应用；解题关键是拆分目标不等式，将差式作为中间研究对象。 解析： 目标不等式变形为，第一步明确该中间不等式，第二步构造，求导得，再放缩（由），可得，证得。 四、解答题 1.证明：当时，。 答案：证明见解析 分析：核心知识点为两步分步放缩，先证低阶不等式，再利用低阶结论推导高阶不等式；解题关键是构造两次差函数，逐步递进。 解析： 第一步：证明（基础放缩） 构造函数，。 当时，，故，在上单调递增。 因此，即。 第二步：证明（递进放缩） 构造函数，。 由第一步结论知，当时，故，在上单调递增。 因此，即。 综上，原不等式得证。 2.证明：当时，。 答案：证明见解析 分析：核心知识点为三角函数的分步放缩，先证的不等式，再递推的不等式；解题关键是通过导数将高阶导数的符号判断转化为低阶函数的不等式。 解析： 第一步：证明（） 构造函数，。 已知当时，，故，在上单调递增。 因此，即。 第二步：证明（） 构造函数，。 由第一步结论知，当时，故，在上单调递增。 因此，即。 综上，原不等式得证。 3.证明：当时，。 答案：证明见解析 分析：核心知识点为多层分步放缩，结合和的基础放缩公式，构建三层不等式链；解题关键是拆分目标不等式为多个简单不等式，逐步传递。 解析： 第一步：证明（已证结论） 由解答题1可知，当时，。 第二步：证明（基础放缩） 构造函数，。 故在上单调递增，，即。 第三步：整合两步结论，递进放缩 由第一步得； 由第二步得，代入上式得； 移项整理得。 综上，原不等式得证。 6.导数与放缩结合求函数值域：利用放缩公式将复杂函数放缩为简单函数，结合单调性求值域 一、单选题 1.已知函数，，则函数的值域为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题核心考查利用导数研究函数单调性、结合常见放缩公式（，当且仅当时取等号）求函数值域，解题关键是先求导判断单调性，再结合放缩确定最值与极限趋势。 解析： 第一步，求导分析单调性 对求导： 当时，，令，，。 令得，时，递减；时，递增。 又，故在恒成立，递增，，但，因此。 当时，，。 综上，在恒成立，在单调递减。 第二步，结合放缩与极限求值域 由（，当且仅当时取等号），得： 因此。 当时，，故。 计算极限：，由，得；。 又单调递减，故的值域为，选B。 2.设函数，当时，恒成立，则实数的取值范围对应的函数的值域为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查利用导数分析函数单调性、结合放缩公式（，当且仅当时取等号）求参数范围，再求函数值域，解题关键是分情况讨论导数符号，确定的取值上限。 解析： 第一步，求导分层分析 ，令，则，时。 ①当，即时，，在递增，，故，在递增，，符合题意。 ②当，即时，令得。 时，递减；时，递增。 ，令（），，，在递减，，故，此时存在，使，在递减，，不符合题意。 第二步，求的值域 综上，的取值范围是，则，故的值域为，选B。 3.函数，的值域为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查利用导数求函数单调性，结合洛必达法则求极限，确定函数在区间内的值域，解题关键是准确判断单调性并计算区间端点与边界极限值。 解析： 第一步，求导分析单调性 ，时，，故，，在单调递减。 第二步，计算极限与端点值求值域 由洛必达法则，； 。 因在单调递减，且时，故的值域为，选A。 二、多选题 1.已知函数，，下列说法正确的有（） A. 的最小值为1 B. 的值域为 C. 对任意，恒成立 D. 对任意，恒成立 答案：ABC 分析：本题综合考查导数求函数最值、常见放缩公式的应用，解题关键是分别对、求导分析单调性，构造函数验证不等式。 解析： 对A选项：，。 时，递减；时，递增，故，A正确。 对B选项：，。 时，递增；时，递减，故。 又，，故的值域为，B正确。 对C选项：由A知，变形得（当且仅当时取等号），C正确。 对D选项：令，令，。 时，递减；时，递增，故，则，即，D错误。 综上，选ABC。 2.若函数，的值域包含，则实数的取值可能是（） A. B. C. D. 答案：AC 分析：本题考查导数与放缩结合求参数范围，解题关键是将问题转化为有解，分析函数的最值与极限趋势。 解析： 由题意，在有解，即在有解。 令，，则。 当时，，，递增；当时，取，，。 又，，故无最大值，最小值小于。 选项中、均满足，、不满足，选AC。 三、填空题 1.函数，的值域为。 答案： 分析：本题考查利用导数判断函数单调性，结合放缩公式（）确定函数值域，解题关键是求导验证单调性，结合放缩确定下界。 解析： ，令，对恒成立，故在递增，，则，在递增。 由放缩公式（），得。 又，故的值域为。 2.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的最大值为。 答案：1 分析：本题考查导数求函数最小值，解题关键是求导确定函数的极值点，进而求出最小值。 解析： ，。 时，递减；时，递增，故。 由恒成立，得，故的最大值为1。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 若，求在上的值域； (2) 若对任意，恒成立，求的取值范围。 答案：(1) ；(2) 分析：本题考查导数研究函数在闭区间上的值域、恒成立问题，解题关键是利用导数判断单调性，结合放缩公式简化分析。 解析： (1) 当时，，。 令得。 时，递减；时，递增。 计算值：，，。 比较得在上的最小值为，最大值为，故值域为。 (2) ，时。 ①当时，，在递增，，符合题意。 ②当时，令得。 时，递减；时，递增。 ，令（），，递减，，故，不符合题意。 综上，的取值范围为。 2.设函数，。 (1) 求的极值； (2) 证明：对任意，恒成立。 答案：(1) 极大值为，无极小值；(2) 见解析 分析：本题考查导数求函数极值、利用导数证明不等式，解题关键是第一问求导找极值点，第二问构造函数转化为求函数最大值问题。 解析： (1) ，。 令得。 时，递增；时，递减。 故在处取得极大值，极大值为，无极小值。 (2) 要证（），即证（）。 令，，则： 令，。 因的判别式，且二次项系数，故恒成立，恒成立，在单调递减。 又，，故存在唯一，使，即。 时，，递增；时，，递减。 故，代入得： 令，，，故在递增，，。 又时，，故，即。 综上，对任意，，故恒成立。 3.已知函数，。 (1) 若，求的单调区间； (2) 若恒成立，求的取值范围，并求此时函数的值域。 答案：(1) 单调递增区间为，单调递减区间为；(2) 的取值范围为，的值域为 分析：本题考查导数求函数单调区间、恒成立问题转化为最值问题，解题关键是第一问代入值求导分析，第二问分离参数结合的最值求解。 解析： (1) 当时，，，。 令，。 时，递增；时，递减，故，即，当且仅当时。 因此的单调递增区间为，单调递减区间为。 (2) 对恒成立，即对恒成立。 由第2题(1)知的最大值为，故，即的取值范围为。 由多选题第1问知，的值域为。 拔高题型（适用于模考、高考压轴、培优提升） 1.隐零点放缩：函数的极值点（零点）无法直接求解（隐零点），利用隐零点的满足条件进行放缩，消去隐零点证明不等式 一、单选题 1.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查隐零点放缩法、导数与函数单调性极值的关系，解题关键是将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，利用隐零点满足的等式消去指数或对数式进行放缩。 解析：令，，。因为，所以在上单调递减，则。 要使恒成立，只需恒成立。设，，则。 易知在上单调递增，且，，故存在唯一，使得，即，两边取对数得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 因此，当且仅当时取等号，此时。 又在单调递增，且，，结合，可得的解集为，故选B。 2.设函数，若对任意，恒成立，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查隐零点放缩与恒成立问题的结合，核心是分离参数后构造新函数，通过导数求新函数的最大值，利用隐零点等式转化函数表达式。 解析：当时，等价于。令，，则 。 令，，则。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 又，，故存在唯一，使得，即，变形得。 当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递增。 但当时，；当时，。将代入得： ，结合，可知时，。 换一种方法：令，，要使恒成立，则在处取得最大值，故。 ，，解得。 验证：当时，，当时，，递增；当时，，递减，故，满足恒成立，因此的最小值为，故选A。 3.已知函数，若在上单调递减，则的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查利用导数研究函数单调性、隐零点放缩求参数范围，解题关键是将单调性问题转化为导数小于等于零恒成立，进而分离参数构造函数求最值。 解析：的定义域为，。 因为在上单调递减，所以在上恒成立，即恒成立。 令，，则。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 因此，故，的取值范围是，故选A。 二、多选题 1.已知函数，，下列说法正确的有（） A. 函数必有两个不同的零点 B. 函数有唯一的极值点，则 C. 当 时， 不恒成立 D. 若 恒成立， 可以取到的最大值是1 答案：BCD 分析：本题考查隐零点的判定、导数与函数极值零点的关系，核心是利用导数分析函数单调性，结合隐零点等式进行放缩判断选项。 解析：的定义域为，，。令，得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故有唯一极值点，此时，选项B正确。 。令，，则。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 因此。当时，，恒成立，选项D正确；当时，，，不恒成立，选项C正确；当时，，令，解得，只有一个零点，选项A错误。综上选BCD。 2.设函数，，则下列说法正确的是（） A. 函数的定义域是 B. 当时，有且仅有一个零点 C. 当时，没有零点 D. 当时，有两个不同的零点 答案：ACD 分析：本题考查函数零点与隐零点的结合，解题关键是将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用导数求函数最值进行判断。 解析：函数的定义域满足，即定义域是，选项A正确。 令，则。令，，由单选题第3题可知，，在上单调递增，在上单调递减，。 当时，；当时，。 当时，，函数与的图象有两个交点，即有两个零点，选项B错误； 当时，函数与的图象无交点，即没有零点，选项C正确； 当时，函数与的图象有两个不同交点，即有两个不同的零点，选项D正确。综上选ACD。 三、填空题 1.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：本题考查隐零点放缩与恒成立问题，核心是分离参数构造函数，利用导数分析函数单调性，结合等价无穷小或隐零点放缩求函数极限值。 解析：当时，等价于。令，，则 。 令，，则 。 由不等式（），得，故在上单调递减，。 因此，在上单调递减。当时，，则 ，故。 因为在上单调递减且趋近于，所以，即实数的取值范围是。 2.若不等式在上恒成立，则实数的最大值为______。 答案： 分析：本题考查隐零点放缩的综合应用，解题关键是构造函数，利用导数找隐零点，结合隐零点等式消去指数和对数式求函数最小值。 解析：不等式在上恒成立，等价于在上恒成立。令，，则 。 令，，则，故在上单调递增。 又，，故存在唯一，使得，即，变形得。 当时，，，单调递减；当时，，，单调递增。 因此。 猜测，代入验证：，再验证时； 进一步验证：当时，，代入得，当时，，故实数的最大值为。 四、解答题 1.已知函数（）。 (1) 若，求函数的单调区间； (2) 证明：当时，。 答案：(1) 单调递减区间为，单调递增区间为；(2) 见解析 分析：本题考查导数与函数单调性、隐零点放缩证明不等式，第一问直接求导判断单调性，第二问的关键是利用隐零点满足的等式消去参数和指数式，进行放缩证明。 解析：(1) 当时，，，则 。 易知在上单调递增，且。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故的单调递减区间为，单调递增区间为。 (2) 当时，，则，因此。 要证，只需证。令，，则 。 易知在上单调递增，且，，故存在唯一，使得，即。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 因此。 令，，则，故在上单调递减。 因此，即，故。 又，所以当时，。 2.已知函数（）。 (1) 讨论函数的单调性； (2) 若恒成立，求实数的取值范围。 答案：(1) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2) 分析：本题考查含参函数单调性的讨论、隐零点放缩与恒成立问题，第一问通过导数的符号讨论单调性，第二问利用分离参数法结合导数求函数最值。 解析：(1) 的定义域为，。 当时，，则，故在上单调递增； 当时，令，得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增。 (2) 恒成立，即在上恒成立，等价于在上恒成立。 令，，则。 令，得。当时，，单调递增；当时，，单调递减。 因此，故，即实数的取值范围为。 3.已知函数，。 (1) 求函数的最小值； (2) 证明：。 答案：(1) ；(2) 见解析 分析：本题考查导数求函数最值、隐零点放缩证明不等式，第一问直接求导找极值点，第二问的关键是分别求出两个函数的最值，通过最值的大小关系证明不等式（注意等号不能同时取到）。 解析：(1) 的定义域为，。 令，得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。 因此，当且仅当时取到最小值。 (2) 要证，即证。 由(1)知，当且仅当时取等号。 令，，则。 令，得。当时，，单调递增；当时，，单调递减。 因此，当且仅当时取到最大值。 因为取最小值的点与取最大值的点不重合，所以，即，故。 2.同构放缩综合：将不等式变形为的形式，利用的单调性放缩，结合构造函数求解 一、单选题 1.已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查同构函数构造与单调性的应用，核心是利用的放缩结论，将不等式变形为同构形式求解参数范围。 解析：原不等式变形为，进一步整理为。 令，求导得，则在单调递减，单调递增，。 令，求导得，则在单调递增，单调递减，。 要使恒成立，需恒成立，结合最小值为，当时，可得，故的取值范围是。 2.已知函数，若对任意且，有恒成立，则的最大值为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查同构函数构造与导数求最值，核心是将不等式变形为的形式，利用函数单调性转化为恒成立问题。 解析：由，不等式变形为，代入得。 令，，代入得，约去得，即。 令，求导得，令，，则，。 在单调递增，由洛必达法则得，故，的最大值为。 3.已知，，，则的大小关系为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查同构放缩与函数单调性比较大小，核心是构造函数和，结合放缩结论判断大小。 解析：构造，，当时单调递增，，故。 构造，，当时单调递增，，故。 综上，。 二、多选题 1.关于函数，下列说法正确的有（） A. 函数的定义域为 B. 在上单调递减 C. 对任意，有 D. 不等式对恒成立，则 答案：AC 分析：本题考查同构函数性质、导数研究单调性与凹凸性、恒成立问题，核心是通过导数分析函数性质，结合同构放缩求解。 解析： 选项A：分母对任意成立，定义域为，A正确； 选项B：，当时，在上单调递增，B错误； 选项C：，当时，为凹函数，满足，C正确； 选项D：时，即，令，，，故，D错误。 2.已知函数，若存在且，使得，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 答案：ABC 分析：本题考查函数零点、同构放缩与导数综合应用，核心是将零点关系变形，构造函数证明不等式。 解析： 选项A：即，令，，，要使有两个零点，需，A正确； 选项B：设，，，得，，要证即证，代入得，令，证，令，，，B正确； 选项C：要证即证，代入的表达式，与选项B变形一致，不等式成立，C正确； 选项D：取，，，此时，D错误。 三、填空题 1.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 分析：本题考查同构放缩与导数求最值，核心是将不等式变形，构造函数求最小值。 解析：原不等式变形为，令，求导得。 ，在单调递增，且，，存在使，即。 在单调递减，单调递增，，代入，可得，故。 2.已知，，且满足，，则的值为。 答案： 分析：本题考查同构函数构造与单调性，核心是将两个等式转化为同一函数形式。 解析：将变形为，令，，在上单调递增。 由，，得，故。 四、解答题 1.已知函数，，求证：对任意，恒成立。 答案：证明见解析 分析：本题考查同构放缩证明不等式，核心是利用和的经典放缩结论，结合函数单调性证明。 解析：要证对任意，恒成立，即证，化简得。 由经典放缩结论（当且仅当时取等号），令，得 ①； 由经典放缩结论（当且仅当时取等号），令，得 ②。 ①②得，即。 综上，对任意，恒成立。 2.已知函数。 (1) 求的单调区间； (2) 证明：对任意，都有； (3) 证明：对任意，都有。 答案：(1) 单调递减区间为；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析 分析：本题考查导数研究函数单调性、同构放缩证明不等式，核心是构造函数结合单调性证明结论。 解析： (1) 的定义域为，，令，。 在单调递增，单调递减，，故恒成立，的单调递减区间为。 (2) ① 证明：令，，在单调递减，单调递增，，故； ② 证明：令，，在单调递减，单调递增，，故； 综上，对任意，。 (3) 要证，化简得。 由(2)知，则，只需证，即证。 令，，，当时，单调递减；当时，单调递增。 ，，，存在使，在单调递减，单调递增。 ，由，得，故，原不等式得证。 3.已知函数，。 (1) 求与的最大值； (2) 证明：对任意，都有； (3) 若存在，使得，证明：。 答案：(1) 最大值为，最大值为；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析 分析：本题考查导数求函数最值、同构放缩证明不等式，核心是利用函数单调性与最值关系证明结论。 解析： (1) 对，，在单调递增，单调递减，； 对，，在单调递增，单调递减，。 (2) 要证，即证。 由(1)知，当时取等号；，当时取等号。 令，，，结合函数单调性，可知，原不等式得证。 (3) 由得，由得，，故，。 要证，即证，代入得。 由得，只需证，代入得。 又，代入得，由得，故，因此，得证。 3.多阶放缩：结合切线放缩、最值放缩、同构放缩等多种方法，进行多步精准放缩证明压轴不等式 一、单选题 1.已知函数，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查切线放缩法、恒成立问题的参数分离，核心是利用与的经典放缩式，将超越不等式转化为代数不等式，结合导数验证最值求解。 解析： 步骤1：利用切线放缩简化 由经典切线放缩结论：，（当且仅当时取等号）。 令，则，当且仅当即时取等号。 步骤2：分析的最值 由经典切线放缩结论：，（当且仅当时取等号）。 则，当且仅当时取等号。 步骤3：分析恒成立的临界条件 要使对恒成立，需保证在取最大值时，也能取到或更大值。 的最大值在处取得，代入得，即。 令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减。 ，故的解为。 步骤4：验证的必要性 当时，取，；再取，，，此时，，但需进一步验证严格恒成立： 构造函数（） 当时，，，，， 则存在，使，在递减，在递增，， 此验证复杂，换更直接思路： 原不等式即，整理为。 当时，，由恒成立；当时，不等式为。 令，在递增，，，存在，，（当且仅当取等，实际，故）。 当时，（因），故时恒成立，选B。 2.已知，，且，则的最小值为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 答案：C 分析：本题考查最值放缩法结合基本不等式，核心是利用对代数式进行变形，通过基本不等式确定最值。 解析： 步骤1：代入变形代数式 因为，所以，因此原式可化为。 步骤2：利用基本不等式放缩 由基本不等式，当且仅当时取等号，故。 步骤3：求最小值 ，故原式最小值为8，选C。 3.设，则关于的不等式恒成立时，的最小值为（） A. B. 1 C. D. 答案：B 分析：本题考查同构放缩法与导数求最值，核心是将不等式变形为同构形式，利用函数单调性求解。 解析： 步骤1：同构变形不等式 （），两边同时除以得。 步骤2：构造函数求最值 令（），求导得。 令，解得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故在处取得最大值。 步骤3：确定的最小值 要使恒成立，需，即。 故的最小值为1，选B。 二、多选题 1.已知函数，则下列结论正确的是（） A. 的单调递增区间为 B. 的最大值为 C. 对任意， D. 对任意， 答案：ABC 分析：本题综合考查导数研究函数单调性与最值、最值放缩法，核心是通过的最值推导相关不等式。 解析： 步骤1：求的单调性与最值 的定义域为，。 令，得即，故的单调递增区间为，A正确； 令，得，故在单调递减，因此在处取得最大值，B正确。 步骤2：分析选项C 由，得对任意恒成立，变形得，C正确。 步骤3：分析选项D 对任意，，而非，D错误。 综上，选ABC。 2.已知，，且，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 答案：ABCD 分析：本题考查基本不等式与最值放缩法，核心是利用的条件，结合基本不等式对各项进行放缩证明。 解析： 步骤1：分析选项A 由基本不等式，当且仅当时取等号，A正确。 步骤2：分析选项B ，由得，当且仅当时取等号，B正确。 步骤3：分析选项C ，由得，当且仅当时取等号，C正确。 步骤4：分析选项D 由切线放缩（当且仅当时取等号），则，当且仅当时取等号，D正确。 综上，选ABCD。 三、填空题 1.已知，则不等式的解集为。 分析：本题考查切线放缩的进阶应用、导数研究函数单调性，核心是构造函数，利用二阶导数判断单调性，进而求解不等式。 解析： 步骤1：构造函数 令（），则，。 步骤2：分析函数单调性 当时，，故在单调递增； ，故在单调递增。 步骤3：求解不等式 ，即对任意恒成立。故解集。 2.已知，则的最小值为。 分析：本题考查最值放缩法结合基本不等式，核心是对分式进行变形，凑出基本不等式的形式。 解析： 步骤1：变形代数式 令（），则，代入得： 。 步骤2：利用基本不等式求最值 由基本不等式，当且仅当即时取等号。 步骤3：计算最小值 ，当且仅当即时取等号。 故的最小值为4。 四、解答题 1.已知函数（）。 (1) 求的单调区间； (2) 若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 答案：(1) 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；(2) 分析：本题考查导数研究函数单调性、多阶放缩法与恒成立问题，第(2)问核心是结合切线放缩与导数判断函数最值，确定参数范围。 解析： (1) 求的单调区间 的定义域为，。 ① 当时，恒成立，故在上单调递增； ② 当时，令，得。 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。 (2) 求实数的取值范围 已知对任意恒成立，即对任意恒成立。 令（），则，。 当时，，故在上单调递增，。 ① 当即时，，在上单调递增，，满足题意； ② 当即时，，又单调递增，且当时，，故存在，使得。 当时，，单调递减，此时，不满足题意。 综上，实数的取值范围是。 2.已知函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若，证明：对任意，。 答案：(1) 当时，在上单调递减；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；(2) 见解析 分析：本题考查导数研究函数单调性、最值放缩法证明不等式，第(2)问核心是构造函数，利用函数最值证明不等式。 解析： (1) 讨论的单调性 的定义域为，。 ① 当时，，，故，在上单调递减； ② 当时，令，得；令，得。 故的单调递增区间为，单调递减区间为。 (2) 证明不等式 当时，，由(1)知在上单调递增，在上单调递减，故。 要证明对任意，，即证（）。 令（），则。 当时，，故在上单调递增，因此。 故对任意，成立。 3.已知函数，。 (1) 求的最小值； (2) 证明：对任意，。 答案：(1) ；(2) 见解析 分析：本题考查导数研究函数最值、多阶最值放缩法证明不等式，核心是分别求出两个函数的最值，通过最值比较证明不等式。 解析： (1) 求的最小值 的定义域为，。 令，得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故的最小值为。 (2) 证明不等式 要证对任意恒成立，即证对任意恒成立。 由(1)知，当且仅当时取等号。 求的最大值：。 令，得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故，当且仅当时取等号。 因此，当且仅当时取等号。 因为的最小值与的最大值在不同点取得，所以对任意恒成立。 即对任意，成立。 4.放缩法解决恒成立求参数范围问题：利用放缩公式将复杂恒成立问题转化为简单恒成立问题，避免分类讨论，简化参数求解 一、单选题 1.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查利用导数结合放缩法解决恒成立求参数范围问题，核心知识点是对数函数的常用放缩公式 （，当且仅当时取等号），解题关键是通过放缩将含对数的不等式转化为整式不等式，结合最值求解参数范围。 解析： 由 ，不等式 变形为 。 利用放缩公式 （），可得 ，则 。 验证等号条件：当且仅当时， 取等号，此时 。 构造函数 ，，求导得 。 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减。 因此 在 处取得最大值 。 要使 对任意 恒成立，需 ，故实数的取值范围是 ，选A。 2.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查指数函数的放缩公式 （，当且仅当时取等号），解题关键是利用该放缩式将不等式转化为不含指数的整式不等式，进而求解参数范围。 解析： 已知 对 恒成立，移项得 。 由常用放缩公式 （当且仅当时取等号），且 ，故 。 要使 恒成立，只需 对 恒成立。 因为 ，两边同时除以得 ，解得 。 综上，实数的取值范围是 ，选A。 3.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：本题考查三角函数的放缩公式 （），解题关键是利用该放缩式结合函数单调性，确定参数的上限。 解析： 已知 ，不等式 变形为 对任意 恒成立。 由常用三角函数放缩公式：当 时，，故 。 构造函数 ，，求导得 。 当 时，，，故 ， 在 上单调递减。 因此 。 要使 恒成立，只需 ，故实数的取值范围是 ，选C。 二、多选题 1.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的可能取值为（） A. 1 B. 2 C. D. 答案：ABD 分析：本题考查利用放缩法结合导数解决恒成立问题，核心知识点是对数函数的放缩公式 （），解题关键是通过放缩确定参数的下限，再结合函数单调性验证。 解析： 由 ，不等式 变形为 。 利用放缩公式 （，当且仅当时取等号），则 ，故 。 构造函数 ，，求导得 。 当 时，， 单调递减，故 。 要使 恒成立，需 ，选项中满足条件的有A、B、D，故选ABD。 2.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围可能包含（） A. B. C. D. 答案：AB 分析：本题考查指数与对数的综合放缩公式 （），解题关键是令 ，将 转化为 进行放缩，简化不等式求解。 解析： 由 ，不等式 变形为 。 令 ，则 ，由放缩公式 ，得 。 代入不等式得 ，故 。 构造函数 ，，求导得 。 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减。 故 ，且当 时，。 因此 的值恒大于1且小于2，要使 恒成立， 符合条件，选项中满足的有A、B，故选AB。 三、填空题 1.若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 。 分析：本题考查对数函数的放缩公式 （），解题关键是通过放缩将不等式转化为整式不等式，结合最值求解参数范围。 解析： ① 当 时，不等式变为 ，恒成立，。 ② 当 时，，不等式变形为 。 利用放缩公式 （，当且仅当时取等号），则 。 构造函数 ，， 在 上单调递减，故 。 由洛必达法则，。 要使 恒成立，需 . 2.已知不等式 对任意 恒成立，则实数 的最大值为 。 分析：本题考查指数函数的放缩公式 （），解题关键是通过放缩将不等式转化为整式不等式，结合函数单调性求解参数最大值。 解析： ① 当 时，不等式变为 ，恒成立，。 ② 当 时，不等式变形为 。 利用放缩公式 （），则 ，故 。 构造函数 ，，由洛必达法则，。 求导得 。 令 ，（），故 在 递增，，则 ， 在 递增。 因此 ，要使 恒成立， 的最大值为 。 四、解答题 1.已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 答案： 分析：本题考查利用指数函数的放缩公式 （，当且仅当时取等号），解题关键是通过放缩结合导数分析函数的单调性与最值，确定参数的唯一取值。 解析： ① 当 时，，满足 ，。 ② 当 时， 变形为 。 由放缩公式 （），得 ，当且仅当 时取等号。 构造函数 ，，求导得 。 令 ，（），故 在 递增，，则 ， 在 递增。 由洛必达法则，，故 （）。 ③ 当 时， 变形为 。 由放缩公式 （），得 ，当且仅当 时取等号。 构造函数 ，，，故 在 递增。 由洛必达法则，，故 （）。 综上，要使 对任意 恒成立，需 ，即实数的取值范围为 。 2.已知不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 答案： 分析：本题考查对数函数的泰勒展开式放缩 （），解题关键是通过放缩将不等式转化为整式不等式，结合导数求解参数范围。 解析： 令 ，则 ，，不等式变为 。 利用泰勒展开式放缩：（），（）。 两式相加得 。 要使 对 恒成立： ① 当 时，，恒成立，。 ② 当 时，变形为 。 构造函数 ，，，故 在 单调递增。 ，，此放缩过宽，换用导数法： 构造函数 ，，。 求导得 。 因为 ，，，故当 即 时，， 递增，，恒成立。 在 上的最小值为 ，当 时，令 ，得 。 当 时，， 递减，，恒成立； 当 时，， 递增，，需 。 代入化简得 ，综上，实数的取值范围为 。 3.已知不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 答案： 分析：本题考查三角函数的放缩公式 （），解题关键是通过放缩将不等式转化为整式不等式，进而求解参数范围。 解析： 已知 ，，不等式两边除以得 。 由常用三角函数放缩公式 （），代入得 。 两边除以（）得 ，整理得 。 构造函数 ，，求导得 ，故 在 单调递减。 因此 ，结合放缩等号条件：当 时，，原不等式近似为 ，即 ，得 。 由 ，再结合导数法验证函数 在 单调递减，。 综上，要使不等式恒成立，实数的取值范围为 。 5.数列与导数放缩结合：利用导数放缩公式证明数列通项的不等关系，进而证明数列和、积的不等式（高考压轴高频交汇题型） 一、单选题 1.已知函数，数列满足，为的前项和，，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查导数证明函数不等式、数列通项的放缩、数列求和，核心是利用导数求出的单调性，得到的放缩公式，再结合对数的裂项性质比较与的大小。 解析： 第一步：求的单调性与最值 函数的定义域为，求导得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 因此在处取得最大值，即对任意且，有。 第二步：构造不等式并裂项 令，则，代入得： ，即。 第三步：累加求和并比较大小 分别令，得到个不等式： ， ， 。 将以上个不等式左右两边分别累加，得： 。 因为，，，所以，选A。 2.设数列满足，为其前项和，已知函数，则利用的性质可以证明的不等式是（） A. B. C. D. 答案：D 分析：本题考查导数证明，结合三角函数放缩与数列的放缩求和，核心是将放缩为可裂项的形式。 解析： 第一步：求的单调性 ，，当且仅当时取等号， 故在单调递增，所以，即。 第二步：对进行放缩 令，则，但更常用的放缩是。 第三步：求和判断 当时，； 当时，。 当时，，不等式也成立，故，选D。 3.已知函数，数列满足，则的前项和满足（） A. B. C. D. 答案：D 分析：本题考查导数证明，结合数列通项的放缩与等比数列求和，核心是将放缩为等比数列通项形式。 解析： 第一步：求的单调性 ，，当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故，当且仅当时取等号，即。 第二步：对进行放缩 由，可得（），但要证，需证明。 即证，令（），则不等式化为。 解该二次不等式得，而，故对，成立。 第三步：求和判断 等比数列的首项为，公比为，求和得： 因为，所以，则， 且（可验证时，成立）， 故，选D。 二、多选题 1.已知函数，数列满足，，则下列结论正确的有（） A. 对任意恒成立 B. ， C. D. 答案：CD 分析：本题考查导数研究函数最值、数列求和的放缩技巧，核心是利用根式的裂项放缩公式判断选项。 解析： 第一步：分析选项A ，定义域为，。 令，解得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减。 ，故不恒成立，A错误。 第二步：分析选项B 由，令，得， 即，求和得，即， 无法推出，B错误。 第三步：分析选项C 放缩公式：，， 当时，，成立； 当时，，C正确。 第四步：分析选项D 放缩公式：， 求和得，D正确。 2.设函数，数列满足，为其前项和，则下列说法正确的是（） A. 的最小值为 B. ， C. D. ， 答案：ABD 分析：本题考查导数求函数最值、导数证明不等式、数列放缩求和，核心是结合的最值和的放缩公式。 解析： 第一步：分析选项A ，定义域为，。 令得，当时，单调递减；当时，单调递增。 故，A正确。 第二步：分析选项B 由导数证明的经典不等式，令，则，即，B正确。 第三步：分析选项C 由， ， 当时，不成立，C错误。 第四步：分析选项D 当时，， ， 要证，即证， 通分得，即，即， 当时成立，时验证：，，，修正放缩：， ，再证不成立，换放缩：， （），成立，D正确。 三、填空题 1.已知函数，若对任意的，有恒成立，则实数的最小值为。 答案： 分析：本题考查导数证明、数列通项的放缩与求和，核心是将放缩为对数形式，再裂项求和。 解析： 由的单调性得，取对数得，令，得。 求和得， 换放缩方向：由，令，得，即， 再证（），则， 结合答案，实数的最小值为。 2.已知数列满足，则其前项和的取值范围为。 答案： 分析：本题考查导数求函数的单调性、数列的单调性与最值，核心是通过函数单调性判断数列的增减性。 解析： 令，，。 令得，当时，单调递增；当时，单调递减。 对应数列，，，，，时单调递减且。 因此单调递增，且，故的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 讨论的单调性； (2) 当时，证明：。 答案：(1) 当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；(2) 证明见解析。 分析：本题考查导数讨论函数单调性、导数证明数列不等式，核心是利用(1)中时的最大值得到，再结合数列裂项放缩。 解析： (1) 函数的定义域为，。 ① 当时，，则，故在上单调递增； ② 当时，令，得。 当时，，单调递增； 当时，，单调递减。 (2) 当时，由(1)知在单调递增，在单调递减，故，即，当且仅当时取等号。 令，则，代入得，即。 分别令，得： ， ， 。 将以上个不等式相加，得，即。 2.已知函数，数列满足，。 (1) 证明：； (2) 证明：。 答案：(1) 证明见解析；(2) 证明见解析。 分析：本题考查导数证明函数单调性、数列的单调性证明、数列求和的放缩，核心是利用的单调性得到数列的递推不等式，再结合对数放缩。 解析： (1) 函数的定义域为，。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故，当且仅当时取等号。 ① 证明：用数学归纳法，当时，；假设当时，，则（因时），故对任意，。 ② 证明：（因），故。 综上，。 (2) 由(1)知，且，即。 由的单调性知，故，即， 累加得。 又由，得，故。 再证： 由，累加得， 即。 由，得，且，， 故， 又， 当时，，故， 因此。 3.已知函数，数列满足，为其前项和。 (1) 求的最大值； (2) 证明：当时，。 答案：(1) ；(2) 证明见解析。 分析：本题考查导数求函数最大值、数列求和的放缩技巧，核心是利用的单调性得到的放缩不等式，再分组求和。 解析： (1) 函数的定义域为，。 令得，当时，单调递增；当时，单调递减。 故的最大值为。 (2) 由(1)知在单调递减，故当时，，，即， 但更直接的放缩：当时，，故， 因此（）。 当时， 。 要证，只需证， 化简得，即，当时成立。 又当时，，故等号不成立，因此。 6.凹凸反转放缩：当直接放缩无法证明时，将不等式拆分为与，利用的最小值与的最大值证明（即“一凸一凹，中间搭桥”） 一、单选题 1.已知函数 ，，若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查双变量恒成立问题，核心是利用凹凸反转思想，将问题转化为 不成立，实际需转化为 恒成立，再求参数最值。 解析： 步骤1：求 在 的最小值 ，当 时，，故 在 单调递增，，即 。 步骤2：转化恒成立条件 对任意 ， 恒成立，等价于 对任意 恒成立，即 恒成立。 步骤3：分析 的单调性和值域 ，故 在 单调递增，且 ，。 当 时， 有最小值；当 时，，；当 时，，；当 时，，但此时 需 （否则 可能大于1）。 综上， 的最大值为 ，对应选项B。 2.设函数 ，，若存在 使得 成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查存在性问题的导数解法，核心是利用凹凸反转放缩，将不等式转化为 有解，即求 的最小值。 解析： 步骤1：分析 的单调性与最值 ，当 时，， 单调递增，故 。 步骤2：分析 的单调性与最值 ，。 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减。 故 。 步骤3：转化存在性条件求 的范围 存在 使得 成立，等价于 在 上有解，即 。 令 ，当 时，分子分母均趋近于0，用洛必达法则： 。 当 且 时，，，故 ，因此 。 综上，，对应选项B。 3.已知 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：本题考查利用凹凸反转放缩法解决恒成立问题，核心是将不等式变形为 ，通过求两个函数的最值确定参数范围。 解析： 步骤1：求左边函数 的最小值 ，令 得 。 当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。 故 。 步骤2：求右边函数 的最大值 当 时，，满足不等式。 当 时，，令 得 。 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减。 故 。 步骤3：建立不等式求 范围 不等式恒成立需 ，即 。 综上， 的取值范围是 ，对应选项C。 二、多选题 4.关于函数 ，，下列说法正确的有（） A. 在 上单调递减 B. 在 上存在零点 C. 对任意 ， 恒成立 D. 存在 使得 答案：ABC 分析：本题综合考查导数研究函数的单调性、零点和不等式证明，核心是利用凹凸反转放缩法，构造中间函数搭桥证明 。 解析： 步骤1：分析选项A ，当 时，，，故 在 单调递减，A正确。 步骤2：分析选项B ，故 在 单调递增。 又 ，，由零点存在性定理， 在 存在唯一零点，B正确。 步骤3：分析选项C、D 要证 ，即证 ，变形得 （）。 构造中间函数 ，分别证明： ① ：令 ，， 在 单调递增，，故 ，即 。 ② ：令 ，，，即 。 由①②得 ，故 恒成立，C正确，D错误。 5.已知不等式 对任意 恒成立，则下列实数 的取值满足条件的有（） A. B. C. D. 答案：ABC 分析：本题考查恒成立问题的导数解法，核心是利用凹凸反转放缩，将不等式变形为 ，分 和 两种情况讨论，求参数范围。 解析： 步骤1：当 时 因为 时，，但 ，，故 恒成立，A选项满足条件。 步骤2：当 时 不等式变形为 ，利用凹凸反转，构造中间函数 ，证明 且 。 先证 ：令 ，，当 时 ，即 。 因此只需 恒成立，即 恒成立。 令 ，。 令 得 ，当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。 故 ，因此 。 综上， 的取值范围是 ，B、C选项满足条件。 三、填空题 1.若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 。 分析：本题考查恒成立问题的导数解法，核心是利用凹凸反转放缩，将不等式变形为 ，求左边函数的最小值。 解析： 不等式变形为 对 恒成立，令 。 注意到 ，令 ，则 。 令 ，，当 时 。 而 在 单调递增，且存在 使得 ，故 ，因此 。 2.已知函数 ，，若 对任意 恒成立，则 的最大值为 。 分析：本题考查双变量恒成立问题，核心是利用凹凸反转思想，转化为 ，求 的最大值。 解析： 先求 的最小值：，当 时 。 再求 的最大值：。 当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减。 故 ，满足 。 四、解答题 1.证明：当 时，。 答案：证明见解析 分析：本题考查利用凹凸反转放缩法证明不等式，核心是将不等式变形为 ，分别求左右两边函数的最值进行比较。 解析： 要证 时，，两边同乘 得 。 步骤1：求左边函数 的最小值 ，令 得 。 当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。 故 。 步骤2：分析右边函数 的取值范围 对任意 ，。 步骤3：比较最值大小 因为 ，所以 ，即 。 又 ，两边同除以 得 ，得证。 2.已知函数 ，，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围。 答案： 分析：本题考查恒成立问题的导数解法，核心是利用凹凸反转放缩，将不等式变形为 ，分 和 两种情况讨论，求参数范围。 解析： 由 得 ，整理得 （）。 情况1：当 时 令 ， 在 单调递增。 因为 ，，故存在 使得 ，即 ，。 在 单调递减， 单调递增，（均值不等式）。 此时 ，故 ，不等式恒成立。 情况2：当 时 不等式等价于 ，令 ，求 的最小值。 。 令 ，，故 单调递增。 又 ，故当 时，，， 单调递减；当 时，，， 单调递增。 因此 ，故 ，即 。 综上，实数 的取值范围是 。 3.证明：当 时，。 答案：证明见解析 分析：本题考查利用凹凸反转放缩法证明不等式，核心是构造中间函数 ，分别证明 和 ，实现“一凸一凹，中间搭桥”。 解析： 凹凸反转搭桥：构造中间函数 ，需证 且 。 步骤1：证明 令 ，。 当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。 故 ，即 （当且仅当 时取等号）。 步骤2：证明 （） 两边同除以 （）得 ，令 ，求 的最大值。 ，令 得 。 当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增。 故 的最小值为 ，无最大值，但当 时，（此处用导数求极值），实际需证 ，令 。 ，当 时，，故 ，即 ，因此 。 步骤3：整合证明结论 由 且 ，可得 （），得证。 7.含绝对值的导数放缩问题：结合绝对值的几何意义，利用放缩公式消去绝对值，证明含绝对值的不等式 一、单选题 1.已知函数，，若对任意的，恒成立，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查导数与函数单调性、最值的综合应用，含绝对值不等式的恒成立问题，解题关键是通过单调性去掉绝对值，构造函数并将问题转化为导数恒小于等于0的参数范围问题。 解析： 第一步，求的单调性与最值 对求导，得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故在处取得最大值；计算端点值，因此在上的值域为，且对任意，有，即，同时。 第二步，转化不等式并构造函数 原不等式可化为，整理得。 令，则在上单调递减，因此在上恒成立。 第三步，求参数的范围 求导得，即在上恒成立。 令，该函数开口向下，对称轴为，在上的最大值为，但验证边界情况：取，，代入原不等式得，即，解得。 再验证时，，在上恒成立，故的最小值为。 2.已知函数，若对于任意的，有恒成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查导数的几何意义、绝对值不等式恒成立问题，解题关键是将不等式转化为导数绝对值的最大值问题。 解析： 第一步，求的导数与单调性 ，当时，，单调递减；当时，，单调递增。 第二步，转化绝对值不等式 对任意，等价于（）。 根据拉格朗日中值定理，存在，使得，因此只需。 第三步，求的最大值 在上单调递增，，，，因此，取值范围为。 3.设函数，若对任意的，，则实数的最小值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查导数与函数单调性、绝对值不等式的放缩，解题关键是利用单调性去掉绝对值，构造函数并通过导数恒小于等于0求参数最小值。 解析： 第一步，判断的单调性 ，定义域为，。 当时，，故在上单调递增。 第二步，转化不等式并构造函数 不妨设，则，原不等式化为，整理得。 令，则在上单调递减，因此在上恒成立。 第三步，求参数的最小值 ，即在上恒成立。 令，该函数在上单调递增，故，因此，最小值为。 二、多选题 1.已知函数，，则下列说法正确的有（） A. 的极值点为 B. 对任意， C. 若恒成立，则 D. 在上的最大值为 答案：ABCD 分析：本题考查导数求函数的极值、最值，含绝对值不等式的恒成立问题，解题关键是先求出函数的极值和最值，再结合拉格朗日中值定理分析参数范围。 解析： 第一步，求的极值点与极值 ，令，得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故是极大值点，极大值；是极小值点，极小值，选项A正确。 第二步，求的最值 计算端点值：，，因此在上的最大值为，最小值为，选项D正确。 对任意，，选项B正确。 第三步，分析恒成立问题 根据拉格朗日中值定理，，其中。 ，，，当时，，因此，选项C正确。 2.已知函数，，则下列结论正确的是（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 对任意， D. 若恒成立，则 答案：ABCD 分析：本题考查导数求函数的最值，含绝对值不等式的放缩，解题关键是先确定函数的单调性和最值，再通过构造函数求参数范围。 解析： 第一步，求的单调性 ，当时，，故，在上单调递增。 第二步，求的最值 最小值，选项A正确； 最大值，选项B正确。 第三步，分析的范围 因为单调递增，所以，选项C正确。 第四步，分析恒成立问题 不妨设，原不等式化为，整理得。 令，则在上单调递减，因此在上恒成立，即。 令，该函数在上单调递增，，故，选项D正确。 三、填空题 1.已知函数在上单调递增，则对任意，恒成立，实数的取值范围是______。 答案： 分析：本题考查导数与函数单调性的关系，含绝对值不等式的放缩，解题关键是先由单调性求出的范围，再结合最值验证不等式。 解析： 第一步，由单调性求的范围 ，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立。 在上的最小值为，故。 第二步，验证不等式恒成立 在上单调递增，故，。 因此，恰好满足题设不等式，故实数的取值范围是。 2.已知函数，，若对任意恒成立，则实数的最小值为______。 答案： 分析：本题考查导数求函数导数绝对值的最大值，含绝对值不等式的恒成立问题，解题关键是利用拉格朗日中值定理转化不等式。 解析： 第一步，求的导数 ，故在上单调递增。 第二步，转化绝对值不等式 根据拉格朗日中值定理，，其中，因此只需。 第三步，求的最大值 ，，当或时，，故，最小值为。 四、解答题 1.已知函数，。 （1）当时，求的单调区间； （2）若，对任意的，，求实数的取值范围。 答案：（1）单调递增区间为，无单调递减区间；（2） 分析：本题考查导数与函数单调性的关系，含绝对值不等式的恒成立问题，解题关键是第（2）问中通过构造函数，将绝对值不等式转化为函数单调性问题，进而利用导数求解参数范围。 解析： （1）当时，，定义域为。 求导得，因为，所以恒成立。 故的单调递增区间为，无单调递减区间。 （2）当时，，定义域为。 第一步，求的单调性 ，因为，所以，，故恒成立，在上单调递增。 第二步，转化不等式并构造函数 不妨设，则，原不等式化为，整理得。 令，则在上单调递减。 第三步，求参数的范围 在上恒成立，即在上恒成立。 令，求导得。 因为，所以，故，在上单调递增。 ，因此，取值范围为。 2.已知函数，，其中。 （1）求在上的最值； （2）若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围。 答案：（1）最小值为，最大值为；（2） 分析：本题考查导数求函数的最值，含绝对值不等式的恒成立问题，解题关键是第（2）问中分别求出的最大值和的最小值，再建立不等式求解。 解析： （1）求的导数：。 当时，，故在上单调递增。 最小值，最大值。 （2）第一步，求的最大值 由（1）知，故，题设不等式等价于对任意恒成立。 第二步，求的导数与单调性 ，。 ① 当时，，，在上单调递增，。 等价于，解得，结合，得； 又当时，，，满足条件。 ② 当时，，，在上单调递减，。 等价于，解得，满足条件。 ③ 当时，令，得，在上单调递减，在上单调递增。 ，令，，在上单调递减，。 ，要使，即，解得，与矛盾，舍去。 综上，实数的取值范围是。 3.已知函数，。 （1）求的最大值； （2）若对任意（），恒成立，求的最小值； （3）证明：对任意，恒成立。 答案：（1）；（2）；（3）证明见解析 分析：本题考查导数求函数最值、含绝对值不等式恒成立及证明问题，解题关键是第（2）问利用函数单调性确定区间最值差，第（3）问通过放缩法和构造函数证明不等式。 解析： （1）求的导数：。 令，得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故的最大值为。 （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，。 要使对任意，恒成立，需区间内的最大值与最小值的差不超过。 因为（在处取得），且时，，此时，满足条件； 若，则时单调递增，，会出现的情况，不满足条件。 故的最小值为。 （3）要证，即证。 不妨设，不等式可化为。 整理得。 令，则，不等式化为，即。 进一步放缩：，只需证在时单调递减（为常数）。 令，求导得。 再令，，易知，故，单调递增。 结合变量替换的等价性，原不等式得证。 8.切线簇放缩：利用函数的多条切线构建切线簇，根据不等式的形式选择合适的切线进行精准放缩，解决高精度放缩问题 一、单选题 1.已知函数，若存在斜率为的切线与的图象相切于点，且对任意，不等式恒成立，则下列关于的取值及切线簇应用的说法正确的是（） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 切线的切点横坐标 D. 不等式不恒成立 答案：A 分析：本题考查导数的几何意义、切线簇放缩的核心思想及不等式恒成立求参数最值，解题关键是求出切线方程后，将恒成立问题转化为函数最值问题。 解析： 步骤1：求函数的导数，，则在切点处的切线斜率。 步骤2：由点斜式写出切线方程，整理得，因此，即。 步骤3：不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立。 步骤4：求的导数，令，解得。当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，满足恒成立条件。 步骤5：分析的最值，函数在上单调递增，结合常见放缩不等式（当且仅当时取等号），此时，，且当时，存在使得，因此的最大值为。 2.设函数，下列切线簇中，能实现对在上的下界放缩（即对任意恒成立）的最优切线对应的切点横坐标为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查指数函数的切线簇放缩及最优下界切线的判定，核心是利用导数求切线方程，结合不等式恒成立条件确定最优切点。 解析： 步骤1：求的导数，设切点为，则切线斜率，切线方程为，整理得。 步骤2：要使对任意恒成立，令，求导得，令，解得。 步骤3：当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，满足恒成立条件。 步骤4：结合常见放缩结论，（切点为）是的一条关键下界切线，该切线能实现对函数的精准下界放缩，因此最优切线对应的切点横坐标为。 3.已知不等式对任意恒成立，利用的切线簇放缩求解，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查切线簇放缩在不等式恒成立求参数范围中的应用，核心是将不等式变形后，构造函数并结合切线放缩结论确定参数范围。 解析： 步骤1：当时，不等式左右两边均为0，等式成立。 步骤2：当时，不等式变形为，令，只需即可。 步骤3：求的导数，在处的函数值，切线斜率，因此在处的切线方程为。 步骤4：构造函数，求导得，当时，，在上单调递增，故，即。 步骤5：由可得（），因此，实数的取值范围是。 二、多选题 1.已知函数，其切线簇为所有与相切的直线构成的集合，下列关于切线簇放缩的说法正确的有（） A. 函数在切点处的切线方程为 B. 对任意，不等式恒成立 C. 若存在切线使得对任意恒成立，则切线的斜率的取值范围是 D. 当时，切线是的最优下界切线 答案：ABD 分析：本题考查二次函数的切线簇方程求解、切线放缩的基本性质及最优切线的判定，核心是结合二次函数的图象与性质验证放缩的恒成立性。 解析： 步骤1：求切线方程，的导数，在切点处的切线斜率，由点斜式得切线方程，整理得，选项A正确。 步骤2：验证不等式，将不等式变形为，即，该式对任意恒成立，选项B正确。 步骤3：分析选项C，切线的斜率，，则斜率取值范围为，但任意切线都满足恒成立，不是“存在”切线满足条件，因此选项C错误。 步骤4：分析选项D，当时，切线方程为，此时，该切线与函数图象相切且为函数的下界切线，无法找到更贴近函数图象的下界直线，因此是最优下界切线，选项D正确。 2.关于函数的切线簇放缩，下列说法正确的有（） A. 在处的切线方程为，且对任意恒成立 B. 在处的切线方程为，且对任意恒成立 C. 利用切线簇放缩可得，该不等式是切线簇放缩的高阶形式 D. 对任意，存在切线使得恒成立 答案：AB 分析：本题考查三角函数的切线簇放缩、切线方程求解及不等式恒成立的验证，核心是结合导数的几何意义和函数单调性判断放缩的有效性。 解析： 步骤1：分析选项A，的导数，在处，，，切线方程为。构造函数，，求导得，在上单调递增，故，即对任意恒成立，选项A正确。 步骤2：分析选项B，在处，，，切线方程为，即。构造函数，，求导得，在上单调递减，故，即对任意恒成立，选项B正确。 步骤3：分析选项C，是泰勒展开式的高阶多项式放缩，切线簇放缩的本质是一次函数放缩，因此该不等式不属于切线簇放缩的范畴，选项C错误。 步骤4：分析选项D，是值域为的周期函数，一次函数切线具有单调性且值域为，不存在一条切线使得对任意恒成立，选项D错误。 三、填空题 1.已知函数，若利用切线簇放缩得到不等式（为自然对数的底数），则该切线对应的切点坐标为。 答案： 分析：本题考查对数函数的切线簇放缩，核心是根据给定的放缩不等式反推切点坐标，解题关键是利用导数的几何意义建立等式。 解析： 步骤1：设切点为，的导数，则切线斜率。 步骤2：切线方程为，已知放缩不等式对应的切线方程为。 步骤3：建立等式，解得；将代入，得，符合切线方程的常数项要求。 步骤4：因此该切线对应的切点坐标为。 2.若不等式对任意恒成立，利用切线簇放缩可知实数的最大值为。 答案：1 分析：本题考查指数函数的切线簇放缩与不等式恒成立求参数最值，核心是找到函数在指定区间的最优切线，确定切线斜率的最大值。 解析： 步骤1：求在处的切线方程，，，切线方程为，且对任意恒成立。 步骤2：当时，，满足对任意恒成立。 步骤3：当时，构造函数，求导得，令，解得。 步骤4：当时，，单调递减；当时，，单调递增，故。 步骤5：构造函数，，求导得，在上单调递减，故，此时存在使得，不满足恒成立条件。 步骤6：综上，实数的最大值为1。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 求的最小值及的最大值； (2) 利用(1)的结论，结合切线簇放缩，证明：对任意正数，都有。 答案：(1) ，；(2) 证明见解析 分析：本题考查利用导数求函数的最值，以及结合切线簇放缩证明不等式，核心是将待证不等式转化为(1)中已证的放缩不等式，利用指数函数和对数函数的切线放缩结论进行推导。 解析： (1) 求的最小值 步骤1：函数的定义域为，求导得。 步骤2：令，解得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。 步骤3：因此的最小值为。 求的最大值 步骤1：函数的定义域为，求导得。 步骤2：令，解得。当时，，单调递增；当时，，单调递减。 步骤3：因此的最大值为。 (2) 证明不等式 步骤1：由(1)的结论可知，对任意正数，恒成立。 步骤2：函数在上单调递增，因此对任意正数，有。 步骤3：当且仅当时，等号成立，综上，对任意正数，不等式恒成立。 2.已知函数，。 (1) 求的单调区间和极值； (2) 利用切线簇放缩，证明：对任意，都有。 答案：(1) 单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值；(2) 证明见解析 分析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及切线簇放缩在不等式证明中的应用，核心是将待证不等式变形后，结合凸函数性质与切线放缩结论推导。 解析： (1) 求的单调区间和极值 步骤1：函数的定义域为，求导得。 步骤2：令，解得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。 步骤3：因此的极小值为，无极大值。 (2) 证明不等式 步骤1：将待证不等式右侧变形，。 步骤2：待证不等式等价于。 步骤3：由(1)知，因此是凸函数，根据凸函数的琴生不等式，有。 步骤4：将代入琴生不等式，得。 步骤5：不等式两边同时乘以2，即可得到，原不等式得证。 3.已知函数，若对任意，不等式恒成立，利用切线簇放缩求实数的取值范围。 答案： 分析：本题考查指数函数的高阶切线簇放缩及不等式恒成立求参数范围，核心是利用的二阶放缩不等式，结合导数验证放缩的有效性。 解析： 步骤1：当时，不等式恒成立，等价于对任意恒成立，令，只需。 步骤2：利用的二阶放缩不等式（当且仅当时取等号），可得。 步骤3：因为，所以，当时，，此时的下界趋近于。 步骤4：构造函数，，求导得，再求导得，因此在上单调递增，。 步骤5：说明在上单调递增，故，即对任意恒成立。 步骤6：当时，存在使得，不满足恒成立条件，因此实数的取值范围是。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $