专题6.4 数列之证明-归纳法与数列放缩 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列证明与放缩核心考点，涵盖数学归纳法、裂项拆项、函数放缩等高考高频内容，按“证明方法—放缩技巧—综合应用”逻辑架构梳理知识联系。通过考点系统梳理、典型例题精讲、分层随堂演练的教学流程，帮助学生构建解题框架，突破数列不等式证明难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出高考实战导向，创新采用“方法建模—技巧迁移—能力提升”教学模式。通过规范数学归纳法步骤培养逻辑推理（数学思维），总结裂项放缩通式提升数学表达（数学语言），设置基础到综合的梯度练习配合即时反馈。助力学生在有限时间内掌握核心方法，为教师精准把控复习节奏提供支撑，有效提升学生数列综合题应考能力。

6.4数列之证明-归纳法与数列放缩 6.4.1数列证明-数学归纳法 知识点梳理 1.数学归纳方法使用范围：关于正整数n的命题（例如数列、不等式、整除问题等）， 可以考虑使用数学归纳法进行证明. 2.第一数学归纳法：假设当n=k时命题成立，在结合其他条件证明当n=k+1时命题也 成立即可.证明的步骤如下： （1)归纳验证：验证当n=n(n是满足条件的最小整数)时，命题成立； (2)归纳假设：假设当n=k或n≤k(k≥，n∈N)时命题成立，证明当n=k+1时， 命题也成立； (3)归纳结论：得到结论当n≥n,n∈N时，命题均成立. 典型例题 例1.证明：1-专+青-音+…十品-会=十十…+会 证明：①当n=1时，左边=1-青=，右边=号，左边=右边 ②假设当n=k时命题成立，即1-+号一青+十x之一录=k行十中2十+家 ③那么当n=k+1时， 左边=-1-+情青+…十之宗十本2+2 =(中十中2++泰)+x中-x+2 =+2十中十叶++（中-中2）=+2十中十叶+十2 右边=中2十中十十水十2 左边=右边，由此可得n=k+1时该式也成立 综上可得：1-+情一++点一京中+2十+会恒成立 例2.已知数列{an}的首项a1=,且=(an十斋)，neN,证明：0<an<1. 证明：①当n=1时，0<a1<1显然成立： ②假设当n=k(k∈N)时不等式成立，即0<ak<1; ③当n=k+1时，=(k+章)>1， 所以0<ak+1<1,即n=k+1时不等式也成立. 综合①②③可知，0<an<1对任意n∈N成立. 随堂演练 1.若各项均为正数的数列{xn}对一切n∈N均满足xn+<2,证明：n>1-责. 证明：①当n=1时，xn>0显然成立； ②假设当n=k(k∈N)时不等式成立，即xk>1-卡： ®当n=k十1时，+1>六>2白=府=1-克，即=k+1时不等式也成 1 立 综合①②③可知，对一切n∈N均满足，xn>1-言， 2.已知公比q大于1的等比数列{an}满足a2十a4=10,a3=4. (1)求数列{an}的通项公式. （2)若数列b}各项均大于1，证明：+1型≤n b1bg…ba+1 解：(1)因为a2十a4=10,a3=4,所以：青+4q=10, 解得：q=2或q=(舍去)又a3=4,所以an=2-1 (2)要证明 +b+o-+≤an b bab+1 只需证明：(1+b)(1+b…(1+b)≤2n-1b1b2bn+1) 下面用数学归纳法证明. ①当n=1时，左边=1b1右边=b1+1,左边=右边： 当n=2时，(1b)(1b)-2(b1b2+1)=-b1-1)Cb2-1)<0.所以n=1,2时，不等 式成立 ②假设当n=k(k≥2，k∈N时，(1+b)(1b…(1+b)≤2k-1bb2…bk+1)成立 ③当n=k+1时，(1b1)(1b…(1+bk+≤2k-bb2bk+1)(1+bk+)(*) 因 为 2k-1bb2bk+1)(1+bk+)-2bb2bbk+1+1)=-2k-bb2bk-1)bk+1-1)<0 所以2k-1bb2…bk+1)(1+bk+)<2kbb2bkbk+1+1) 综合(*)式可得(1+b)(1+b…(1+bk+)<2bb2bkbk+1十1) 成立，所以，当n=k+1时，不等式成立 综上可知L+地21≤对任意的nEN恒成立 bbab+1 3.已知数列{an},1=2,+1=(2-(an十2 (1)求数列{an}的通项公式. (2)在数列b}中，b,=2,bt1=,证明：反<bn≤4n-3 3b+4 解：()利用一阶递推待定系数并构造等比数列，可求得 an-V2[(W2-1)+1] (2)要证V5<bn-3,即证：0<b-V2≤a4n-3V2 下面用数学归纳法证明 ①当n=1时，因为V2<2,b1=a1=2,所以V2<b1≤a1,结论成立 ②假设当n=k(kEN)时，结论成立，V2<b4k-3”即： 0<bkV5≤a4k-3E ③当n=k+1时b+15-2持反_但-220-区0 2+3 45≤55--且+3-25 所地+15-8-209DE8-255-4-3 ≤26W2-1)W-1)-3≤262-14+1-a4+1-反 故当n=k+1时，结论也成立 综上可知，对任意的nEN,都有反<bnn-3 4.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,a#2=aH1十an(n∈N),证明：数列{an}的 第4m+1项(m∈N)能被3整除， 证明：用数学归纳法证明， ①当m=1时，a4+1=a5=a4+a=(a3+a2+(a2+a=a2+a1+a2+a2十a1=3, 能被3整除。 ②假设当m=kk∈N)时，a4k+1能被3整除. 当 m=k+1 时 a4k+1+1=a4k+5=a4k+4十a4k+3=a4k+3十a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2十a4k+1十a4k+2+a4k+2+a4k+1 由于假设了a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2十2a4k+1能被3 整除，因此，当m=k+1时，a4k+1+1也能被3整除。 综上可知，对一切m∈N,数列(a中的第4m+1项能被3整除. 5.设数列{an}满足a1=3,aH1=3an-4n,计算a2a3,猜想{an}的通项公式并 加以证明. 解：由a1=3,an+1=3an-4n,a2=3a1-4=5,a3=3a2-4×2=7, 猜想{an}的通项公式为an=2n+1 证明如下：（数学归纳法）①当n=1,2,3时，显然成立 ②假设n=k时，即ak=2k+1成立，其中(kEN), 由ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1 故假设成立，综上①②所以an=2n+1(n∈N 6.4.2数列放缩-裂项和拆项 知识点梳理 1对于通项公式已经给出（或容易直接求出）的数列不等式问题，我们通常需要对通项 进行适当放缩或变形，在进行求和与转化 2.常用的放缩、裂项和拆项的结论： 1)<六京，<点（点时），点<高=2（点点）： 或品=泰<点=2（点一品）或2计m叶-<×中=号（结动） （2点<a西=可t]a≥2 （3)-品-六a≥2) 2 2 0吉6a-26). 去6m时-5(2a+i2n-i) (5)n中十n2十n十+会≤十n十+n=<1, 或十n十十+宏≥去+六十十贵=器= (6)指数型：ab≤a-a-西a>b≥1)，a≤x-西(ab≥1) (7) h+-5<1<+-6-h 2 (8》店Vaxh oa-1h-2(点-言)a≥2)， aaxte Ca+而1h1+h点： 2 n左axaa+而a+时a-++h可-2(h京南】 典型例题 例1.等差数列(an}各项均为正数，a1=3,前n项和为S等比数列{b}中，b1=1, 且b2S2=64,b3S3=960. (1)求an与bn (2)证明安++十发<是。 b2S2=q(6+d)=64 解：4)设公差为d(d>0),公比为q,则：{bSg-q2(9+3d)=960 [d=2 /d=- 解得：(q=8 (舍去) 则an=3+2(m-1)=2n+1,b=8-1 2由(1)得an=2+1,则：Sn=3n+×2=n(m+2) 则：克中寺（贵-中） 则：京+++=[(1-青)+(3-)+（侍-）++（点-）+（信-）] =(1+-中2)=(3-n-)<×- 例2.若m≥2且n心，证明不等式：5-品<方+京+…+赤<2 证明：-方面，忘-本i-而<而=2（六去）. 累加可得：存+存+…+忘<2 芳-方面，忘击r而>o可2（宏点）】 累加可得：巨-品<方+存+…+宏 综上可得：5-品<市+言++症<3 随堂演练 1.记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,{受}是公差为的等差数列， (1)求an的通项公式： (2)证明：完+高十…十毫<2. 解：(1)：a1=1…1=1=1,=1 又：{爱}是公差为青的等差数列， ÷爱=1+m-1)=時，+2 3 :当n≥2时，S-1= (+1月- 3 an-Sn-Sn1-( 3 整理得（血-1）an=(+1)an-即忌- an=a×经×是×××是=1×星××x×- 显然对于n=1也成立，a}的通项公式an- 2 (2)安-m=2(台) ∴毫+定++=2[(1-)+(-)++(-)]=2(1-)<2. 2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1 (1)证明{an十}是等比数列，并求{an}的通项公式， (2)证明：完+完+…十完< 解：(1)证明：由an+1=3an+1得an+1+号=3(an+号)， 所以时-3，所以{}是等北数列，首项为1+片-公比为3. 所以an十方-3n-1,解得an= (2)由（①知：m=号，所以品=子， 因为当n≥1时，3”-1≥23n-1,所以31≤2， 于是+墙+叶≤1+号+十克=(1寺)<， 所以斋+境十…十坛< 3.正项数列an的前n项和Sn满足：S品-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0 (1)求数列an的通项公式an, (2)令haa,数列b,的前n项和T证明对于任意的nE,都Tn<品 解：(1)由S品-(m24n-1)Sm-(n2+n)=0,得[Sm-(m2+n)](Sm+1)=0 由于{an}是正项数列，所以Sn>0,S=n2+n 于是a1=S1=2,当n≥2时，an=S-Sa-1=n2+n-(m-1)2-(m-1)=2n 综上，数列{an}的通项公式为an=2n (②)证明时-2，：☆京守] 红品[1京炉+培吉++高惊-]=[1+垃字]小疏(1+字) 即对任意的nEN都有Tn<高 4证明：1++青+…十>号， 证明：1+号+号+十之 =1++(信+)++(+十++++字)-字 >1++(录+)+…+（学++++净）- =1+号+情十…+片一=号+1->号 5.在数列a中，已知=六+克，a1=4, (1)求数列an}的通项公式an (2)若bn=an2-an'Sn为bn的前n项和，证明：12≤Sn≤15. 解：(1)由=六+圪，得-1=（金-1）， 由a1=4得击-1=-， :数列{品-1}是首项为一寻，公比为专的等比数列， 毫-1=（安-1）()1=（)1 20+1 即an一2+13 2证明-（熟）月-品 81s电4器7>0， 故Sn是关于n的递增数列， Sn2S1-b1=a1-a1=12, 当定2时b暖-a可说可 32+1 32 32 可-3（之）】月 做Sab:+地2+t<12+3(六克写+六写+…十克写写） -12+3(123)<15. 综上，12≤Sn<15. 6.已知数列{an}是各项都为正数的数列，Sn为其前n项和，且a1=1,Sn=an十) (1)求数列an的通项公式an (2)证明：忘+司+…+a.<21-) 1 解：(1)由=云+支，得石-1=（完-1）， 由1=4，得卖-1=-， ·数列{会一1}是首项为一星，公比为分的等比数列， 宗-1=（宗-1）()1=-()1 21 即an=3 2证：=（品）六示 8+s中+>0， 故Sn是关于n的递增数列 Sn2S1b1=a1-a1=12, 当k之2脚，-<號可 32*1 3少 --3(） 32 故smbb2++bn<12+3(克克+克+十安) =12+3(1-是3)<15， 综上：12≤Sm<15 6.4.3数列不等式-函数放缩法 知识点梳理 1.分式型函数的放缩： 分式型不等式：斜珊>(a>b>0,m>0).因为函数f(x)=(a>b>0,x>0) 为增函数，所以上述不等式成立，此不等式也叫糖水不等式. 2.三角函数型的放缩：sinx<x<tanx(x∈(0，) 3.指数、对数型函数的放缩： x之lnx+1,e2x+1,1-克≤1nxs-1,l1nx≤(x-)6x≥1)，lnx≤k-专(x≥1) 等常见函数的放缩。 典型例题 例1.已知数列an满足a1=手，a*14=器(aEN (1)证明：{立}是等差数列，并求出(a山的通项公式： (2)证明：a1a23…an<产 证明：（①油1=号，可得：n1-1=是 所以，户=之-2。 因为1=司，即÷=一3，所以{之}是以一3为首项，一2为公差的等差数列.6.4数列之证明-归纳法与数列放缩 6.4.1数列证明-数学归纳法 知迟点梳理 1.数学归纳方法使用范围：关于正整数n的命题（例如数列、不等式、整除问题 等)，可以考虑使用数学归纳法进行证明. 2.第一数学归纳法：假设当=k时命题成立，在结合其他条件证明当n=k+1时命题也 成立即可.证明的步骤如下： (1)归纳验证：验证当n=n。(n是满足条件的最小整数)时，命题成立： (2)归纳假设：假设当n=k或n≤k(②n,n∈N)时命题成立，证明当n=k+1时，命 题也成立： (3)归纳结论：得到结论当≥n,n∈N时，命题均成立. 典型例题 例1.证明：1-+号t+,1-1+1++1 234 2n-12nn+1n+2'2n 例2卫知或列a的首则，=分且。=a,+.nN,证明：0<a<1 an+12 a 随堂演练 1.若各项均为正数的数列x对一切nN产均满足x,+,1<2,证明：X,>1-1 Xn+l n 2.己知公比q大于1的等比数列an满足a2+a4=10,a3=4 (1)求数列an的通项公式. (2)若数列bn各项均大于1，证明： （1+b,1+b,）-1+bl≤0n b1b2…bn+1 3.已知数列an,a1=2,an+1=(2-1)(an+2). (1)求数列an的通项公式. _3bn+4 （2)在数列b,中，b,=2,b1=2b,+3证明：2<b,≤a- 4.已知数列an满足a1=0,a2=1,an+2=an+1+ann∈N*,证明：数列an的第4m+1项 (m∈N*)能被3整除. 5.设数列an满足a1=3,Qn+1=3an-4n,计算a2,a3,猜想an的通项公式并加以证明. 6.4.2数列放缩-裂项和拆项 知迟点梳理 1.对于通项公式已经给出（或容易直接求出）的数列不等式问题，我们通常需要对通 项进行适当放缩或变形，在进行求和与转化. 2.常用的放缩、裂项和拆项的结论： (1) h站 1-4,<4，=2日，1或 n24n24n2-12n-12n+1 eny ansnet4 1 (2)11 111 n3n(n+1n-可)2n(n-)n(n+)(a≥2)， 2 3 2” -11 (2"-1)(2°-10(2”-2)21-12-1(m≥2) 、12 2 (4)nn+nn+n ==2(n-n-1), 12 2 nn+n ==2(2n+1-2n-1) a1 2nn+1n+1tn+1n+11, 或2+1。+1。++1≥1+1++1-n-1 n+1n+2n+32n-2n2n2n2n2 (6)指数型： 11 1 a"-b"-a"-(a-b) (a>b≥1)，1， a"-ba-1(a-b -(a>b≥1). .1 (7)n+1-n1 加n- 2 4n 2 2 8i。号n×aa80nn1r0026a2 (8) 2 1_2 2 -11 nn Vnx n(n+n)n+1Vn-1(Vn+1+Vn-1)Vn-1 Vn+i 12 /1 1 nnn×Vn(n+n) 1 n2n+2 典型例题 例1.等差数列{an}各项购为正数3n前项为.等比数列b中店1b盛2=64 b3S3=960 (1)求an与bn 期及+日++日<是 (2)证明5+s,…S。4 例2若2且不降动，2写品夜疗十 随堂演练 1.记Sn为数列an}的前n项和，已知a1=1, 是公差为的等差数列， an (1)求{an}的通项公式； (2)证明： 1+1+…+1<2. a a2 2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1. (1)证明(a,+》是等比数列，并求(a,的通项公式 ++ (2)证明：a1*a2a。2 3.正项数列{an}的前n项和Sn满足：S-(n+n-1)Sn-(n+n)=0. (1)求数列小{an的通项公式an (2)令b,=n+1 (n+2)Pa,数列b.的前n项和T,证明：对于任意的n∈N,都有 明1+分行号 11 5.在数列小{an}中，已知 1=1+ +120,+2,a1=4. (1)求数列{an的通项公式an: (2)若bn=a,2-an,Sn为bn的前n项和，证明：12≤Sn≤15. 6已知数列a,是各项都为正数的数列，S,为其前n项和，且a,=1,5,=a,+ 0 (1)求数列{an的通项公式a: 1,1 1c<21-1). (2)证明：25，+3S+m+(n+1)Sn21S+1 -十…十 6.4.3数列不等式-函数放缩法 知迟点梳理 1.分式型函数的放缩： 分式型不等式： b+m>2(a>b>0,m>0).因为函数f(x)=b+X(a>b>0,x>0)为 a+m a a+X 增函数，所以上述不等式成立，此不等式也叫糖水不等式. 2.三角函数型的放缩：sinx<x<tanx(x∈(0，》 3.指数、对数型函数的放缩： x≥lnx+1, e≥x+1,1-1≤lnx≤x-1, x引x (x21), x<X-(x≥1)等常见函数的放缩. 典型例题 =an-2 圆已如数列刎a9满Q专，QF20,3 -(n∈N*). 1 (1)证明： an-1 是等差数列，并求出Man}的通项公式； (2)证明：a1a24,an+1 例2.已知商数(a,小满是a,=克a=sn经0，(neN )证明：}子a,<01<1 (2)设5，是数列小(a.}前n项和，证明：S,>n-3 例3已知正项数列a,o=1,an=na,+1.n∈N证明 (1)Qn+1<a (2)an-2an+i<an'antli 1 (3) 2-1 随堂演练一 1.已知数列an满足：a1=1,an+1=ln(1+a,)(n∈N*),数列 的前项和为n,证明： (1)an>0(n∈N*); (2)an+1≤ 3a(neN方 an+3 (3)n't5nsTsn'tsn(nEN). 6 4