第8讲 导数应用：分类、分离、分析、构造、放缩、隐零点讲义-2026届高三数学一轮复习

第8讲 导数应用 分离、分析、分类、构造、二次、三次、放缩、隐零点 2026年新高考中，大题导数设置3问，分值17分；小题设置1小问，分值5分。合计23分。第1问求切线、单调性、极值；第2、3问涉及利用导数证明不等式、求参数范围、求零点个数。注意：可与数列、三角函数结合。 知识核心 【一】恒成立与能成立 ①，则只需要； ，则只需要 ②，则只需要； ，则只需要 【二】求导公式 若，则 0； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 【三】导数运算法则 ； ； 【四】三次函数的三个零点分别为，则韦达定理： ●（1）； （2）； （3） ●对称中心：，对称中心横坐标是的解。 ●穿针引线法-奇穿偶回求解高次不等式步骤： （1）因式分解：化为若干个因式乘积，且各因式中未知数的系数均为正； （2）标根：求不等式对应的整式方程的根， 并在数轴上标出这些根； （3）从数轴的右上方开始，按照“奇穿偶回”的原则穿线； （4）数轴上方是大于零的解集，数轴下方是小于零的解集。 【训练1】求解； 解：该不等式对应的整式方程的根为，其中对应的次数均为奇数，对应的次数为偶数；将根标在数轴上，且利用“奇穿偶回”法穿线，得： 原不等式的符号为，故应取数轴上方的区间；原不等式的解集为：. 【训练2】（2024·陕西西安）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以当或时， 即在，上单增，在上单减， 根据题意可得，即，解得.故选：A 【五】零点：使的实数叫做函数的零点 ●几个等价关系： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 ●函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得。 【训练1】求函数的零点个数。 解：根据函数在上是增函数，将和分别代入，得，，即，所以函数有唯一零点，且在内． 【训练2】已知函数，若函数有个零点，则求实数的取值范围。 解：的根有个，进而转化为，的交点有个．画出函数的图象，则直线与其有个公共点．又抛物线顶点为，由图可知实数的取值范围是． 分离参数+数形结合/图像法 【六】构造：同构、作差构造 （1）与和相关的常见同构模型 ①， 构造：或 ②， 构造：或 ③， 构造：或 （2）构造可积、可商函数，是证明不等式的一种思路 序号 条件 构造函数 条件 构造函数 1 2 3 【训练1】（24-25福建）若奇函数在上可导，当时，满足，证明： 【详解】构造，，所以在单增；所以 【训练2】（24-25江西赣州）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，证明 令，则，则在上递增， 是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数，且，则在R上单增，，即. 【训练3】（24-25四川宜宾）已知函数在上可导，且，若成立，求的取值范围 【详解】构造函数因为，即，所以函数在上单减.可变形为，即，即. 【训练4】（2024·全国）已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则．因为，所以，是R上的增函数，因为，所以，即，即．选C． 【训练5】（2024·河南信阳·一模）已知函数对均满足，其中是的导数，证明 【详解】，令，求导得：， 当时，当时，因此函数在上递增，在上递减， ，则，即 【训练6】（2024·云南·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【详解】设，，在上单减， ，即，得，故答案为：． 【七】常见放缩：小题比大小、大题证明不等式的一种思路 ， ， 【训练1】（2022·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 因为所以，即 因为， 所以，即；综上所述：，故选：C 【训练2】（2024·宁夏三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为所以，又指数函数为单增，可得，即，因为，所以.故选：A. 【训练3】（2024·甘肃陇南·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以；令，则， 当时，，则在上单增，当时，，则在上单减， 所以，故，则，即，当且仅当时，等号成立， 当，即，有，从而有；综上，. 【训练4】函数（1）时，证明：； 因为，，所以，即 【训练5】同构（2024·辽宁·模拟）已知a，，若，，则b的可能值为（    ） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6 【详解】由得，设，则，又， 当时，，单增，当时，，单减． 因为，所以．故选：B. 【八】散装知识/关联知识点 1、二次函数中的四大金刚：开口方向、对称轴、判别式、韦达定理。 2、导函数的根求法：因式分解、求根公式、猜根、设隐零点-设而不求。 3、是极值点；是极值点。即：是为极值点的必要非充分条件。 4、各种单调性： 幂函数： 指数函数：0恒成立哟！ 时，单增；时，单减。 对数函数：； 时，单增；时，单减。 指对互化：如果，那么可以记作。 对数恒等式：； 考点1、二次函数法 1．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确 2．（2022高考全国Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【详解】∵，设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：,∵切线过原点，∴, 整理得：,∵切线有两条，∴,解得或。 3．（2021·全国甲卷）设函数，其中. （1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，又，因为，故， 当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为. （2）因为且的图与轴没有公共点，所以的图象在轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得，故即. 4．（2025合肥）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得；可知在内单减，在内单增，若函数在上不单调，即，，可得，所以实数的取值范围是. 5．（2024·全国·多选）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C．在上单减 D． 【详解】由题知的定义域为，， 即在上单减，在和上单增， 又因为记的极小值点为，极大值点为，根据单调性可得，则，故A正，B错误； 令，解得，即，故C正确； ，故D正确．故选：ACD． 6．（2024·青岛一模）已知函数． （1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； （2）讨论的单调性． 【详解】（1），解得，所以切线方程为：，即 （2）的定义域为，；当时，得恒成立，在单增。 当时，令， （i）当即时，恒成立，在单增 （ii）当即时，；所以在，单增， 在单减。 7．（2024·重庆三模）若函数既有极小值又有极大值，则（ ） A． B． C． D． 【详解】，因为既有极小值又有极大值， 可得方程在上有两个不同的实数根， 则满足，可得，所以，，， 例如：时，满足上式，此时不成立．故选：ABC. 8．（2024·烟台一模）已如曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）由于的斜率为，所以， 又,故，解得， （2）由（1）知，所以，故当时，单增，当时，单减， 故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得。 9．（2024·日照一模）已知函数． （1）讨论函数的单调性； 【详解】（1）的定义域为，，且，令，可得，当，即时，可知在内恒成立， 所以在内单增； 当，即时，由解得或， 由可知，所以在内单增，在内单减； 10.（2025西工大附属中学）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，，， 则，所以的单增区间是，单减区间是； （2），所以， 设，令，由于有两个极值点， 所以，解得．由，， 得 ，即，令， 则，所以在上单减，且，所以。 11．（2024·山东一模）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围． 【详解】（1），所以的单增区间是，单减区间是； （2），设，令，由于有两个极值点，所以，解得．由，， 得 ， 即，令，则， 所以在上单减，且，所以，故a的取值范围是． 12. （2025届合肥一模）已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，证明： （1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单减； 当，即时，函数有两个零点：，， 综上，当时，在内单增， 在和上单减；当时，在上单减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，，所以， ，令，，则， 当时，，则在区间上单减，从而， 故 13．（2024·合肥联考）已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，，讨论函数的单调性. 【详解】（1），，则，则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ，当时，，由，可得，当时，，函数在上单增；当时，，函数在上单减；当时，， ①当时，，当或时，，即函数在和上单增， 当时，，即函数在上单减； ②当时，则对任意的，即函数在上单增； ③当时，，当或时，，即函数在和上单增， 当时，，即函数在上单减. 14．（24-25江苏）已知函数. （1）若在其定义域内单增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，∵在上单增， ∴在上恒成立，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立，∴； （2）由题意，∵有两个极值点， ∴为方程的两个不相等的实数根，由韦达定理得，， ∵，∴，又，解得， ∴ ， 设（），则， ∴在上单减，又，， ∴，即的取值范围为. 考点2、分离参数 1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知函数在区间上单增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 2．（2024·全国甲卷）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单减，当时，，单增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以. 3．（2022·全国甲卷）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若，求a；（2）求a的取值范围． 【详解】（1），，，则在点处的切线方程为，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 4．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围。 【详解】（1）当时，则，，可得，， 即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即. （2），若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，令，解得；令，解得； 可知在内单减，在内单增，则有极小值； 由题意可得：，即，构建， 因为在内单增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为. 5．（2024·全国模拟）方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 【详解】由题意，得方程有两个不相等的实数根． 令，则，所以当时，，单增； 当时，，单减．所以当时，取最大值． 作出函数的大致图象，如图．由图可知，当时，直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个不相等的实数根，所以实数的取值范围为． 6．（2024·温州一模）已知（）. （1）求导函数的最值；（2）试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由. 【详解】（1）∵，记∴，解得： 当时，，单增，当时，，单减，最大值等于. （2）由，即，即.令，∴，由解得： ∴在上单增，在上单减，∴，且 所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 7．（2024·贵州二模）已知函数. （1）当时.求在处的切线方程; （2）若方程存两个不等的实数根，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以在处的切线方程为：，即． （2）由得，，易知，显然当时等式不成立，所以当时， 令，则， 所以在和上单减，在上单增，且，作出的大致图象，如图，由的图象可知当时，方程有两个不同的解， 即方程有两个不等的实数根，所以的取值范围是．. 8．（2024·湖北模拟）已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 【详解】（1）        设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立，则得在有解， 故有时，.   令，，，         故在单减，单增，所以，则 9．（2024·广东模拟）已知函数的最小值为0，则 ． 【详解】依题意，对于恒成立，且能取得等号， 即对于恒成立，且能取得等号， 函数在上单增，不等式为， 则，即，因此在上恒成立，且能取得等号， 设，于是是函数在上的最小值， 求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，且，所以. 10．（2024·全国模拟）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【详解】（1）由题意知函数的定义域为，而， 当时，恒成立，函数在上单增；当时，所以在上单减，在上单增． （2）因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解，此时， 即在区间上有解，令，则． 令，则，所以函数在上单增，所以． 当时；当时，所以在上单减，在上单增， 所以，所以，综上可知，实数a的取值范围是． 11.（2025重庆市南开中学）已知函数． （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）若是函数的极值点，求证：． 【详解】（1），由，则，令， 求导可得，令，解得，当时，，当时，， 所以函数在上单减，在上单增，由题意可得. （2）由，则，令， 求导可得在上恒成立，则函数在上单增，即函数在上单增，由是函数的极值点，则，即， 由，则，所以. 12．（24-25江苏无锡）若函数有三个极值点，则的取值范围是 ． 【详解】由，有三个极值点等价于有三个实根， 即有两个实根且根不为3，所以，令，所以，所以在上为增函数，在上为减函数，，所以或，所以， 13．（2025·江西一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以，等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即.令，则， 所以在上单增，在上单减，，因此. 14．（2023·西安模拟）方程有两个不等的实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得有两个不等的实数解，令，定义域为R， ，当时，，单增， 当时，，单减，故在时取得极小值，也是最小值， 故，又当时，恒成立，当时，恒成立， 故要想有两个不等的实数解，则.故选：C 15．（2025·四川二模）已知函数，. （1）若存在极小值，且极小值为，求；（2）若，求的取值范围. 【详解】（1），，当时，，所以函数无极值， 当时，由，得，所以在上单减，在上单增， 所以的极小值为，解得. （2）由，得，即，，设，， ，当时，，即单减，当时，，即单增， 所以，则。 16．（2025·辽宁二模）已知函数． （1）若存在，使成立，求k的取值范围； （2）已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【详解】（1）由得，可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单增，当时，单减，所以， 若存在，使成立，则； （2），若在上恒成立，则在上恒成立， 令，则，令，则（舍）或， 当时，单增，当时，单减， 所以，则，则k的最小值为． 17．（2024·重庆模拟）已知 （1）若在处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若存在极值点，求a的取值范围． 【详解】（1）因为，根据题意有，即，解得， 检验，此时，切线为，平行与轴，故符合题意. （2）因为，所以，因为存在极值点，所以在上至少有一个变号零点，即至少有一解，令， 则，令，即，解得， 所以当时，，单增；当时，，单减， 所以，又当时，，所以. 18．（2024·泰安三模）已知函数. （1）讨论的最值；（2）若，且，求的取值范围. 【详解】（1）定义域为，. 当时，令，可得； 当时，，单减，当时，，单增， 故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值. （2）解：当时，由，可得， 整理得，即，令， 则， 由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立， 所以当时，，单增；当时，，单减. 故当时，取得最大值，即。 19.（2025合肥市第一中学）设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，则，切线方程为． （2），恒成立． 令，则，且在单增，令，解得， 所以当时，，故单减；当时，，故单增； 所以，又，当且仅当，故． （3）因为，所以题意等价于当时，．即， 整理，得，因为，所以，故题意等价于． 设，，化简得， 考察函数，其导函数为， 当单减；当单增；即， 即，所以，所以当单减； 当单增；所以的最小值为，故． 考点3、分析法//数形结合 1．（2021高考全国Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单增，当时，，此时函数单减， 所以，，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：   由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.选D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.   2．（2025·天津·高考真题）已知函数 （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，且.（i）求a的取值范围 【详解】（1）当时，，，则，则，且， 则切点，且切线的斜率为，故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，，得，设， 则，由解得或，其中，； 时，在，上单减；令，在上单增； 且当时，； 当时，；如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点，直线与函数的图象有个交点.结合图象可知，。 3．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （1）求曲线在点处的切线方程：（2）证明存在唯一的极值点 【详解】（I），则，又，则切线方程为； （II）令，则，令，则， 当时，，单减；当时，，单增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，故存在唯一的极值点； 4.（2025合肥）已知函数f（x）＝x－aex，a∈R，讨论函数f（x）的零点个数. 解　f（x）＝0等价于x－aex＝0，即＝a.设h（x）＝，则h′（x）＝， 当x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增；当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单减，∴h（x）max＝h（1）＝. 又当x＜0时，h（x）＜0；当x＞0时，h（x）＞0，且x→＋∞时，h（x）→0，∴可画出h（x）大致图象，如图所示.∴当a≤0或a＝时，f（x）在R上有唯一零点； 当a＞时， f（x）在R上无零点；当0＜a＜时，f（x）在R上有两个零点. 5．（2024·山东泰安）已知函数，. （1）求函数单调区间；（2）若函数在有两个极值点，求实数的取值范围. 【详解】（1）定义域为，导数综上：时为常函数，无单调区间。 时，单区间为：，单区间为：；时，单区间为：，单区间为：. （2）因为，所以，因为在上有两个极值点， 则，即在上有两个根，令， 当时，，单减；当时，，单增 又因为时 ，，，所以在上有2个极值点需满足. 6．（2024·四川二模）若，，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】,当时，，单减， 当时，，单增，当时，，单减， 又，，，，则的草图如下： 由图象可得函数的零点个数为.故选：C. 7．（24-25吉林）（多选）对于函数，下列结论正确的（   ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若恒成立，则 【详解】由，令，解得，在上单增，在上单减， 所以在处取得极大值，所以A正确； 当时，，当时，，则函数的图象，如图所示， 所以函数有且仅有一个零点，所以B错误； 由函数的图象，可得，因为，所以，所以C正确； 若在恒成立，则在恒成立，令，可得， 在单增，在单减，所以，所以，所以D正确.选：ACD. 8.（2024·南昌模拟）已知函数f（x）＝（x－a）2＋bex（a，b∈R），若a＝0时，函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围. 解　f（x）＝0有3个根，也即关于x的方程b＝－有3个根. 令g（x）＝－，则直线y＝b与g（x）＝－的图象有3个交点，g′（x）＝， 所以g（x）在（－∞，0）上单增，在（0，2）上单减，在（2，＋∞）上单增. g（0）＝0，g（2）＝－，当x>0时，g（x）<0；当x→＋∞时，g（x）→0； 当x→－∞时，g（x）→－∞，作出g（x）的大致图象如图所示，作出直线y＝b. 由图可知，若直线y＝b与g（x）的图象有3个交点，则－<b<0， 9．（2024·武汉模拟）已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）讨论函数在区间上零点的个数. 【详解】（1）定义域是，，当时，，得. 当时，，函数单增，当时，，函数单减当时，函数取最大值，最大值为； （2）由，得，令，则， 在区间上单增，在区间上单减，又，，， 作函数的图象如下： 综上：当或时，在上有一个零点， 当时，在上有2个零点，当或时，在上没有零点. 10．（2024·湖南三模）已知函数． （1）求函数的单增区间； （2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【详解】（1）由，得， 令，得，解得．所以的单增区间为 （2）令，解得或．当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单减 1 单增 单减 由函数有且仅有三个零点，得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，故． 11. （2025届A10联盟）已知函数 . （1）若 ，求 的极值； （2）若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围. （1）当时，，令，则或， 当和时，，当时，， 故在和单增，在单减， 故当时，极大值当时，极小值 （2）令，则，则，令， 则， 令，则， 由于故， 即，所以在单减， 故，故，则在单增， 且当时，，当时，，故，即 12．（2024·广东三模）已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 【详解】（1），，依题意，，则，， 因此函数在上单减，在上单增，所以极小值，无极大值. （2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，因此函数在上单减，在上单增， 函数在取得极小值同时也是最小值，当时，；当时，， 画山大致的图象，如图，在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 考点4、分类讨论 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【详解】当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，即切线方程为；故答案为：；。 2．（2023·全国乙卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单增，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 则，据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故在区间上单减， 此时，不合题意;令，则， 当，时，由于，所以在区间上单增， 即在区间上单增，所以，在上单增，，满足. 当时，由可得， 当时，在区间上单减，即单减， 注意到，故当时，，单减， 由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是. 3．（2025·上海·高考真题）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为，设，则，故在上为增函数， 而即为，故，故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，，故无极大值点，舍； 若即，则时，，时，，符合； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，，时，，符合；综上，且. 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷）已知函数和有相同的最小值．（1）求a； 【详解】（1）的定义域为，而， 若，则，此时无最小值，故. 当时，，在单减，当时，，故在单增， 故. 的定义域为，而. 当时，，故在单减，当时，，故在单增， 故.因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为. 5．（2024·全国·高考真题）已知函数． （1）当时，求的极值；（2）当时，，求的取值范围． 【详解】（1）， 因为在上为增函数，故在上为增函数，而， 故当时，，当时，，故极小值为，无极大值. （2），设， 则， 当时，，故在上为增函数，故，即， 所以在上为增函数，故.当时，当时，， 即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，舍；综上，. 6.（2025·湖南长郡中学）已知函数． （1）当时，求的单调性； （2）若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 令，解得或．所以在上单减；在，单增． （2）由求导得， ① 当时，恒成立，即在上单减；在上单增，符合； ②当时，令，解得，，且， 在上单减；在上单增，符合； ③ 当时，令，解得，此时恒成立，不符合． ④ 当时，令，解得，，且，在上单增； 在上单减，不符合。综上，实数的取值范围是． 7．（2024·河北邯郸·模拟）已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 所以，所以在点处的切线方程为， 即． （2）令可得或，对两个方程分别讨论， ①设，则， 所以在单增，且， 所以存在唯一的零点，使，即， ②令，即，设，可得， 则在上单增，又且时，， 当时，存在唯一的零点，使，即， 若时，得，则，可得，故， 所以且时，有两个不同的零点；综上，实数的取值范围为． 8．（24-25·广东）已知函数的极小值点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，因为， 若，则，所以在上恒成立，无极小值，故， 又时，令，可得或， 当，所以，当，，所以是函数的极小值点，符合， 又时，令，可得或， 当，所以，当，，所以是函数的极大值点，不符合， 综上所述：的取值范围是.故选：A. 9．（2024高三·全国）已知函数. （1）求函数的极值；（2）若对任意有解，求的取值范围. 【详解】（1），得， 当时，，函数单减，当时，，函数单增， 所以的极小值为，无极大值； （2）对任意即， 设，， ①当时，单增，单增，，成立； ②当时，令单增，单增，，成立； ③当时，当时，单减，单减，，不成立.综上，. 10．（2025·内蒙古模拟）已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 【详解】（1）当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，则切线方程为，即. （2）定义域为，，因是的极小值点，则，则， 若，令，令， 则在上单增，在上单减，得是的极大值点，不满足题意； 若，则在上单增，在上单减，得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单减，无极值，不满足题意； 若，则在上单增，在上单减， 得是的极小值点，满足题意；综上，是的极小值点时，. 11．（2025·合肥联考）已知函数． （1）当时，求的最大值；（2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，，则， 当时，，当时，，所以在上单增，在上单减，所以在时取最大值，最大值为． （2），，则， 当时，，所以当时，，单增； 当时，，单减，所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单增；在上，，单减，所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单增； 在上，，单减，此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 12．（2023·广东梅州·三模）已知函数，，为函数的导函数. （1）讨论函数的单调性；（2）若方程在上有实根，求的取值范围. 【详解】（1），令，则 当时，，函数在上单增； 当时，，得，，得. 所以函数在上单减，在上单增. （2）由（1）知，，方程在上有实根等价于方程在上有实根.令，则 当时，，函数在上单增，，不合题意； 当时，在上恒成立，所以函数在上单减，，不合题意； 当时，在上单减，在上单增，因为，所以，所以 考点5、三次函数法 1．（2024·全国新课标1）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单增，在上单减，在上单增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，所以，在上单增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确；故选：ACD. 2．【多选】（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【详解】A选项，，由于，故在上单增， 在单减，则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单减， 时，单增，此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，为的对称轴，即，即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 等式左右两边的系数不相等，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项，三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD 3．（2021·全国乙卷）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【详解】（1）由函数的解析式可得：，导函数的判别式， 当时，在R上单增， 当时，的解为：， 当，时，单增；当时，单减； （2）由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则，；切线方程为：, 与联立得， 化简得，该方程可以分解因式为解得,， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 4．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或， 且当时，，当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B. 5．【多选】（2022·新高考全国Ⅰ卷）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【详解】由题，，令得或，令得， 所以在，上单增，上单减，所以是极值点，A正确； 因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.选：AC. 6．（2021·全国乙卷）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：   由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：   由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D 7．（2024·福建一模）已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，令，解得，所以，故AB不正确； ，故C正确D错误.故选：C 8．（2024高三下·全国）若函数在处有极大值，则实数的值为（   ） A．1 B．或 C． D． 【详解】，则有，解得或， 当时，，则当时，，当时，， 所以在上单减，在上单增，在处有极小值，不符合； 当时，，所以在上单增，在上单减， 在处有极大值，符合．综上可得，.故选：D. 9．（2024·新疆二模）设是函数的两个极值点，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】由题意得，又是函数的两个极值点，则是方程的两个根，故，又，则，即，则， 则，所以，解得，此时.故选：C． 10．（2024·河北三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，令，可得或， 当，即时，在，上单增，在上单减，满足； 当，即时，恒成立，则在上单增，没有极值点，不满足； 当，即时，令，得或；令，得； 所以在，上单增，在上单减，不满足题意； 综上，，即的取值范围为.故选：A. 11．（24-25江苏扬州）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】，则，则得或；得， 则在和上单增，在上单减，因， 则当在内存在最小值时，有得，则实数的取值范围是.选：C. 12．（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根， 则，解得，所以实数的取值范围为.故选：D. 13．（2024合肥）已知有两个不同的极值点，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C．为函数的极大值点 D． 【详解】易知，，令，得到 令，则，令，得到， 当时，，时，， 即在区间上单增，在区间上单减， 又时，，，，时，，则图象如图，因为有两个不同的极值点，且，则与有两个不同的交点，由图知，，，所以选项A正确，选项B错误， 由图知，当时，，则， 当时，，则，所以为函数的极大值点，故选项C正确，对于D，由图知，，所以，故选项D正确，故选：ACD. 14．（2024·安徽·模拟预测）设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 【详解】对于A选项，当时，， 因为，所以，， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B选项，当时，，则，令，可得或， 所以，函数在上单增，上单减，上单增， 所以，，又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象由三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单增，故C错误； 对于D选项，当时，函数在上单增，此时恒成立，故D正确．选：ABD． 15．（23-24高三上·贵州）已知函数 （1）求的单调增区间； （2）方程在有解，求实数m的范围. 【详解】（1），故单调增区间为，； （2）由（1）知，函数在区间，上单增，在区间上单减， ∵，，，，∴，， 故函数在区间上的最大值为4，最小值为1，∴，∴. 考点6、构造：作差构造、同类型构造 1．同构（2021·全国甲卷）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单增；上单减； （2）,设函数, 则,令，得,在内,单增；在上,单减； ,又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是. 2．作差构造（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． （1）求的单调区间；（2）当时，证明：当时，恒成立． 【详解】（1）定义域为， 当时，故在上单减； 当时，时，，单增，当时，，单减. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则，即在上递增， 故，即在上单增，故，问题得证 3．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单增，则a的取值范围是 . 【详解】在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故，结合题意可得实数的取值范围是. 4．（2024·新课标Ⅰ卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形； 【详解】（1）时，，其中，则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即，所以的最小值为.， （2）的定义域为，设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而，， 所以也在图象上，得图象为中心对称图形，且对称中心为. 5．（2022·全国甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A． 6．（2021·全国乙卷）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【详解】，所以； 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，，所以在上单增， 所以，即，即；即可选B 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞）上单减，所以，，b<c；选B. 7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单增， 当时，，单减，所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单增，而，所以，当时，，单减， 当时，，单增，且， 而当时，，所以总有，单增，故，得证。 8．（2024·天津）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则. 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ，取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件.综上的值是2. 9．（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，． 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单减； 当时，令，解得， 在上单减；在上单增；综上：当时，在上单减； 当时，在上单减，在上单增. （2）， 要证，即证，即证恒成立， 令，则，所以在上单减，在上单增， 所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕. 10．（2021·全国乙卷）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a；（2）设函数．证明:． 【详解】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）[方法一]：转化为有分母的函数，由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．综合（ⅰ）（ⅱ）有． 11．（2022·北京）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 【详解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为， 又，∴切线斜率∴切线方程为： （2）解：因为，     所以，令， 则， ∴在上单增， ∴∴在上恒成立，∴在上单增. （3）解：原不等式等价于，令，， 即证，∵， ， 由（2）知在上单增，∴，∴ ∴在上单增，又因为，∴，所以命题得证. 12.（2024高三·全国）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 . 【详解】构造函数，，，则时，， 函数在上单增，于是，即，所以 13.（24-25全国）设是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【详解】设函数，则， 因为，所以，所以在上单增， 因为，， ，又，所以． 14．（24-25江西）已知函数. （1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围. 【详解】（1），当时，在上是减函数. 当时，是增函数.令，解得.当时，； 当所以在上单减，在上单增. 综上，当时，在上是减函数；当时，在上单减，在上单增. （2），即.令函数，则，所以， 因为在上单增，所以，即. 令函数，则.当时，；当. 所以在上单增，在上单减， 所以.故的取值范围为. 15．（2024高三）已知函数. （1）讨论的单调区间；（2）当且，求证：. 【详解】（1）定义域为，. ①若时，则，在上单减； ②若时，，令或.又， 在上单减，在上单增；   ③若时，，令或.又， 在上单减，在上单增； （2），，要证，只需证， 只需证：，只需证：，设， 即， 在上单减，所以，即原不等式成立. 16．（2024全国）已知 ， ，，则下列大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】由题，.令（），则， 因为，所以，所在上单增， 又，，，，故.故选：C. 17．（24-25河北邯郸）已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【详解】由．令，易知在上单增，由，可得，故，即. 令，则，所以在上单减，在上单增， 则，所以，即，故正数的取值范围是. 18．（2021·浙江）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； 【详解】（1）， ①若，则，所以在上单增； ②若，当时，单减，当时，单增. （2）有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解， 令，则， 记，记， 又，所以时，时，， 则在单减，单增，， . 19．（2021·全国·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【详解】（1）的定义域为．由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， （2）变形为，所以． 令．则上式变为，于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设．由（1）知，先证． 要证：． 令，则， 在区间内单增，所以，即．再证． 因为，所以需证．令， 所以，故在区间内单增．所以．故，即． 综合可知． 20．（2021·全国·高考真题）已知且，函数． （1）当，求的单调区间；（2）若曲线与直线仅有两个交点，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单增；上单减； （2）,设函数, 则,令，得, 在内,单增；在上,单减；, 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是. 21．（2024·山东威海·二模）已知函数． （1）求的极值；（2）证明：． 【详解】（1）由题意得的定义域为，则， 当时，，在上单增，无极值； 当时，即在上单增，在上单减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； （2）证明：设，，令， 则，即在上单增， ，故，使得，即， 在上单减，在上单增，故 即，即，则. 22．（2024·安徽·模拟）若关于的方程有解，则实数m的最大值为 . 【详解】令，则，易知单增，所以. 令，，当时，，单增； 当时，，单减，所以，所以，得. 所以的最大值为. 23.（2025·安徽·模拟） 已知函数． （1）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （2）是否存在过原点的曲线的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由； （3）求证：当时，对恒成立． （1），函数的增区间为，减区间为，且当时，，当时，，函数的极大值为，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时，方程有两个不同的实数根，因此，实数的取值范围是. （2）不存在，理由如下：假设曲线存在过原点的切线，且切点坐标为， 由，则该切线斜率为，即该切线方程为， 即有，整理得，，该方程无解， 故不存在过原点的曲线的切线. （3）先证明对任意的，，即证， 因为，即证，构造函数，其中， 则，当时，；当时，. 所以，函数在上单减，在上单增， 所以，当时，，即，即， 因为，故对任意的，，即恒成立. 24．（2024·苏州模拟）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）当时，证明：． 【详解】（1）定义域为，且．当时，恒成立， 所以在区间上单增；当时，令，解得， 在区间上单增，当时，在区间上单减． （2）当时，因为，所以要证，只要证明即可， 即要证，等价于（*）．令，则， 在区间上，单减；在区间上，单增， 所以，所以（当且仅当时等号成立）， 所以（*）成立，当且仅当时，等号成立． 又在上单增，，所以存在，使得成立． 25．（2024·江西三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【详解】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单减， 由可得，，解得，即解集为.故选：A 考点7、隐零点 1．用隐零点证明不等式： 【详解】令函数，，求导得：，显然函数在上单增， 而，，则存在，使得，即，有， 当时，，当时，，函数在上单减，在上单增， ，所以. 2．用隐零点证明 证明: 要证明左边大于右边, 只需证明左边的最小值大于右边即可 然后求导 , 单增, , 因此 存在零点, 有一个极小值 设 的零点为 （1）, 两边同时取自然对数, （2） 将（1）、（2）带入 , 得 , 证毕 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围； 【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则，又，设， 则，若，则，因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有，故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则，下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数，所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以.综上，. 4．（2025·全国二卷）已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单增，在上单减，所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单减，所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. 5．（2024高三下·全国）已知函数． （1）若在上单减，求实数的取值范围； （2）若的最小值为6，求实数的值． 【详解】（1）定义域为，，因为在上单减，所以恒成立且不恒为0，所以，即恒成立． 设，则， 在上单增；在上单减，所以， 则， （2）由（1）知，，因为的最小值为6，所以，得． 设，则，所以在上单增， 因为，，所以存在，使得， 当时，，即，在上单减； 当时，，即，在上单增， 所以．因为，所以， 解得（舍去）或， 所以． 6．（2024·山东二模）已知函数 （1）讨论的单调性；（2）证明：. 【详解】（1）定义域为，， 当时，则在上恒成立，可知在上单减； 当时，知在上单减，在上单增； （2）构建，则， 由可知，构建，因为在上单增，则在上单增，且，可知在上存在唯一零点， 当，则，即；当，则，即； 可知在上单减，在上单增，则， 又因为，则，， 可得，即，所以. 7.（2025·湖南雅礼中学）设函数． （1）当时，证明：．（2）当时，证明：． 【详解】（1）当时，，定义域为． ，构造函数，则，， 所以在上单增，又，所以当时，单减；当时，单增．所以，故． （2），当时，易知在上单增，由端点分析法+零点存在定理： 所以存在，使得，即． 当时，单减；当时，单增． 所以， 当且仅当时取等，此时，满足．故原不等式得证． 8.（2025全国）已知函数,当时，证明＞0。 当时，，故只需要证明当时，。 当时，函数在单增，又，故有唯一实数，且，当时，，当时，，从而当时，取得最小值。由得，（，，这里是隐零点思路） 故。综上，当时，。 9.（2024·太原-隐零点）已知函数f（x）＝xex－x－1，讨论方程f（x）＝ln x＋m－2的实根个数. 解　由f（x）＝ln x＋m－2，得xex－x－ln x＋1＝m，x>0，令h（x）＝xex－x－ln x＋1， 则h′（x）＝ex＋xex－1－＝（x>0），令m（x）＝xex－1（x>0），则m′（x）＝（x＋1）·ex>0，∴m（x）在（0，＋∞）上单增，又m＝－1<0，m（1）＝e－1>0， ∴存在x0∈，使得m（x0）＝0，即ex0＝，从而ln x0＝－x0. 当x∈（0，x0）时，m（x）<0，h′（x）<0，则h（x）单减； 当x∈（x0，＋∞）时，m（x）>0，h′（x）>0，则h（x）单增； ∴h（x）min＝h（x0）＝x0ex0－x0－ln x0＋1＝x0·－x0＋x0＋1＝2，又易知，当x→0＋时，h（x）→＋∞；当x→＋∞时，h（x）→＋∞.∴当m<2时，方程f（x）＝ln x＋m－2没有实根； 当m＝2时，方程f（x）＝ln x＋m－2有1个实根；当m>2时，f（x）＝ln x＋m－2有2个根. 10．（2024·山东威海·二模）已知函数． （1）求的极值；（2）证明：． 【详解】（1）定义域为，则，当时，，在上单增，无极值；当时，令，则，令，则，即在上单增，在上单减，故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； （2）证明：设，，令， 则，即在上单增， ，故，使得，即， 当时，，在上单减，当时，，在上单增， 故即，即，则. 11．（2024·山东·模拟）已知函数． （1）求曲线在点处的切线在轴上的截距；（2）探究的零点个数． 【详解】（1），所以，又，所以的方程为，即，令，可得，所以直线在轴上的截距为． （2）解：因为和在上均单增，所以在上单增， 又因为，所以，使得， 所以，当时，，在单减； 当时，，在单增， 又因为，所以有两个零点． 12．（2025届合肥期末）已知函数 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数的最大值为1，求的值； （3）在（2）的条件下证明 . 【详解】（1）由题意，，切线方程为； （2），故当 时，，当 时，， 所以函数 在 上单增，函数在上单减; 所以在处取到最大值，即，所以 . （3）欲证，即证明，令 ， 则 ，令，则， 所以函数为增函数，又， 所以存在使得，所以， 由得，，设 ，则 ， 所以为增函数，所以，，所以， 即，即 . 13. （2025届合肥二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值；（2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． （1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到.把代入得， 因为，所以，即.，算出. （2）由第（1）问知，.  令，求导得.当，，在递减； 当，，在递增.  ，，所以存唯一使，即.  当，，在递减； 当，，在递增，所以.  ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 设是零点，，经计算， 所以也是零点，零点和为. 考点8、放缩、数列与导数、三角与导数等综合问题 1．【多选】（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【详解】因为，对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.故选：. 2．（2025·全国一卷）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； 【详解】（1）法1：，因为，故，故， 当时，即，当时，即， 故在上为增，在为减，故在上的最大值为. （2）由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 3．（2023·全国乙卷）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值 【详解】（1）当时，，则， 据此可得，函数在处的切线方程为， 即. （2）令，定义域，定义域关于直线对称，得， 由对称性可知，取可得， 即，则，解得，经检验满足题意，故. 即存在满足题意. 4．（2023·新课标Ⅱ卷）（1）证明：当时，； 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单增，可得，所以； 构建，则， 构建，则对恒成立， 则在上单增，可得，即对恒成立， 则在上单增，可得，所以；综上所述：. 5．（2023·全国甲卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 则， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立，所以在上单减. （2）构建， 则， 若，且，则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则，所以，满足；当时，由于，显然， 所以，满足；综上：若，等价于， 6．（2023·全国乙卷）已知函数 （1）当时，讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围． 【详解】（1） 令,则，则 当，当,即. 当,即.所以在上单增,在上单减 （2） 设，； 设，，所以. 若,，即在上单减,所以. 所以当,符合题意. 若，当,所以；. 所以,使得,即,使得. 当,即当单增. 所以当,不合题意.综上,的取值范围为. 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值；（2）设函数，求的单调区间；（3）求的极值点个数。 【详解】（1）因为，在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以。 （2），则， 令，解得，不妨设，，则， 穿针引线法：在，上单减，在，上单增， （3），，在，上单减，在，上单增。 当时，，，即，所以在上存在唯一零点，所以在上有一个极小值点； 当时，在上单减，则，故， 所以在上存在唯一零点，所以在上有一个极值点； 当时，在上单增，则，故， 所以在上存在唯一零点，所以在上有一个极值点； 在上无极值点；综上：共有个极值点。 8．（2024·武汉模拟）已知函数． （1）求函数的单调区间；（2）若函数有最大值，求实数的值． 【详解】（1） 1°当时在区间上单增。 2°当时，时，单增；时，单减 （2）由（1）知当时，无最大值。当时，，平方有， 解得． 9．（2024·山东一模）已知函数，若，是锐角的两个内角，下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 当时，，所以，即，所以在上单减. 因为，是锐角的两个内角，所以，则， 因为在上单减，所以， 故，故D正确.同理可得，C错误； 而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定， 所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断.选：D 10．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值与最小值的和为 ． 【详解】， 当时，，递增；当时，，递减； ，，，；故最大值与最小值的和为：． 11．（2024·广东·二模）已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）若，求函数在区间上的最大值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为曲线在点处的切线方程为，切线的斜率为， 所以，得，解得：. （2）当时，令， ，当时，，单增， 又，，所以至少存在唯一的实数，使得. 当时，，函数单减；当时，，函数单增，又；所以. 12．（2024·四川模拟）函数恰好有一零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数即，因为函数恰好有一零点，且， 则由指数函数图象特性与相切，因为，设切点为，则切线斜率为， 切点在切线上，故，所以由得.故选：B. 13．（2022·北京·高考真题）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 【详解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又， ∴切线斜率∴切线方程为： （2）解：因为，所以， 令，则，∴在上单增， ∴∴在上恒成立，∴在上单增. （3）解：原不等式等价于，令，， 即证，∵， ， 由（2）知在上单增，∴，∴ ∴在上单增，又因为，∴，所以命题得证. 14．（2024·湖南一模）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间；（2）证明：； （3）设，若存在实数使得，求的最大值. 【详解】（1）的定义域为，所以的增区间为，减区间为. （2）要证，即证，令，即证， ，令，则，所以在上单减，又， 当时，；当时，. 在上单增，在上单减，，所以，即得证. （3）当时，，即存在满足题意；当时，由（2）知， ， 此时恒成立，不满足题意；综上，所以的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 导数应用【试题】 分离、分析、分类、构造、二次、三次、放缩、隐零点 2026年新高考中，大题导数设置3问，分值17分；小题设置1小问，分值5分。合计23分。第1问求切线、单调性、极值；第2、3问涉及利用导数证明不等式、求参数范围、求零点个数。注意：可与数列、三角函数结合。 知识核心 【一】恒成立与能成立 ①，则只需要； ，则只需要 ②，则只需要； ，则只需要 【二】求导公式 若，则 0； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 若，则； 若，则 【三】导数运算法则 ； ； 【四】三次函数的三个零点分别为，则韦达定理： ●（1）； （2）； （3） ●对称中心：，对称中心横坐标是的解。 ●穿针引线法-奇穿偶回求解高次不等式步骤： （1）因式分解：化为若干个因式乘积，且各因式中未知数的系数均为正； （2）标根：求不等式对应的整式方程的根， 并在数轴上标出这些根； （3）从数轴的右上方开始，按照“奇穿偶回”的原则穿线； （4）数轴上方是大于零的解集，数轴下方是小于零的解集。 【训练1】求解； 【训练2】（2024·陕西西安）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【五】零点：使的实数叫做函数的零点 ●几个等价关系： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 ●函数零点存在定理： 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得。 【训练1】求函数的零点个数。 【训练2】已知函数，若函数有个零点，则求实数的取值范围。 【六】构造：同构、作差构造 （1）与和相关的常见同构模型 ①， 构造：或 ②， 构造：或 ③， 构造：或 （2）构造可积、可商函数，是证明不等式的一种思路 序号 条件 构造函数 条件 构造函数 1 2 3 【训练1】（24-25福建）若奇函数在上可导，当时，满足，证明： 【训练2】（24-25江西赣州）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，证明 【训练3】（24-25四川宜宾）已知函数在上可导，且，若成立，求的取值范围 【训练4】（2024·全国）已知是可导函数，且对于恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【训练5】（2024·河南信阳·一模）已知函数对均满足，其中是的导数，证明 【训练6】（2024·云南·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ． 【七】常见放缩：小题比大小、大题证明不等式的一种思路 ， ， 【训练1】（2022·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【训练2】（2024·宁夏三模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【训练3】（2024·甘肃陇南·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【训练4】函数（1）时，证明：； 【训练5】同构（2024·辽宁·模拟）已知a，，若，，则b的可能值为（    ） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6 【八】散装知识/关联知识点 1、二次函数中的四大金刚：开口方向、对称轴、判别式、韦达定理。 2、导函数的根求法：因式分解、求根公式、猜根、设隐零点-设而不求。 3、是极值点；是极值点。即：是为极值点的必要非充分条件。 4、各种单调性： 幂函数： 指数函数：0恒成立哟！ 时，单增；时，单减。 对数函数：； 时，单增；时，单减。 指对互化：如果，那么可以记作。 对数恒等式：； 考点1、二次函数法 1．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2022高考全国Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 3．（2021·全国甲卷）设函数，其中. （1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 4．（2025合肥）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·多选）设函数，记的极小值点为，极大值点为，则（    ） A． B． C．在上单减 D． 6．（2024·青岛一模）已知函数． （1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； （2）讨论的单调性． 7．（2024·重庆三模）若函数既有极小值又有极大值，则（ ） A． B． C． D． 8．（2024·烟台一模）已如曲线在处的切线与直线垂直. （1）求的值；（2）若恒成立，求的取值范围. 9．（2024·日照一模）已知函数． （1）讨论函数的单调性； 10.（2025西工大附属中学）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围． 11．（2024·山东一模）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求a的取值范围． 12. （2025届合肥一模）已知函数，其中 （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，，证明： 13．（2024·合肥联考）已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，，讨论函数的单调性. 14．（24-25江苏）已知函数. （1）若在其定义域内单增，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，，其中，求的取值范围. 考点2、分离参数 1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知函数在区间上单增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2024·全国甲卷）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 3．（2022·全国甲卷）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a；（2）求a的取值范围． 4．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围。 5．（2024·全国模拟）方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 6．（2024·温州一模）已知（）. （1）求导函数的最值；（2）试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由. 7．（2024·贵州二模）已知函数. （1）当时.求在处的切线方程; （2）若方程存两个不等的实数根，求的取值范围. 8．（2024·湖北模拟）已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 9．（2024·广东模拟）已知函数的最小值为0，则 ． 10．（2024·全国模拟）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 11.（2025重庆市南开中学）已知函数． （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （2）若是函数的极值点，求证：． 12．（24-25江苏无锡）若函数有三个极值点，则的取值范围是 ． 13．（2025·江西一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 14．（2023·西安模拟）方程有两个不等的实数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·四川二模）已知函数，. （1）若存在极小值，且极小值为，求；（2）若，求的取值范围. 16．（2025·辽宁二模）已知函数． （1）若存在，使成立，求k的取值范围； （2）已知，若在上恒成立，求k的最小值． 17．（2024·重庆模拟）已知 （1）若在处的切线平行于x轴，求a的值；（2）若存在极值点，求a的取值范围． 18．（2024·泰安三模）已知函数. （1）讨论的最值；（2）若，且，求的取值范围. 19.（2025合肥市第一中学）设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 考点3、分析法//数形结合 1．（2021高考全国Ⅰ卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）已知函数 （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，且.（i）求a的取值范围 3．（2021·天津·高考真题）已知，函数． （1）求曲线在点处的切线方程：（2）证明存在唯一的极值点 4.（2025合肥）已知函数f（x）＝x－aex，a∈R，讨论函数f（x）的零点个数. 5．（2024·山东泰安）已知函数，. （1）求函数单调区间；（2）若函数在有两个极值点，求实数的取值范围. 6．（2024·四川二模）若，，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25吉林）（多选）对于函数，下列结论正确的（   ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若恒成立，则 8.（2024·南昌模拟）已知函数f（x）＝（x－a）2＋bex（a，b∈R），若a＝0时，函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围. 9．（2024·武汉模拟）已知函数. （1）当时，求的最大值；（2）讨论函数在区间上零点的个数. 10．（2024·湖南三模）已知函数． （1）求函数的单增区间； （2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 11. （2025届A10联盟）已知函数 . （1）若 ，求 的极值； （2）若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围. 12．（2024·广东三模）已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 考点4、分类讨论 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 2．（2023·全国乙卷）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数在单增，求的取值范围． 3．（2025·上海·高考真题）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷）已知函数和有相同的最小值．（1）求a； 5．（2024·全国·高考真题）已知函数． （1）当时，求的极值；（2）当时，，求的取值范围． 6.（2025·湖南长郡中学）已知函数． （1）当时，求的单调性； （2）若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 7．（2024·河北邯郸·模拟）已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 8．（24-25·广东）已知函数的极小值点为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三·全国）已知函数. （1）求函数的极值；（2）若对任意有解，求的取值范围. 10．（2025·内蒙古模拟）已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 11．（2025·合肥联考）已知函数． （1）当时，求的最大值；（2）若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 12．（2023·广东梅州·三模）已知函数，，为函数的导函数. （1）讨论函数的单调性；（2）若方程在上有实根，求的取值范围. 考点5、三次函数法 1．（2024·全国新课标1）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 2．【多选】（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 3．（2021·全国乙卷）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 4．（2023·全国乙卷）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（2022·新高考全国Ⅰ卷）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 6．（2021·全国乙卷）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·福建一模）已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三下·全国）若函数在处有极大值，则实数的值为（   ） A．1 B．或 C． D． 9．（2024·新疆二模）设是函数的两个极值点，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2024·河北三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25江苏扬州）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2024合肥）已知有两个不同的极值点，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C．为函数的极大值点 D． 14．（2024·安徽·模拟预测）设函数，则（   ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，方程有个实根 C．当时，是的极大值点 D．存在实数，恒成立 15．（23-24高三上·贵州）已知函数 （1）求的单调增区间； （2）方程在有解，求实数m的范围. 考点6、构造：作差构造、同类型构造 1．同构（2021·全国甲卷）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 2．作差构造（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． （1）求的单调区间；（2）当时，证明：当时，恒成立． 3．（2023·全国乙卷）设，若函数在上单增，则a的取值范围是 . 4．（2024·新课标Ⅰ卷）已知函数 （1）若，且，求的最小值；（2）证明：曲线是中心对称图形； 5．（2022·全国甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021·全国乙卷）设，，．则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； 8．（2024·天津）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； 9．（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，． 10．（2021·全国乙卷）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a；（2）设函数．证明:． 11．（2022·北京）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 12.（2024高三·全国）已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，设，，，则，，的大小关系为 . 13.（24-25全国）设是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 14．（24-25江西）已知函数. （1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围. 15．（2024高三）已知函数. （1）讨论的单调区间；（2）当且，求证：. 16．（2024全国）已知 ， ，，则下列大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 17．（24-25河北邯郸）已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 18．（2021·浙江）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； 19．（2021·全国·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 20．（2021·全国·高考真题）已知且，函数． （1）当，求的单调区间；（2）若曲线与直线仅有两个交点，求a的取值范围． 21．（2024·山东威海·二模）已知函数． （1）求的极值；（2）证明：． 22．（2024·安徽·模拟）若关于的方程有解，则实数m的最大值为 . 23.（2025·安徽·模拟） 已知函数． （1）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （2）是否存在过原点的曲线的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由； （3）求证：当时，对恒成立． 24．（2024·苏州模拟）已知函数． （1）讨论的单调性；（2）当时，证明：． 25．（2024·江西三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 考点7、隐零点 1．用隐零点证明不等式： 2．用隐零点证明 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围； 4．（2025·全国二卷）已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； 5．（2024高三下·全国）已知函数． （1）若在上单减，求实数的取值范围； （2）若的最小值为6，求实数的值． 6．（2024·山东二模）已知函数 （1）讨论的单调性；（2）证明：. 7.（2025·湖南雅礼中学）设函数． （1）当时，证明：．（2）当时，证明：． 8.（2025全国）已知函数,当时，证明＞0。 9.（2024·太原-隐零点）已知函数f（x）＝xex－x－1，讨论方程f（x）＝ln x＋m－2的实根个数. 10．（2024·山东威海·二模）已知函数． （1）求的极值；（2）证明：． 11．（2024·山东·模拟）已知函数． （1）求曲线在点处的切线在轴上的截距；（2）探究的零点个数． 12．（2025届合肥期末）已知函数 . （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数的最大值为1，求的值； （3）在（2）的条件下证明 . 13. （2025届合肥二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 考点8、放缩、数列与导数、三角与导数等综合问题 1．【多选】（2023·新课标Ⅰ卷）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 2．（2025·全国一卷）（1）设函数，求在的最大值； （2）给定，设a为实数，证明：存在，使得； 3．（2023·全国乙卷）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值 4．（2023·新课标Ⅱ卷）（1）证明：当时，； 5．（2023·全国甲卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围． 6．（2023·全国乙卷）已知函数 （1）当时，讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围． 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值；（2）设函数，求的单调区间；（3）求的极值点个数。 8．（2024·武汉模拟）已知函数． （1）求函数的单调区间；（2）若函数有最大值，求实数的值． 9．（2024·山东一模）已知函数，若，是锐角的两个内角，下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽·二模）已知函数，当时的最大值与最小值的和为 ． 11．（2024·广东·二模）已知函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）若，求函数在区间上的最大值. 12．（2024·四川模拟）函数恰好有一零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2022·北京·高考真题）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 14．（2024·湖南一模）已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间；（2）证明：； （3）设，若存在实数使得，求的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$