精品解析：河南濮阳市多校2025-2026学年高二上学期1月联考数学试卷

濮阳市多校2025-2026学年高二上学期1月联考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何关系以及双曲线的对称性求解. 【详解】由题意，, 又为的中点，所以在△中，． 如图所示，设与平行的渐近线交于点，即，, 由双曲线的对称性可知，所以，所以． 因此为等边三角形，即， 可得直线的斜率为，则的渐近线方程为． 故选：. 2. 已知数列满足，对任意成立.数列为周期数列，即存在，使得对任意成立，给出下列两个结论： ①对任意，存在，使得为递增数列； ②对任意，存在，使得为等差数列； 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】取，结合周期数列和数列单调性的定义可判断①；利用等差数列和周期数列的定义可判断②. 【详解】对于①，不妨取， 因为数列为周期数列，即存在，使得对任意成立， 所以，此时数列不是递增数列，①错； 对于②，因为，则， 令，则，则数列为常数列，不妨设，即， 所以数列的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列， 当为奇数时，设，可得， 则， 当为偶数时，设，可得， 则， 不妨取，则， 显然对任意的，，即数列是周期为的周期数列， 此时，即为等差数列， 故对任意，存在，使得为等差数列，②对. 故选：D. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的位置关系与充分、必要条件的概念求解. 【详解】当时，，即，解得， 当时，，，此时； 当时，即， ，即，此时； 故“”是“”的充要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4. 如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，， 由为平行四边形，与交于点， 所以为与的中点， 所以 ， 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹为椭圆 B. 若，则点的轨迹为圆 C. 若，则点的轨迹为双曲线 D. 若，则点的轨迹为一条线段 【答案】B 【解析】 【分析】令，结合椭圆、双曲线定义判断A、C；利用向量加减、模长的坐标运算列方程求轨迹判断B；应用两点距离公式列方程求轨迹判断D. 【详解】令，则： A：由，结合椭圆定义，显然轨迹不是椭圆，错； B：由，则， 所以，即点的轨迹为圆，对； C：由，根据双曲线定义，轨迹为双曲线的右支，错； D：由题设，整理得，即点的轨迹为一条直线，错. 故选：B 6. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ） A. －5 B. －4 C. －3 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义把焦半径进行转化，再把到圆上点的距离最值转化为到圆心，从而即可求两边之和的最小值了. 【详解】 在椭圆中，，，则，则，则椭圆的左焦点为，圆的圆心为，半径为1， 由椭圆的定义可得， 所以， 再由圆外的点到圆上动点的最小值为到圆心的距离减去半径， 所以有， 利用当且仅当、、三点共线且在线段上时，取最小值， 所以有 故的最小值为－4. 故选：B． 【点睛】方法点睛：要利用椭圆的定义和圆的有关平面几何求最值的结论来求解. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出点A坐标以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出点到平面的距离即可. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则可取， 则点到平面的距离为． 故选：B. 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，设出直线方程并与抛物线方程联立求出，再利用抛物线定义，结合基本不等式求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由，得，解得， 抛物线的准线方程为，，， 于是， ，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. （多选）已知直线与圆相交于两点，则下列结论正确的有（ ）. A. 直线过一定点 B. 直线与圆相切 C. 点到的最大距离为 D. 的面积恒小于8 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线系方程判断直线是否过定点判断A，利用圆与直线的位置关系结合点到直线的距离判断BC，利用弦长公式得到的面积，求出面积的最大值判断D即可. 【详解】对于选项A：将直线方程变形为 ， 假设直线  过定点 ，则  对任意  恒成立， 当  时，得 ，解得 ；当  时，得 ， 将  代入方程，得 ，即 ，此式不恒成立，故假设不成立，直线  不过定点，A说法错误； 当，时，直线为， 当，时，直线为， 因为没有交点，所以直线不过定点，A说法错误； 对于选项B：圆，即，圆心为，半径， 该圆圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，B说法正确； 对于选项C：圆的圆心为，半径， 圆到直线的距离， 所以，即点到的最大距离为，C说法正确； 对于选项D：因为， 的面积， 令，由C选项可得， 因为函数在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以的面积不恒小于，D说法错误； 故选：BC 10. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误. 【详解】由题意知，半圆的方程为， 设椭圆方程为，则， 所以，故椭圆方程为， A选项，椭圆离心率，故A正确； C选项，当时，， 当时，，此时重合，不合要求， 又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B 所以线段长度的取值范围是，C正确； D选项，由题意得的面积，设，则， 所以， 设，则，所以， 故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确， B选项，的周长等于， 则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误. 故选：ACD 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为60° D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明判断A，若，点在直线，可得体积为定值判断B；上求得直线与直线所成角的最小值判断C；确定外接球的球心，进而轨迹的周长判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以， 所以，即 ， 所以，又， 所以， 所以，所以，故A正确； 因为，，所以点在直线上， 又因为，，所以四边形是平行四边形， 所心，又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离为定值，又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 点为的中点，坐标为，点的坐标为 ， 向量，向量， 设直线与直线所成的角为， ， 又因为，当 时，， 即直线与直线所成角的最小值为，故C错误； 因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形， 过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心， 因为平面，所以，又， 所以三棱锥外接球的半径， 因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上， 所以 的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆， 又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为， 所以 的轨迹的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平行直线与之间的距离是_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由两条平行直线的距离公式直接可得. 【详解】因为直线与平行， 所以由平行线间的距离公式可得. 故答案为：2. 13. 若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出弦心距，结合题意和直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】依题意，圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为的点刚好有个，所以； 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 【答案】 【解析】 【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中， 化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, ∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，① 在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②， 在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③， ， 由柯西不等式得（1+）（）≥（）2 故答案为 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知直线l经过点，求直线l的斜率分别为何值时，满足下列条件： （1）直线l经过圆的圆心； （2）直线l与圆相切； （3）直线l与圆相交，且截得的弦长为2． 【答案】（1）； （2）0或； （3）. 【解析】 【分析】(1)求出圆的圆心即可计算作答. (2)设出直线l的方程，结合点到直线的距离公式计算作答. (3)由给定弦长求出弦心距离，再借助点到直线距离公式计算作答. 【小问1详解】 圆的圆心，因直线l经过点和，则直线l的斜率， 所以直线l的斜率为时，直线l经过圆的圆心. 【小问2详解】 圆的圆心，半径， 设直线l的斜率为，直线l的方程为：，即， 于是得，整理得：，解得或， 所以直线l的斜率为0或，直线l与圆相切. 【小问3详解】 圆的圆心，半径， 因直线l被圆截得的弦长为2，则点到直线l的， 由(2)知，，化简得：，解得， 所以直线l的斜率为，直线l与圆相交，且截得的弦长为2. 16. 如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． （1）证明：； （2）在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1） 因为，、都垂直平面，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以，则，故； （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明； （2）根据四点共面、线面垂直等求出点的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角的平面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，令，则 设，则，由于平面，所以，则，所以，即， 又平面，故存在实数，且满足，使得， 故，解得，所以 设平面的法向量为，又 则，令，则 设平面的法向量为，又 则，令，则， 所以，所以 则二面角的平面角的正弦值为. 17. 已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的性质待定系数法计算即可； （2）联立方程，根据弦长公式及韦达定理可表示三角形面积，利用换元法求最值即可. 【小问1详解】 设点，点，则直线的方程为， 与渐近线联立，得，解之得， 即直线与双曲线的一条渐近线交点为， 又直线与双曲线的一条渐近线的交点为， 所以，即，因此双曲线方程为. 【小问2详解】 设，把代入， 得， 则 ，， ， 点到直线的距离，所以的面积为 ， 令，所以，令，则， 因为，所以，由，得，由， 得，由，得， 即当时，等号成立， 此时满足，所以面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 【答案】（1）在图1中，连结AE，由已知条件得， ∵且， ∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F， ∴，又∵在中，， ∴， 在图2中，，∵，∴， 由题意知，且 ∴平面ABED，又平面， ∴平面平面ABED； （2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）在图1中，连结AE，连结AC交BE于点F，证明，即可； （2）以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量和的坐标，然后可算出答案； （3）设，然后算出平面PBE、平面的法向量，然后可建立方程求解. 【详解】（1）略 （2）如图，以D为坐标原点，DA，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．由已知得各点坐标为 ，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，即， 令，解得，， 所以，，记直线与平面所成角为， 则． （3）假设存在，设， 所以，， ∵平面，易得平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 由，可得，可取， 则， 解得，此时． 【点睛】关键点睛：用向量方法解决空间中的角的问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系，准确地写出点的坐标和向量的坐标，然后准确地运算出答案. 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市多校2025-2026学年高二上学期1月联考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足，对任意成立.数列为周期数列，即存在，使得对任意成立，给出下列两个结论： ①对任意，存在，使得为递增数列； ②对任意，存在，使得为等差数列； 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹为椭圆 B. 若，则点的轨迹为圆 C. 若，则点的轨迹为双曲线 D. 若，则点的轨迹为一条线段 6. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最小值为（ ） A. －5 B. －4 C. －3 D. －2 7. 如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知为坐标原点，过抛物线（）的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. （多选）已知直线与圆相交于两点，则下列结论正确的有（ ）. A. 直线过一定点 B. 直线与圆相切 C. 点到的最大距离为 D. 的面积恒小于8 10. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为60° D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平行直线与之间的距离是_____. 13. 若圆上到直线的距离为的点刚好有个，直线被圆截得的弦长为________. 14. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知直线l经过点，求直线l的斜率分别为何值时，满足下列条件： （1）直线l经过圆的圆心； （2）直线l与圆相切； （3）直线l与圆相交，且截得的弦长为2． 16. 如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． （1）证明：； （2）在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值. 17. 已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值. 18. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达的位置，且，如图2． （1）求证：平面平面ABED； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由． 19. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $