2026年高一数学人教A版必修一寒假作业 函数的基本性质

高中数学人教A版必修一寒假作业——函数概念及性质篇 02测试范围：函数的基本性质 知识梳理 1、增函数、减函数定义： 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递减），如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 （区间I称为函数的 ，也可分别称为 和 ） 【答案】 增函数 减函数 单调性 单调区间 单调递增区间 单调递减区间 2．奇函数、偶函数的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 对称 【答案】 轴 原点 3．奇、偶函数的图象特征 （1）奇函数的图象是以 为中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）偶函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数. 【答案】原点 原点 轴 轴 4．函数的最大值、最小值 一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：(1)对于任意，都有 ；(2)存在，使得 .那么，称是函数的 ；如果存在实数满足：(1)对于任意，都有 ；(2)存在，使得 .那么，称是函数的 。 【答案】 最大值 最小值 5．奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质 ①.奇(偶)函数的定义域关于 对称. ②.偶函数的实质是函数图象上任一点关于轴的对称点 也在图象上. ③.奇函数的实质是函数图象上任一点关于原点的对称点 也在的图象上. ④.若函数是奇函数，且在处有定义，则必有 ，即函数图象必过 . 【答案】原点 坐标原点 02 函数的基本性质的寒假作业 一、单选题 1．设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（    ） A．4 B．-4 C．10 D．-10 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质可得，进而求值即可. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且时，所以，解得，故时，，所以. 故选：A 2．函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】由奇偶性的定义确定函数的奇偶性，结合恒成立及排除法确定答案. 【详解】由解析式知，函数的定义域为R，且，所以为偶函数，排除A、C，又恒成立，排除D. 故选：B 3．已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由偶函数定义结合题设可得答案. 【详解】由偶函数性质可知，即，设， 则，因函数在递增，则，又时该等式恒成立，则. 故选：A. 4．已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据函数的周期性及奇偶性，将转化为，再根据下的表达式求解即可． 【详解】因为是定义在上且周期为4的奇函数，所以， 又，所以． 故选：D． 5．设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】分析得到，最大值为，求出答案. 【详解】由于时，，，故最大值9一定为，取得， 又为开区间，故一定有，且最大值在上取到，即， 解得或5（舍去），故选：A 6．设函数的定义域为，、，且，记，，都有，且是偶函数.则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数在上单调递减，且该函数的图象关于直线对称，可得出在上单调递增，逐项判断即可. 【详解】对于函数，因为、，，都有，不妨设，由得，所以函数在上单调递减，又函数是偶函数，所以，所以函数关于对称，所以函数在上单调递增，故，，，， 故选：B. 7．已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由函数在区间上单调递减，，所以当时，，当时，，又函数是定义域为的偶函数，当时，，当时，， 由，当时， 所以，解得，当时，所以，解得，所以的解集为， 故选：B. 8．已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定函数的对称中心及周期，再确定在区间上的单调性即可求出最小值. 【详解】由定义在上的函数满足，得，则函数关于点成中心对称，又在上单调递减，则在上单调递减，因此函数在上单调递减，且，而函数是上的偶函数，则函数在上单调递增，由，得，于是，，即， 则函数是周期函数，其周期为4，当时，，由周期性得时，，所以在上的最小值是. 故选：B 二、多选题 9．若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．当时， C．当时，的单调递增区间为和 D．当时，的单调递增区间为和 【答案】ABD 【分析】对于A，由奇函数的性质即可得解；对于B，运用函数的奇偶性即可得解；对于C，运用对勾函数的单调性即可得解；对于D，由与在上单调递增，再结合的奇偶性，即可判断. 【详解】对于A：因为函数为奇函数，且定义域为，所以，所以，所以，故A正确；对于B：当时，，，故B正确；对于C：当时，由对勾函数图象的性质得，的单调递增区间为和，故C错误；对于D：当时，对于，易知与在上单调递增，故在上单调递增，进一步由奇函数的图象关于原点对称，在区间上也单调递增，故D正确．故选：ABD. 10．已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】A根据判断；B根据单调性的定义判断；C利用计算；D将问题转化为，结合单调性可求. 【详解】令，则，得，故不是奇函数，故A错误；任取，且，则，则 ，则，故在上单调递增，故B正确；令，则，则，故C正确； 因为，所以，故可化为，因为在上单调递增，所以，得，故D正确.故选：BCD 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．存在，使得为偶函数 B．若是R上的减函数，则的取值范围是 C．若存在最大值，则的取值范围是 D．若存在最小值，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】分析函数图像即可判断选项A；由函数单调性列关于a的不等式组即可求解判断选项B；由的单调性求出函数的取值范围即可分析判断选项C；由C选项即可分析求解判断选项D． 【详解】选项A：当时，图象为指数函数部分图象，当时，图象为一条射线，所以图象不关于y轴对称，故不存在使得为偶函数，故A错误；选项B：是R上的减函数，所以.所以若是R上的减函数，则的取值范围是，故B正确；选项C：当时，.若即时，在上单调递增，此时，所以若在R上存在最大值，则；若即，在上恒有，则函数在R上有最大值为6，故；若，在上单调递减，此时，则函数在R上无最大值，不符合.存在最大值的条件是，即，故C正确；选项D：由C可知时，无最小值； 时，在R上值域为，无最小值；，要使在R上有最小值，则，即；存在最小值时，的取值范围是，故D错误．故选：BC． 三、填空题 12．函数在区间上单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据二次函数的性质及区间单调性写出参数范围即可. 【详解】由，函数图象开口向上且对称轴为，又函数在区间上单调，则或. 13．若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先解不等式，进而得，作出函数的图象，进而求解. 【详解】由，所以，所以或， 所以，作出函数的图象： 由图可知：， 14．已知函数在上最大值为，且最小值为，则 ． 【答案】 【分析】结合函数是奇函数，得到满足关系式，可知图象关于点中心对称，由对称性知，故只需求的值即可. 【详解】由题意，函数的图象在连续不断，由区间关于原点对称，且对任意，都有 ，故， 所以函数的图象关于点中心对称，由对称性可知，函数的图象在内的最大值点与最小值点关于中心对称，故，所以。 三、解答题 15．已知函数为增函数，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据分段函数单调性列出不等式组求解即可； （2）根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）由题可知，，解得，所以． （2）若是的充分条件，则，， 由题可知，所以或（不合题意舍去） 所以，即，解得． 16．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断的单调性并用定义证明． 【答案】(1)；(2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解出； （2）利用定义法证明函数的单调性． 【详解】（1）∵为定义在上的奇函数，∴，∴； 当时，，∴，满足为定义在上的奇函数，综上所述：． （2）在上单调递增，证明如下：任取，则， ∵，又函数在上为增函数，∴所以，∴ 所以在上单调递增． 17．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示. (1)画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)根据图象求不等式的解集. 【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为， (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）求出解析式，画出二次函数图象，再结合图象得出递减区间； （2）利用定义证明单调性； （3）根据图象解不等式. 【详解】（1）当时，，则，因为函数是定义在上的偶函数，所以，则，因为，则画出函数在y轴左侧的图象，如图所示， 结合函数的图象，可得函数在上的单调递减区间为，. （2）任取且， 则 ∵，∴，，即，∴， ∴.∴函数在上单调递增. （3）结合图象可得，当时，，或，故不等式的解集为或. 18．已知函数为上的奇函数，当时，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，再求出在上的解析式，即可得解； （2）首先利用定义法证明的单调性，结合函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为函数为上的奇函数，当时，且， 所以，解得，所以当时；设，则，所以，所以；综上可得，； （2）因为，，设任意的且，所以， 因为且，所以，，，所以，则，又，所以，所以，即，所以在上单调递减，不等式，即， 解得，所以的取值范围为. 19．已知函数的定义域为，满足，，且当时，. (1)求，，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，，；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）根据已知条件分别赋值和，以及，即可求出； （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【详解】（1）因为对任意，都有，即 所以，令，则，所以； 令，则，由，所以； 令，，则，因为，，所以； （2）任取，且，则 当时，，，，， ，在上单调递增； （3）由于， 所以等价于， 即，解得：， 令，，则，解得， 因为在上单调递增，，，则等价于， 解得；，所以不等式的解集为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——函数概念及性质篇 02测试范围：函数的基本性质 知识梳理 1、增函数、减函数定义： 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递减），如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 （区间I称为函数的 ，也可分别称为 和 ） 2．奇函数、偶函数的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 对称 3．奇、偶函数的图象特征 （1）奇函数的图象是以 为中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）偶函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数. 4．函数的最大值、最小值 一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：(1)对于任意，都有 ；(2)存在，使得 .那么，称是函数的 ；如果存在实数满足：(1)对于任意，都有 ；(2)存在，使得 .那么，称是函数的 。 5．奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质 ①.奇(偶)函数的定义域关于 对称. ②.偶函数的实质是函数图象上任一点关于轴的对称点 也在图象上. ③.奇函数的实质是函数图象上任一点关于原点的对称点 也在的图象上. ④.若函数是奇函数，且在处有定义，则必有 ，即函数图象必过 . 02 函数的基本性质的寒假作业 一、单选题 1．设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（    ） A．4 B．-4 C．10 D．-10 2．函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 3．已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 5．设函数，若在区间上的最大值为9，则（   ） A． B．0 C．1 D． 6．设函数的定义域为，、，且，记，，都有，且是偶函数.则下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．当时， C．当时，的单调递增区间为和 D．当时，的单调递增区间为和 10．已知函数的定义域为，且满足，当时，，，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C． D．不等式的解集为 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．存在，使得为偶函数 B．若是R上的减函数，则的取值范围是 C．若存在最大值，则的取值范围是 D．若存在最小值，则的取值范围是 三、填空题 12．函数在区间上单调，则实数a的取值范围是 . 13．若在函数定义域的某个区间上定义运算则函数，的最小值为 ． 14．已知函数在上最大值为，且最小值为，则 ． 三、解答题 15．已知函数为增函数，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值；(2)判断的单调性并用定义证明． 17．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示. (1)画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)根据图象求不等式的解集. 18．已知函数为上的奇函数，当时，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 19．已知函数的定义域为，满足，，且当时，. (1)求，，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)求不等式的解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $